3 Законы сохранения

1.

Санки передвигаются по горизонтальному участку дороги с помощью веревки, наклоненной под углом \(30^{\circ}\) к горизонту. Сила натяжения веревки составляет \(100\,\text{Н}\). Найдите работу силы натяжения на пути \(15\,\text{м}\). Указание: \(\sqrt{3}=1{,}72\).

2.

Тело массой \(1\,\text{кг}\) вращается в вертикальной плоскости на нити длиной \(2\,\text{м}\). Когда тело при подъеме проходит точку, расположенную на \(1\,\text{м}\) выше точки подвеса нити, она обрывается. На сколько выше точки подвеса поднимется тело, если натяжение нити перед обрывом было равно \(35\,\text{Н}\)?

3.

Конькобежец катил груженные санки по льду со скоростью \(3\,\text{м/с}\), а затем толкнул их вперед и отпустил. С какой скоростью в (\(\text{см/с}\)) покатится конькобежец непосредственно после толчка, если скорость санок возросла до \(6\,\text{м/с}\)? Масса санок \(60\,\text{кг}\), масса человека \(80\,\text{кг}\). В ответе укажите модуль скорости.

4.

Мяч массой \(200\,\text{г}\), брошенный вертикально вверх со скоростью \(40\,\text{м/с}\), упал на землю со скоростью \(30\,\text{м/с}\). Определите работу силы сопротивления воздуха. В ответе укажите модуль полученной величины.

5.

Груз массой \(7{,}5\,\text{кг}\) поднимают на веревке с поверхности земли вертикально на высоту \(1\,\text{м}\): один раз с постоянной скоростью, второй раз с ускорением \(2\,\text{м/с}^2\). На какую величину работа, совершаемая во втором случае, будет больше, чем в первом?

6.

Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, плавно переходящей в «мертвую петлю», с высоты \(1{,}5\,\text{м}\). Радиус петли \(75\,\text{см}\). На какой высоте (в см) тело оторвется от поверхности петли? Высота отсчитывается от нижней точки петли. Трением пренебречь.

7.

Шар массой \(100\,\text{г}\), двигавшийся со скоростью \(5\,\text{м/с}\), сталкивается абсолютно неупруго с шаром массой \(150\,\text{г}\), двигавшимся в том же направлении со скоростью \(4\,\text{м/с}\). Найдите скорость шаров после удара. Ответ дайте в см/с.

8.

Под каким углом (в градусах) к горизонту брошено тело с поверхности земли, если в наивысшей точке траектории его кинетическая энергия в три раза больше потенциальной? Потенциальную энергию на поверхности земли принять равной нулю.

9.

Стальная пуля массой \(4\,\text{г}\), летящая горизонтально со скоростью \(400\,\text{м/с}\), попадает в центр боковой грани неподвижного стального бруска, масса которого \(2\,\text{кг}\). После столкновения пуля отскакивает в противоположную сторону со скоростью \(350\,\text{м/с}\). Чему равна скорость бруска после столкновения (в см/с)?

10.

На сколько изменится потенциальная энергия бруска массой \(150\,\text{кг}\), если его перевести из горизонтального положения в вертикальное? Брусок имеет квадратное сечение со стороной \(20\,\text{см}\) и длину \(1\,\text{м}\).

11.

Маленький брусок находится на вершине наклонной плоскости длиной \(26\,\text{м}\) и высотой \(10\,\text{м}\). Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,45. Какую минимальную начальную скорость надо сообщить бруску, чтобы он достиг основания плоскости?

12.

Из орудия массой \(2\,\text{т}\) вылетает в горизонтальном направлении снаряд массой \(20\,\text{кг}\) со скоростью \(250\,\text{м/с}\). Какую скорость (по абсолютной величине) получит орудие при отдаче? Ответ дайте в см/с.

13.

Съехав с горы высотой \(5\,\text{м}\), санки останавливаются, пройдя по горизонтали путь, равный длине ската горы. Найдите этот путь, если коэффициент трения на всем пути равен 0,2.

14.

Демонстрационная установка состоит из наклонной плоскости, плавно переходящей в «мертвую петлю» радиусом \(R\). Установка закреплена на тележке, стоящей на горизонтальной плоскости. Груз массой \(0{,}2\,\text{кг}\) съезжает с высоты 2,\(5R\), отсчитанной от нижней точки петли. Чему равна сила давления груза на поверхность в верхней точке петли? Трением пренебречь. Масса установки вместе с тележкой вдвое больше массы груза.

15.

Тело массой \(2\,\text{кг}\) поднимают с земли вертикально вверх, прикладывая силу \(30\,\text{Н}\). Какую мощность развивает эта сила через \(2\,\text{с}\) после начала подъема?

16.

На чашку весов массой \(200\,\text{г}\), подвешенную на пружине, с высоты \(30\,\text{см}\) падает груз массой \(800\,\text{г}\). Найдите амплитуду (в см) колебаний чашки с грузом после абсолютно неупругого удара. Жесткость пружины \(400\,\text{Н/м}\).

17.

Человек догоняет катящуюся по инерции тележку, вскакивает на нее и остается на ней, в результате чего скорость тележки увеличивается на \(50\%\). Во сколько раз масса тележки больше, чем масса человека? Вначале скорость человека была в 3 раза больше скорости тележки.

18.

В шар массой \(240\,\text{г}\) попадает пуля массой \(10\,\text{г}\), летящая со скоростью \(200\,\text{м/с}\) по линии, проходящей через центр шара. После удара пуля отскакивает назад, причем в тепло при ударе переходит \(189\,\text{Дж}\). Найдите конечную скорость шара.

19.

В шар массой \(100\,\text{г}\) попадает пуля массой \(2\,\text{г}\), летящая со скоростью \(100\,\text{м/с}\) по линии, проходящей через центр шара. Считая, что сила сопротивления движению пули в материале шара постоянна и равна \(149\,\text{Н}\), найдите конечную скорость шара. Диаметр шара \(5\,\text{см}\).

20.

Тело брошено вертикально вниз со скоростью \(10\,\text{м}\)/\(c\,\text{с}\) высоты \(45\,\text{м}\). На какой высоте от поверхности земли кинетическая энергия тела увеличится вдвое?

21.

На горизонтальной плоскости лежит тонкая цепь длиной \(1\,\text{м}\) и массой \(4\,\text{кг}\). Чему равна минимальная работа по подъему цепи, взятой за один конец, на высоту, при которой нижний ее конец отстоит от плоскости на расстояние, равное длине цепи?

22.

Стальной шар массой \(300\,\text{г}\) падает без начальной скорости с высоты \(5\,\text{м}\) на наклонную плоскость, составляющую угол \(60\,\text{с}\) горизонтом. Считая удар абсолютно упругим, найдите среднюю силу взаимодействия шара с наклонной плоскостью. Продолжительность удара составляет \(0{,}02\,\text{с}\). Действием/силы тяжести за время удара и сопротивлением воздуха пренебречь.

23.

Пуля, летевшая горизонтально со скоростью \(500\,\text{м/с}\), пробила насквозь доску на высоте \(20\,\text{см}\) от земли. При этом температура пули увеличилась на \(150\,\text{°С}\). Считая, что на нагревание пули пошла вся выделившаяся энергия, найдите, на каком расстоянии (по горизонтали) от места удара пуля упала на землю. Удельная теплоемкость материала пули \(300\,\text{Дж}\)/(кг×К).

24.

Легкую горизонтальную пружину, один конец которой закреплен, деформируют на \(l_1 = 4\,\text{см}\), прижимая к ее свободному концу брусок (рис.). Брусок отпускают, и пружина, распрямляясь, толкает его по горизонтальному столу. Брусок (он не прикреплен к пружине) проходит до остановки расстояние \(l_2 = 6\,\text{см}\). На каком расстоянии \(r\) от точки старта скорость бруска максимальна?

25.

На гладком горизонтальном/столе покоятся две одинаковые шайбы, соединенные легкой недеформированной пружиной. Одной из шайб сообщили горизонтальную скорость \(v\). Через некоторое время вектор скорости этой шайбы повернулся в горизонтальной плоскости на угол \(\alpha = 45^{\circ}\), \(a\) по величине скорости шайб сравнялись. Найдите для этого момента времени скорости шайб \(v_1\) и энергию деформации пружины \(E\).

26.

Человек захотел спуститься по веревочной лестнице с высоты \(H = 10\,\text{м}\) из неподвижно висящего свободного аэростата массой \(m_1 = 400\,\text{кг}\). Какой должна быть длина \(l\) веревочной лестницы, чтобы, ступая на ее последнюю ступеньку, человек коснулся земли? Масса человека \(m_2 = 80\,\text{кг}\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

27.

Две шайбы в результате столкновения на гладком горизонтальном/столе разлетелись в противоположных направлениях, как показано на рисунке. Во сколько раз отличались скорости шайб перед столкновением, если их массы \(m_1 = 100\,\text{г}\) и \(m_2 = 200\,\text{г}\)?

28.

Шайба массой \(m_1\), двигаясь поступательно по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на неподвижную шайбу массой \(m_2\) и после удара скользит с вдвое меньшей скоростью в направлении, перпендикулярном первоначальному. При каких значениях отношения \(\frac{m_1}{m_2}\) возможно такое движение? Ответ дайте в виде неравенства.

29.

Тело массой \(m = 0{,}5\,\text{кг}\) брошено вертикально вверх. Когда тело поднялось на некоторую высоту, его потенциальная энергия увеличилась на \(\Delta E_n = 25\,\text{Дж}\), а кинетическая энергия уменьшилась в \(k = 2\) раза по сравнению с начальной. На какую максимальную высоту \(H\) над точкой старта поднимется тело? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

30.

Однородный стержень массой \(m = 50\,\text{г}\) свободно вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через его конец. При вращении кинетическая энергия стержня меняется от минимального значения \(E_{\min} = 0{,}1\,\text{Дж}\) до максимального \(E_{\max} = 0{,}3\,\text{Дж}\). Определите длину стержня \(l\). Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

31.

В результате центрального столкновения двух одинаковых частиц, двигавшихся навстречу друг другу со скоростями \(v\) и \(2v\), скорость более быстрой частицы изменила направление на противоположное и уменьшилась по величине в 2 раза, \(a\)) Во сколько раз изменилась величина скорости другой частицы? б) Является ли столкновение частиц абсолютно упругим? Ответ следует обосновать.

32.

Игрушечная пушка на колесиках (рис.), первоначально покоившаяся на горизонтальном полу, выстреливает шарик, привязанный к пушке легкой ниткой (чтобы не потерялся). При выстреле нитка обрывается, и шарик падает на пол со скоростью \(v\) под углом \(\alpha \) к горизонту. Определите скорость пушки \(V\) после обрыва нити, если масса пушки в \(k\) раз больше массы шарика. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Векторы скорости шарика и пушки лежат в одной плоскости.

33.

Вокруг горизонтальной оси \(O\) может вращаться легкий жесткий стержень, на котором на одинаковых расстояниях \(l = 40\,\text{см}\) от оси закреплены небольшие грузы с массами \(m\) и \(M\) (рис.) ось \(O\) перпендикулярна плоскости рисунка). Первоначально стержень удерживали в горизонтальном положении, а затем без толчка отпустили. Найдите максимальную скорость \(v\) грузов, если отношение их масс \(M/m = 3\). Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

34.

Тело массой \(m = 1\,\text{кг}\) бросили под углом к горизонту. На высоте \(h = 10\,\text{м}\) его кинетическая энергия оказалась равной \(E_k = 100\,\text{Дж}\). Какой была величина \(v_0\) начальной скорости тела? Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

35.

В свободно падающий шар массой \(M\) попадает пуля массой \(m\) и застревает в нем. В момент удара скорость шара равна \(v_0\) и направлена вертикально вниз, скорость пули равна \(v_1\) и направлена вниз под углом \(\alpha\) к вертикали. Определите скорость \(v_2\) шара с застрявшей в нем пулей сразу после удара. Время взаимодействия ничтожно мало. Сопротивление воздуха не учитывать.

36.

Две одинаковые тележки массой \(M\) каждая, соединенные недеформированной пружиной жесткостью \(k\), стоят друг за другом на гладкой горизонтальной поверхности. Из первой тележки вдоль линии, соединяющей тележки, бросают камень массой Мо с горизонтальной скоростью \(v_0\) в направлении от второй тележки. Найдите максимальную силу \(F\) сжатия пружины после броска. Масса камня мала по сравнению с массой тележки.

37.

Два гладких одинаковых цилиндра радиусом \(R\) прислонены к стенке (рис.). Из-за того что нижний цилиндр чуть-чуть сместился по горизонтальной плоскости вправо, верхний цилиндр начал опускаться по вертикали, и система пришла в движение. Найдите скорость нижнего цилиндра \(v_{\mathrm{н}}\) в тот момент, когда верхний цилиндр сместится по вертикали на \(\frac{R}{2}\). Трения нет.

38.

Пуля массой \(M_1 = 0{,}01\,\text{кг}\), летевшая горизонтально со скоростью \(v_1 = 600\,\text{м/с}\), ударилась в подвешенный на длинной нити деревянный брусок массой \(М_2 = 0{,}5\,\text{кг}\) и застряла в нем, углубившись на \(s = 10\,\text{см}\). Найдите силу \(F\) сопротивления дерева движению пули. Силу сопротивления считать постоянной; время взаимодействия мало.

39.

Монета скользит по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту \(\alpha \) и имеет в точке \(C\) скорость \(v_0\) (рис.). Через некоторое время монета оказалась в точке \(D\) наклонной плоскости, пройдя путь \(s\) и поднявшись по вертикали на \(H\). Коэффициент трения скольжения между монетой и наклонной плоскостью \(\mu \). Найдите скорость монеты \(v\) в точке \(D\).

40.

На подвижной тележке массой \(M\), находящейся на горизонтальной плоскости, с помощью легкого стержня, который может свободно вращаться вокруг точки \(O\) (рис.), подвешен маленький шарик массой \(m\). Вначале система покоилась. Шарику кратковременным ударом сообщают горизонтальную скорость \(v\). На какую наибольшую высоту \(H\) по сравнению с первоначальным уровнем поднимется шарик? Считать, что угол отклонения стержня от вертикали не превышает \(90^{\circ}\). Трением и массой колес тележки пренебречь.

41.

Два гладких шара одинаковых размеров движутся навстречу друг другу по гладкой горизонтальной плоскости. Скорость одного шара, масса которого в \(k\) раз больше массы другого, равна \(v_1\). В результате упругого центрального соударения шар с большей массой остановился (\(v_1^/\) = 0). Найдите скорость \(v_2^/\) шара меньшей массы после соударения.

42.

Вагон массой \(m_1 = 30\) т движется по гладким рельсам/со скоростью \(v_1 = 0{,}8\,\text{м/с}\) и сталкивается с вагоном массой \(m_2 = 10\,\text{т}\), движущимся ему навстречу с такой же скоростью. В результате столкновения произошла сцепка, и вагоны стали двигаться как единое целое. Найдите величину скорости вагонов \(v\) после столкновения.

43.

При выстреле из пушки, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности, вылетает снаряд под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту. За счет отдачи пушка откатывается назад со скоростью \(v = 2\,\text{м/с}\). Масса пушки без снаряда \(М = 500\,\text{кг}\). Найдите величину импульса \(p\) системы, состоящей из пушки и снаряда, сразу после выстрела.

44.

Массивное тело, двигаясь со скоростью \(3v\) по горизонтальной поверхности, абсолютно упруго сталкивается с шаром, движущимся со скоростью \(v\) в ту же сторону (рис.). Масса шара \(m\) много меньше массы тела. На какую величину \(\Delta \)\(E\) изменится кинетическая энергия шара в результате удара? Трением пренебречь.

45.

Наклонная плоскость имеет основание \(10\,\text{м}\) и высоту \(2{,}5\,\text{м}\). На наклонной плоскости стоит коробка. Чтобы передвинуть коробку вниз по наклонной плоскости на некоторое расстояние, нужно совершить минимальную работу \(15\,\text{Дж}\), а чтобы передвинуть на такое же расстояние вверх, необходимо совершить работу не менее \(65\,\text{Дж}\). В обоих случаях сила прикладывается параллельно наклонной плоскости. Найдите коэффициент трения.

46.

Шар, двигавшийся поступательно, испытывает упругое соударение с другим, покоившимся, шаром такой же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным \(45^{\circ}\). Найдите долю кинетической энергии налетающего шара, которая переходит в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации шаров.

47.

Два пластилиновых шара движутся навстречу друг другу по одной прямой. Кинетическая энергия первого шара \(1{,}2\,\text{Дж}\). Какой кинетической энергией должен обладать второй шар, чтобы после удара шары остановились? Масса второго шара в 2 раза больше, чем масса первого шара.

48.

Снаряд в верхней точке траектории разрывается на \(2\) осколка. Первый осколок, масса которого составляет \(40\%\) от массы снаряда, полетел в прежнем направлении со скоростью \(400\,\text{м/с}\). Найдите скорость и направление, в котором полетел второй осколок, если скорость снаряда перед взрывом была \(100\,\text{м/с}\).

49.

Два шара движутся навстречу друг другу по одной прямой. Массы шаров \(m_1\) и \(m_2=2m_1\). Кинетическая энергия первого шара равна \(4\,\text{Дж}\). Какой кинетической энергией должен обладать второй шар, чтобы в результате соударения шары остановились?

50.

Тело бросают с начальной скоростью, направленной под углом \(60^{\circ}\) к горизонту, сообщив ему кинетическую энергию \(20\,\text{Дж}\). Найдите кинетическую энергию тела в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

51.

Тележка едет без трения по столу. На тележку быстро насыпают песок, масса которого равна массе тележки. Сравните кинетическую энергию тележки с песком \(K_2\,\text{с}\) начальной кинетической энергией тележки \(K_1\).

52.

Два шара движутся навстречу друг другу по одной прямой. Кинетическая энергия первого шара \(1\,\text{Дж}\). Какой должна быть кинетическая энергия второго шара, чтобы после удара шары остановились? Массы шаров \(1\,\text{кг}\) и \(2\,\text{кг}\).

53.

Тело массой \(1\,\text{кг}\) бросают с горизонтальной начальной скоростью \(4\,\text{м/с}\,\text{с}\) высоты \(5\,\text{м}\) над землей. Какой будет кинетическая энергия тела на высоте \(2\,\text{м}\) над землей? Сопротивлением воздуха пренебречь.

54.

Тело массой \(m_1\) движется по гладкому столу, его кинетическая энергия равна \(3\,\text{Дж}\). Движущееся тело сталкивается с покоившимся телом массой \(m_2\). После неупругого удара тела движутся вместе, их кинетическая энергия равна \(1\,\text{Дж}\). Найдите отношение масс \(\frac{m_2}{m_1}\).

55.

Кинетическая энергия вагонетки, движущейся по рельсам без трения, равна \(12\,\text{Дж}\). После загрузки масса вагонетки увеличивается в \(3\) раза, а ее импульс не изменяется. Найдите кинетическую энергию груженой вагонетки.

56.

Движение материальной точки вдоль оси \(x\) описывается уравнением \(x=0{,}06-\cos(0{,}5\pi t)\,\text{м}\). Масса точки \(m=0{,}1\,\text{кг}\). Найдите изменение импульса \(\Delta p_x\) материальной точки за интервал времени от \(t_1=1\,\text{с}\) до \(t_2=5\,\text{с}\).

57.

Третья часть однородной линейки, имеющей массу \(m\) и длину \(L\), выступает за край стола (рис.). Найдите минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить всю линейку на стол, сдвигая ее силой, направленной вдоль длинной стороны. Коэффициент трения между линейкой и столом \(\mu \).

58.

Небольшое тело начинает соскальзывать без начальной скорости из верхней точки неподвижной полусферы радиусом \(R\) (рис.). На какую высоту оно подскочит после удара о горизонтальную поверхность, на которой находится полусфера? Удар считать абсолютно упругим, полусфера жестко закреплена на плоскости.

59.

Два одинаковых гладких упругих шарика \(A\) и \(B\) движутся во встречных направлениях со скоростями \(v\) и \(2v\), причем прямые, проходящие через центры каждого из шариков в направлении их движения, касаются другого шарика (рис.). Найдите, под каким углом к первоначальному направлению будет двигаться шарик \(A\) после соударения.

60.

Тело массой \(m = 1\,\text{кг}\) брошено под углом к горизонту. За все время полета его импульс изменился на \(\Delta p = 20\,\text{кг}\)×м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите наибольшую высоту подъема тела.

61.

Два груза массами \(3m\) и \(m\) связаны невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок (рис.). В начальный момент груз массой \(m\) удерживают, прижимая его к столу, затем отпускают. На какую максимальную высоту поднимется этот груз над столом, если при ударе груза массой \(3m\) о стол выделяется количество теплоты \(Q\)? Удар абсолютно неупругий. Массой блока и силами трения в блоке пренебречь.

62.

На неподвижное тело массой \(m\), находящееся на горизонтальной абсолютно гладкой плоскости, в момент времени \(t=0\) начинает действовать сила, направленная вдоль горизонтальной оси \(X\). На рисунке представлен график зависимости проекции \(F_x\) этой силы от времени \(t\). Определите модуль импульса тела в момент времени \(t=4t_0\).

63.

На концах невесомого стержня длиной \(2l\), который может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, укреплены два груза с массами \(m_1=0{,}6\,\text{кг}\) и \(m_2=2m_1\). В первоначальном положении стержень располагался горизонтально, а затем был отпущен без начальной скорости. Найдите силу, с которой первый груз действует на стержень в тот момент, когда стержень оказывается в вертикальном положении.

64.

Гладкая горка массы \(M\) находится на гладком горизонтальном полу. На горку положили и отпустили без толчка шайбу массой \(m\). Отношение масс \(n = m/M = 0,6\). Указанные на рисунке размеры: \(H = 1{,}3\,\text{м}\) и \(h = 0{,}5\,\text{м}\). Каким будет расстояние от шайбы до горки в момент падения шайбы на пол?

65.

Два тела прикреплены к концам нерастяжимой нити, перекинутой через легкий блок (рис.). Первое лежит на шероховатой поверхности, второе висит на нити. Если телам сообщить некоторую скорость, толкнув второе тело вниз, то оно опустится на расстояние \(h_1 = 20\,\text{см}\). Если же сообщить телам ту же скорость, толкнув первое тело влево, то второе тело поднимется на высоту \(h_2 = 10\,\text{см}\). Определите коэффициент трения между первым телом и поверхностью, если отношение масс тел \(m_1/m_2 = 5\).

66.

Два груза одинаковой массы укреплены на концах легкого стержня, согнутого под прямым углом (рис.). Вершина угла является осью вращения, \(l_1 = 40\,\text{см}\). \(l_2 = 30\,\text{см}\). Стержень выводят из положения равновесия так, что груз, укрепленный на \(l_2\). оказывается под осью вращения, а затем отпускают. Определите угловую скорость системы в момент, когда \(l_1\), занимает вертикальное положение.

67.

Два шара покоятся, касаясь, друг друга (см. рис.). Третий шар налетает на них, двигаясь по прямой, касающейся обоих шаров. Массы и радиусы всех трех шаров одинаковы. Происходит абсолютно упругий удар. Определите скорости шаров после соударения, если скорость налетающего шара \(v_0 = 1\,\text{м/с}\)?

68.

На гладкой горизонтальной поверхности находятся два бруска с массами \(m_1 = 1\,\text{кг}\) и \(m_2 = 2\,\text{кг}\), соединенные невесомой пружиной жесткостью \(k = 100\,\text{Н/м}\), так, что брусок массой \(m_1\) прижат к вертикальной стенке. Брусок \(m_2\) переместили влево на расстояние \(x_0 = 0{,}1\,\text{м}\) и отпустили. Найти скорость центра тяжести системы после отрыва бруска от стены.

69.

Брусок массой \(m = 10\,\text{кг}\) находится на подставке и прикреплен к потолку с помощью недеформированной пружины жесткостью \(k = 72{,}6\,\text{Н/м}\) (см. рис.). Подставку начинают опускать вниз с ускорением \(a = 5{,}8\,\text{м/с}^2\). Найти мощность упругой силы, действующей на брусок в момент отрыва его от поверхности подставки.

70.

Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол \(\alpha = 30^{\circ}\) от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найдите максимальный угол отклонения нити от вертикали.

71.

Брусок массой \(m = 1{,}6\,\text{кг}\), соединенный с невесомой пружиной жесткостью \(k = 256\,\text{Н/м}\), располагают на высоте \(H = 85\,\text{см}\) от пола и отпускают (см. рис.). Длина недеформированной пружины \(l_0 = 50\,\text{см}\). Найти максимальную скорость бруска, если ось пружины во время движения остается вертикальной, а влиянием воздуха можно пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

72.

Мяч, летящий горизонтально со скоростью \(v_1 = 10\,\text{м/с}\), отбрасывают ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью \(v_2 = 20\,\text{м/с}\). Определите величину изменения импульса |\(\Delta p\)|, если изменение кинетической энергии \(\Delta E = 10\,\text{Дж}\).

73.

К пружине подвешен груз массой \(m_1 = 3\,\text{кг}\) и ее длина при этом \(l_1 = 112\,\text{мм}\). Если масса груза \(m_2 = 8\,\text{кг}\), то длина пружины \(l_2 = 132\) им. Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину до длины \(l_2\) из недеформированного состояния? Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

74.

Небольшая шайба, скользившая по гладкому полу со скоростью \(v_0 = 12\,\text{м/с}\), поднимается на неподвижный трамплин, верхняя часть которого горизонтальна, и соскакивает с него (см. рис.). При какой высоте трамплина \(H\) дальность полета шайбы \(S\) будет максимальной. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Между трамплином и шайбой трение отсутствует.

75.

Нейтрон, сталкиваясь с ядром атома при абсолютно упругом центральном ударе, теряет часть своей энергии. Масса атома свинца в \(n = 207\) раз превышает массу нейтрона. Какое количество последовательных абсолютно упругих центральных столкновений должен испытать нейтрон в свинце, чтобы его кинетическая энергия уменьшилась в \(k = 2\) раза? Кинетической энергией теплового движения атомов можно пренебречь.

76.

Два сообщающихся сосуда с площадями сечений \(S_1=100\,\text{см}^2\) и \(S_2=200\,\text{см}^2\) заполнены водой и закрыты легкими поршнями (см. рис.). Система находится в равновесии. На больший поршень помещают гирю массой \(m=1\,\text{кг}\). Определите, сколько теплоты выделится при переходе системы в новое положение равновесия. Плотность воды \(\rho=1\,\text{г/см}^3\), ускорение свободного падения \(g=10\,\text{м/с}^2\).

77.

Два одинаковых шара массы \(m = 1\,\text{кг}\) каждый связаны нерастяжимой прочной нитью (см. рис.). Доска массы \(M = 2\,\text{кг}\), движущаяся по инерции, налетает со скоростью \(v = 1\,\text{м/с}\) на эту систему и ударяет по середине нити под прямым углом. Определите скорости шаров при ударе о доску.

78.

На покоившуюся частицу массы \(m_1\) налетает частица массы \(m_2\). После соударения одна из частиц полетела под углом \(\alpha = 30^{\circ}\), а другая – под прямым углом к направлению первоначальной скорости частицы \(m_2\). Найдите отношение масс частиц \(\frac{m_2}{m_1}\), если при столкновении \(\beta = 20\) % механической энергии перешло в тепло.

79.

От груза, висящего на невесомой пружине жесткостью \(k = 500\,\text{Н/м}\), с нулевой начальной скоростью отрывается часть массой \(m = 1{,}5\,\text{кг}\). На какую максимальную высоту поднимется после этого оставшаяся часть груза? \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

80.

Скользившее на горизонтальной поверхности тело массой \(m = 0{,}10\,\text{кг}\) налетает на две последовательно соединенные легкие пружины жесткостью \(100\,\text{Н/м}\) и \(150\,\text{Н/м}\) (см. рис.). Максимальная энергия деформации пружины \(2\) оказалось равной \(W = 8\,\text{Дж}\). Определите начальную скорость тела. Трением можно пренебречь.

81.

К свободному концу вертикальной невесомой недеформированной пружины, прикрепленной к потолку, подвешивают груз и отпускают его без начальной скорости. Амплитуда колебании \(A = 40\,\text{см}\). Определите максимальную величину скорости груза, \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

82.

На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и затем отпускают шарик. Какой угол образует нить с вертикалью в момент, когда ускорение шарика горизонтально?

83.

Груз массы \(m = 1\,\text{кг}\), подвешенный на пружине жесткостью \(k = 200\,\text{Н/м}\), находится на подставке. Пружина при этом недеформирована. Подставку быстро убирают. Определить максимальную скорость груза.

84.

Космический корабль перед отделением от него последней ступени ракеты-носителя имел скорость \(v\). После отделения последней ступени его скорость стала равной \(1,01v\); при этом отделившаяся ступень удаляется относительно корабля со скоростью \(0,04v\). Какова масса отделившейся ступени, если масса корабля \(M\) = \(2{,}4\cdot 10^{3}\,\text{кг}\)?

85.

Гибкий канат длиной \(l = 1\,\text{м}\), движущийся по гладкой поверхности со скоростью \(v_0 = 4\,\text{м/с}\), наезжает на гладкую наклонную плоскость (см. рис.). Угол наклона плоскости к горизонту \(\alpha = 30^{\circ}\). Через какое время половина каната окажется на наклонной плоскости, \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

86.

На передний край тележки массой \(M\), движущейся со скоростью \(v_0\) по гладкой горизонтальной поверхности, кладут брусок массой \(m\) (рис.). Начальная скорость бруска относительно земли равна нулю. Какой должна быть длина тележки, чтобы брусок в дальнейшем не упал с нее? Коэффициент трения между бруском и тележкой \(\mu \).

87.

Тело массой \(m\), движущееся со скоростью \(v\) по горизонтальной поверхности, налетает на пружину жесткостью \(k\), второй конец которой закреплен (рис.). На какую величину сожмется пружина к тому моменту времени, когда скорость тела станет равна \(\frac{v}{3}\)? Трение отсутствует.

88.

Два одинаковых шарика соединены невесомым/стержнем длины \(l_0\). Система расположена на горизонтальной плоскости и приведена во вращение. Начальная скорость каждого из шариков \(v_0\), коэффициент трения о плоскость \(k\), ускорение силы тяжести \(g\). Сколько оборотов сделает система до остановки?

89.

Имеется параллельный пучок одинаковых ядер, движущихся со скоростью \(v\). Ядра в пучке самопроизвольно делятся на две части одинаковой массы. Максимальная скорость осколков, движущихся в направлении пучка, оказалась равной \(u\). Найти скорость осколков, движущихся в направлении, перпендикулярном пучку (для неподвижного наблюдателя).

90.

Брусок весом \(P\) удерживается в воздухе \(N\) струями воды, бьющими вертикально вверх из отверстий сечением \(S\) каждое. Скорость воды на выходе из отверстия равна \(v\). Отталкиваясь от бруска, вода разлетается в горизонтальной плоскости. На какой высоте над отверстиями удерживается брусок? Плотность воды \(\rho \), ускорение свободного падения \(g\).

91.

Определить силу, действующую на вертикальную стенку со стороны падающей гантели в момент, когда ось гантели составляет угол \(\alpha \,\text{с}\) горизонтом (рис.). Гантель начинает свое движение без начальной скорости. Вес каждого шара гантели \(P\), расстояние между шарами иного больше радиуса шаров; трением пренебречь.

92.

Изогнутая под углом \(2\alpha \) узкая трубка \(AKB\) неподвижно закреплена на тележке так, что каждое колено ее составляет угол \(\alpha \,\text{с}\) вертикалью (рис.). Половина трубки \(AK\) заполнена водой, удерживаемой заслонкой З. Тележка может двигаться по горизонтальной плоскости. Заслонку З открывают. Найти скорость тележки в тот момент, когда середина столбика воды проходит самое нижнее положение. Начальные скорости равны нулю. Трение и капиллярность не учитывать. Масса тележки с трубкой \(M\), масса воды \(m\), \(AK = BK\) = \(l\). Ускорение силы тяжести \(g\).

93.

Два шарика с массами \(m_1\) и \(m_2\) одновременно начинают соскальзывать без трения и вращения с двух горок одинаковой формы и высоты \(H\) (рис.). При столкновении шарики слипаются. На какую высоту поднимутся слипшиеся шарики?

94.

В центре незакрепленной сферы радиуса \(R\) и массы \(M\) разрывается снаряд массы \(m\) на мелкие осколки, разлетающееся во все стороны равномерно с одинаковой скоростью \(v\). В сфере имеются два круговых отверстия с центрами, лежащими на одном диаметре (рис.). Углы \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) близки, но не одинаковы. Осколки, не вылетевшие через отверстия, прилипают к поверхности сферы. Найти конечную скорость сферы. Сопротивлением воздуха и силой тяжести пренебречь.

95.

На горизонтальной гладкой плоскости в начальный момент покоится прямоугольная рамка массы \(M\) с длинной стороной, равной \(a\). Со скоростью \(v\) вдоль этой стороны движется упругий шарик массы \(m\). В дальнейшем шарик движется, ударяясь о середины коротких сторон рамки. Найти время между двумя последовательными ударами шарика об одну и ту же короткую сторону. Размерами шарика пренебречь.

96.

Катящийся без проскальзывания по горизонтальной плоскости обруч массы \(m\) сталкивается с вертикальной стенкой и прилипает к ней. Найти количество тепла, которое выделилось при столкновении, если центр обруча двигался со скоростью \(v\).

97.

На покоящееся тело массы \(M\) налетает со скоростью \(v\), направленной по линии центров, тело массы \(m\). Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно растет в течение времени \(\tau \) от нуля до значения \(F_0\) а затем линейно убывает до нуля за то же время \(\tau \) (рис.). Определить скорости тел после взаимодействия и количество выделившегося тепла.

98.

Пятью ударами молотка гвоздь забили в деревянную стенку. Оценить, какую силу нужно приложить к шляпке гвоздя, чтобы выдернуть его.

99.

Пустотелая гильза \(l\) (рис.) надевается на пластмассовую затычку \(2\), сквозь которую проведены проволочки электрической цепи \(3\) для поджигания горючей смеси \(4\). Сначала затычка закрепляется на легкой проволочке-пружинке \(5\). Смесь поджигается, гильза взлетает. Во втором/случае затычка прикрепляется не к пружинке, а к массивному штативу. После зажигания гильза взлетает значительно выше. Объяснить эффект увеличения высоты.

100.

Скатившись с горки, шарик \(1\) налетает на два рядом/стоящих таких же шарика \(2\) и \(3\). Крайний справа шарик \(3\) после этого откатывается, а \(2\) стоит. Опыт видоизменяется так, что теперь шарик \(1\) бьет не прямо по шарику \(2\), а через довольно толстую резиновую прокладку. При ударе через прокладку откатываются, причем вместе, оба шарика \(2\) и \(3\). Объяснить различие в поведении шариков при наличии прокладки и без нее.

101.

К концам двух нерастянутых пружинок жесткостью \(k_1\) и \(k_2\) прикреплено тело массой \(m\) так, что оно может без трения двигаться вдоль прямой \(AB\) (рис.). Конец \(A\) левой пружинки закреплен. Удерживая тело на месте, конец \(B\) правой пружинки отводят на расстояние \(|BB_1| = a\) закрепляют в точке \(B_1\). после чего тело отпускают. Найти наибольшую скорость тела.

102.

Оценить среднее усилие, развиваемое ногами человека при приземлении после прыжка из окна второго этажа.

103.

В горизонтальной гладкой трубе имеется кольцевой изгиб радиусом \(r\), расположенный в вертикальной плоскости (рис.). С какой минимальной скоростью должен двигаться на горизонтальном участке трубы тяжелый тонкий гибкий канат длиной \(l>2\pi r\), чтобы он смог пройти через изгиб?

104.

Характер отскоков подвешенного на нити упругого костяного шарика после удара о круглое препятствие при перемещениях последнего по горизонтали изменяется. При некотором положении препятствия отскок сильный; при приближении к шарику или удалении от него препятствия амплитуда отскока резко уменьшается. Объясните явление.

105.

Гимнаст делает на перекладине оборот «солнышко». Оцените, с какой силой он действует на перекладину в момент, когда проходит через нижнее положение.

106.

Прямоугольный брусок массой \(M\,\text{с}\) полусферической выемкой сверху (радиус выемки \(R\)) стоит вплотную к вертикальной стенке на горизонтальной поверхности (рис.). С какой максимальной высоты над ближайшей к стенке верхней точкой \(A\) кран выемки надо отпустить маленький шарик массой \(m\), чтобы он не поднялся над противоположной точкой \(B\) выемки? Трением пренебречь.

107.

Два одинаковых шара массой \(m\) каждый покоятся, касаясь друг друга. Третий шар налетает на них, двигаясь по прямой, касающейся обоих шаров (рис.). Удар происходит без потерь энергии. Найдите массу налетающего шара, если после удара он остановился. Радиусы всех шаров одинаковы.

108.

Оцените мощность, выделяющуюся в виде тепла при экстренном торможении грузовика.

109.

Два одинаковых тела массой \(m\) каждое соединены пружиной жесткости \(k\) и лежат ни горизонтальной плоскости (рис.). Левое тело касается вертикальной стенки. Какую минимальную скорость, направленную к стенке, надо сообщить правому телу, чтобы при обратном движении от стенки оно сдвинуло левое тело? Коэффициент трения о плоскость \(\mu \). Пружина в начальный момент не деформирована. Ускорение свободного падения \(g\).

110.

Оцените отношение мощности, развиваемой кузнечиком при прыжке, к его массе (то есть удельную мощность).

111.

Косточки домино поставлены так, что первая при падении сбивает вторую, вторая – третью и т. д. Оцените, за какое время упадет ряд из \(100\) косточек.

112.

Оцените среднюю силу, с которой водяные капли действуют на зонтик во время сильного дождя.

113.

Два шара подвешены на нитях одной и той же длины. Шары разводят и отпускают. В нижней точке они сталкиваются и почти упруго отскакивают друг от друга. Если теперь один из шаров зажать в тисках в нижней точке, а второй снова отвести и отпустить, то при ударе о зажатый шар, налетающий полностью останавливается. Объясните явление.

114.

При стрельбе из рогатки вертикально вверх для растягивания резины используется подвешивание одного и того же груза. Если толщину резины уменьшить вдвое, то высота взлета тела, запускаемого из рогатки, существенно увеличивается. Объясните явление.

115.

Протон массой \(m_p\) налетает со скоростью \(v_0\) по прямой с большого расстояния на покоящееся ядро некоторого химического элемента и упруго рассеивается на нем. Оказалось, что после такого взаимодействия разлетевшиеся частицы имеют равные по величине и противоположные по направлению скорости. Найдите эти скорости и массу ядра. Какому химическому элементу принадлежит это ядро?

116.

К одному из концов длинной тонкой нити прикреплен грузик, а другой конец присоединен к жесткой опоре через небольшой отрезок упругой резинки. В свободном/состоянии грузик висит на нити в поле тяжести на достаточно большой высоте от пола. Если грузик поднять вертикально вверх на полную длину нити и затем отпустить, то при падении он растягивает резинку (не касаясь пола), но нитка остается целой. Если же конец нити привязать непосредственно к опоре, убрав резинку то при падении грузика с прежней высоты нить обрывается. Объясните причину различия в результатах.

117.

В велосипедный насос набирают воду, а затем выдавливают ее с помощью поршня. Оцените максимальную скорость струи.

(Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат).

118.

Для спасения людей при пожаре используют аварийные брезентовые полотнища, удерживаемые спасателями по периметру. Оцените, с какой высоты может упасть человек, не ударившись при торможении о землю.

Предполагается, что Вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат.

119.

Два одинаковых валика, представляющие собой тонкостенные цилиндры массы \(m\), могут вращаться без трения на закрепленных горизонтально осях, которые расположены в плоскости, наклоненной под углом \(\alpha \) к горизонту (см. рис.). На валики осторожно кладут доску массы \(M\), так что расстояния от ее концов до точек касания с валиками одинаковы. Определите коэффициент трения между валиками и доской, при котором доска не будет проскальзывать относительно валиков в первый момент времени.

120.

Куб массы \(M\,\text{с}\) ребром \(a\) стоит на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). В центр куба попадает пуля массы \(m\). При какой минимальной скорости пуля пролетит через куб, если сила трения, действующая на пулю со стороны куба, равна \(F\).

121.

Два поршня разной формы, но одинакового сечения \(S\,\text{с}\) массами \(m\) и \(M\) расположены вплотную друг к другу в длинной трубе с сечением \(S\), наполненной газом/с давлением \(P\) (см. рис.). Правому поршню сообщают скорость \(v\). Найти максимальное расстояние между поршнями. Поршни движутся в трубе без трения, газ в область между поршнями не проникает, изменением давления газа пренебречь.

122.

В начальный момент времени первый из двух одинаковых упругих шаров отпускают с нулевой скоростью с высоты \(h\), а второй выстреливают с поверхности земли со скоростью \(v\) вертикально вверх. Через какое время после столкновения второй шар упадет на землю? Ускорение свободного падения равно \(g\).

123.

Поршень массы \(m\) расположен вплотную ко дну открытой пробирки с массой \(M\) и сечением \(S\) (см. рис.). Какую начальную скорость \(V\) надо сообщить пробирке, чтобы поршень из нее вылетел? Поршень в пробирке движется без трения, воздух в область между поршнем и дном пробирки не проникает. Длина пробирки равна \(L\), атмосферное давление – \(P\).

124.

К телу, лежащему на горизонтальной плоскости, в течение времени \(\tau \) прикладывают силу \(F\), направленную вдоль плоскости, после чего тело движется до остановки в течение времени \(t\). Найдите силу трения.

125.

На столе лежит грузик массой \(m\), к которому прикреплена пружина жесткостью \(k\) (см. рис.). Пружину начинают поднимать за свободный конец с постоянной вертикальной скоростью \(v\). Найдите максимальное удлинение пружины, если ее начальная деформация равна нулю.

126.

Прямоугольная пластинка длиной \(L\), двигаясь поступательно со скоростью \(v\) по гладкой горизонтальной плоскости, наезжает под углом \(90^{\circ}\) на шероховатую полоску шириной \(l\) и останавливается, пройдя от начала торможения путь \(S\), такой, что \(l < S\) < \(L\) (см. рис.). Найдите коэффициент трения поверхностей пластины и полосы. Ускорение свободного падения равно \(g\).

127.

Пуля пробивает закрепленную доску при минимальной скорости \(v_0\). С какой скоростью должна лететь пуля для того, чтобы пробить незакрепленную доску? Масса доски \(M\), масса пули \(m\), пуля попадает в центр доски.

128.

Оцените механическую мощность, которую в спокойном/состоянии развивает ваше сердце.

129.

В стене укреплен горизонтальный стержень, по которому без трения может двигаться бусинка массой \(m\). Бусинка соединена со стеной нитью длиной \(2L\), к середине которой прикреплен груз массой \(M\), как показано на рисунке. Вначале нить натянута. Грузы отпускают. Какие скорости наберут груз и бусинка перед ударом о стену? Ускорение свободного падения равно \(g\). Размерами тел пренебречь.

130.

Две бусинки массой \(m_1\) и \(m_2\) надеты на проволоку, наклоненную под углом \(\alpha \) к горизонту, на расстояниях \(L_1\) и \(L_2\) от точки изгиба \(O\), после которой проволока горизонтальна. Бусинки одновременно начинают соскальзывать с нулевой начальной скоростью. На горизонтальном участке они при встрече слипаются. Найти скорость получившегося тела. Трения нет, ускорение свободного падения \(g\). В окрестности точки \(O\) имеется небольшой участок скругления, так что скорость там не теряется.

131.

Лыжник съезжает с горки высотой \(h\). Внизу имеется выемка, край которой поднимается под углом \(\alpha \) к горизонту (см. рис.). Найти, какое расстояние по горизонтали пролетит лыжник, взлетев с такого трамплина. Трением пренебречь.

132.

Сани тянут силой \(F\), направленной под углом \(\alpha \) к горизонту (см. рис.). В другом/случае такая же по величине сила направлена горизонтально. В обоих случаях сани разгоняются вдоль горизонтальной дороги из состояния покоя, причем работы, произведенные каждой силой за одно и то же время, оказались одинаковыми. Масса саней \(m\), ускорение свободного падения \(g\). Найти коэффициент трения.

133.

Зал для зимнего футбола имеет высоту \(h\) и длину \(L\). Найти скорость мяча, при которой он пролетит от ворот до ворот, почти коснувшись потолка. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Сопротивлением воздуха и размером мяча пренебречь.

134.

Тело массы \(m\) налетает на покоящееся тело со скоростью \(v\) (см. рис.). Известно, что после упругого удара налетающее тело имеет скорость \(u\), направленную перпендикулярно исходной. Найти массу \(M\) второго тела.

135.

Тело массы \(m\), которое может двигаться по горизонтали без трения, находится между двумя стенками, к которым прикреплено пружинами (см. рис.). Левая пружина имеет коэффициент упругости \(k\) и рвется при растяжении ее силой \(T\), правая – соответственно \(3k\) и \(2T\). В исходном/состоянии пружины не деформированы. Какую минимальную скорость следует придать телу, чтобы порвалась сначала левая пружина, затем правая?

136.

Пуля, попавшая в цель, застревает в ней. Оцените среднее давление, которое оказывает пуля на пробиваемую среду.

137.

Оцените, насколько снижается результат прыжка в длину из-за сопротивления воздуха.

138.

Оцените максимальное число приседаний, которое человек может сделать в течение минуты, не используя каких-либо приспособлений. (В книге рекордов Гиннеса регистрируется чемпион в этом виде.)

139.

Шарики роняют с высоты \(h\) на сферический выступ горизонтальной поверхности (см. рис.). На какое наибольшее расстояние \(L\) по горизонтали может отскочить шарик после упругого удара о выступ? Радиусами шариков и выступа пренебречь по сравнению с \(h\).

140.

Тело массы \(m\) толкнули вверх по наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha \). (см. рис.). Оно поднималось от исходной точки вверх время \(t\), а спускалось назад к исходной точке время \(2t\). Определите коэффициент трения и тепло, выделившееся при возвращении тела к исходной точке. Ускорение свободного падения \(g\).

141.

Оцените среднюю мощность, развиваемую силой давления пороховых газов, действующей на пулю при выстреле.

142.

Выше границы раздела поверхностей (точка \(O\) на рис.) на наклонной плоскости с углом \(\alpha \,\text{с}\) горизонталью коэффициент трения \(\mu_1 < tg\alpha \), а ниже \(\mu_2 > tg\alpha \). Небольшое тело, отпущенное из состояния покоя, прошло до остановки расстояние \(L\). На каком расстоянии от границы раздела оно было отпущено? Ускорение свободного падения равно \(g\).

143.

На горизонтальной плоскости (см. рис.) находятся два тела массой \(m\) каждое, соединенные недеформированной пружиной жесткости \(k\). Одному из тел сообщили скорость \(v_0\). Найдите натяжение пружины в момент, когда скорость второго тела достигнет значения \(v\). Трением пренебречь.

144.

К концу стержня, закреплённого на широкой подставке, привязан на нерастяжимой нити груз массы \(m\) (см. рис.). Масса подставки со стержнем \(M\). Груз отклонили на \(90^{\circ}\) от вертикали и отпустили. Найдите коэффициент трения между подставкой и горизонтальной поверхностью стола, если подставка начала сдвигаться в момент, когда нить образует угол \(\alpha \,\text{с}\) вертикалью.

145.

Оценить силу давления каскадера на мотоцикл при приземлении после прыжка на мотоцикле через автобус.

Предполагается, что вы хорошо представляете явление, можете сами задать недостающие и необходимые для решения задачи величины, выбрать их числовые значения и получить численный результат.

146.

Два тела на горизонтальной плоскости связаны пружиной жёсткости \(k\), коэффициент трения между телами и плоскостью \(\mu \) (см. рис.). Первое тело с известной массой \(M\) упирается в выступ, не позволяющий ему смещаться вправо. Если второе тело сдвинуть на \(x_0\) или большую величину вправо и отпустить, то после начала его движения в некоторый момент времени сдвинется и первое тело. Найдите массу второго тела. Ускорение свободного падения \(g\).

147.

На плоскости с углом наклона \(\alpha \) имеется шероховатый участок протяжённостью \(l\,\text{с}\) коэффициентом трения \(\mu \) (см. рис.). На остальной части плоскости трение отсутствует. На каком расстоянии \(x\) от ближайшего края этого участка надо отпустить тело, чтобы оно съехало с наклонной плоскости? Ускорение свободного падения \(g\).

148.

Маленькое тело массы \(m\) соскальзывает вниз по поверхности незакреплённого тела массы \(M\) (см. рис.). Форма поверхности соскальзывания представляет из себя вогнутый спуск высоты \(h\), который плавно переходит в соприкосновение с горизонтальной плоскостью. Найдите скорость движения маленького тела на горизонтальной плоскости. Трения нет. Ускорение свободного падения \(g\).

149.

Спортсмен, разогнавшись на спортивных санках, несется, лежа на них, по горизонтальному льду. Оцените, при какой скорости он рискует перевернуться, если один полоз санок наедет на выступ длиной \(20\,\text{см}\) и высотой \(3\,\text{см}\) (рис.).

150.

На две частицы – одну массы \(m\), летящую со скоростью \(v\). другую массы \(2m\), летящую со скоростью \(2v\), направленной перпендикулярно \(v\) (рис.) – в течение некоторого времени действуют одинаковые по величине и направлению силы. К моменту прекращения действия сил правая частица поворачивает и начинает двигаться в обратном направлении со скоростью \(2v\), как изображено на рисунке. С какой скоростью стала двигаться вторая частица?

151.

Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии \(l = 30\) см от края стола. Пуля массы \(m = 1\) г, летящая горизонтально со скоростью \(v_0 = 150\,\text{м/с}\), пробивает коробок и вылетает из него со скоростью \(v = v/2\). Масса коробка \(M = 50\) г. При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадет со стола?

152.

Частица массы \(m\), движущийся со скоростью \(v\) налетает на покоящуюся частицу массы \(\frac{m}{2}\) и после упругого удара отскакивает под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к направлению своего первоначального движения. С какой скоростью начнет двигаться вторая частица?

153.

Водометный катер забирает забортную воду и выбрасывает ее назад со скоростью \(V\) относительно катера. При этом он движется со скоростью \(v\). К катеру на длинном тросе прицепили буксируемое судно, сила сопротивления которого при одинаковой скорости движения равна сопротивлению катера. Определить скорость буксира, если известно, что силы сопротивления катера и буксируемого судна изменяются пропорционально их скоростям.

154.

Маленький кубик массы \(m\) налетает со скоростью \(v\) на тело массы \(M\), стоящее на гладкой горизонтальной поверхности, и скользит по стене тела без трения. Стенка имеет форму полукруга радиуса \(R\) (рис.). Кубик достиг точки \(A\). Найти скорости кубика и тела в этот момент.

155.

Шарик массы \(m\) подвешен на нити длины \(l\). С какой скоростью \(v\) нужно потянуть точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный оборот в вертикальной плоскости?

156.

Имеется очень маленькая неподвижная наклонная плоскость с углом \(\alpha \). На нее налетают горизонтально два шарика: сначала первый, который отскакивает упруго, а затем второй, который отскакивает неупруго. При каком угле \(\alpha \) шарики улетят на одинаковое расстояние?

157.

Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты \(H\) по гладкой доске, наклоненной под углом \(\alpha = 60^{\circ}\) к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальный пол. Коэффициент трения мешка о пол \(\mu = 0{,}7\). Где остановится мешок?

158.

Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты \(H = 2\,\text{м}\) по доске, наклоненной под углом \(\alpha = 45^{\circ}\) к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность равен \(\mu = 0{,}5\). На каком расстоянии от конца доски остановится мешок?

159.

Цирковой гимнаст падает с высоты \(H = 1{,}5\,\text{м}\) на туго натянутую упругую предохранительную сетку. Каково будет максимальное провисание гимнаста в сетке, если в случае спокойно лежащего в сетке гимнаста провисание \(l = 0{,}1\,\text{м}\)?

160.

В центр шара массы \(M_1 = 300\,\text{г}\), лежащего на краю стола, попадает горизонтально летящая пуля массы \(M_2 = 10\,\text{г}\) и пробивает его насквозь. Шар падает на расстоянии \(S_1 = 6\,\text{м}\) от стола, а пули – на расстоянии \(S_2 = 15\,\text{м}\). Высота стола \(H = 1\,\text{м}\). Определить первоначальную скорость нули.

161.

Обруч радиуса \(r\) скатился без проскальзывания с горки высоты \(h\) (см. рис.). Найдите скорость и ускорение точки обода \(B\). Трением пренебречь.

162.

Обруч радиуса \(r\) скатился без проскальзывания с горки высоты \(h\) (см. рис.). Найдите скорость и ускорение точки \(A\) обода. Трением пренебречь.

163.

Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой \(M = 50\,\text{кг}\) и головного защитного конуса массой \(m = 10\,\text{кг}\). Конус сбрасывается вперед сжатой пружиной. При испытаниях на Земле с закрепленной ракетой пружина сообщала конусу скорость \(v_0 = 5{,}1\,\text{м/с}\). Какова будет относительная скорость конуса и ракеты, если их разделение произойдет на орбите?

164.

Станина с укрепленной на ней пушкой начинает соскальзывать с наклонной плоскости, имеющей угол наклона \(\alpha \). Коэффициент трения равен \(\mu \). В момент времени \(t\) из пушки производится выстрел в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости. Определить, чему должна быть равна начальная скорость снаряда, чтобы произошла кратковременная остановка пушки? Масса снаряда \(m\), станины с пушкой \(M\), причем \(m\) << \(M\).

165.

Тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нити длиной \(l = 1\,\text{м}\), отклоняют от вертикали на \(90^{\circ}\) и затем толчком отпускают с некоторой начальной скоростью \(v_0\). Нить обрывается в момент, когда она составляет с вертикалью угол \(\alpha = 60^{\circ}\). Найти скорость \(v_0\), если известно, что при движении шарика без толчка нить обрывается в нижней точке траектории?

166.

Шарик массой \(m = 1\,\text{кг}\) подвешивают на тонкой нити, отклоняют нить от вертикали на \(90^{\circ}\) и отпускают толчком, сообщая шарику некоторую начальную скорость. Нить обрывается, когда она составляет с вертикалью угол \(\alpha = 30^{\circ}\). Если повторить опыт, подвесив шарик на сдвоенной нити такой же длины и сообщив ему тот же начальный толчок, нить обрывается в нижней точке траектории. Определить прочность нити.

167.

\(\alpha \)-частица, имеющая скорость \(1000\,\text{м/с}\), налетает на атом углерода, который двигался до соударения в том же направлении, но со скоростью, вдвое меньшей. С какой скоростью перемещается центр масс соударяющихся атомов?

168.

Бусинке массы \(m = 1\,\text{г}\) сообщают скорость \(v_0 = 10\,\text{м/с}\) направленную вдоль горизонтальной спицы (см. рис.). По обе стороны от бусинки на ту же спицу надеты две гири массы \(M = 10\,\text{кг}\). Бусинка поочередно упруго отражается от них и приводит их в движение. Найти скорости гирь после того, как столкновения прекратятся, если трение при движении всех трех тел пренебрежимо мало.

169.

Гладкий желоб состоит из горизонтальной части \(AB\) и дуги окружности \(BC\,\text{с}\) углом \(\alpha = 45^{\circ}\) (см. рис.). Радиус окружности \(R = 1\,\text{м}\). Тело, имеющее скорость \(v = 10\,\text{м/с}\), скользит без трения по желобу. Определить величину и направление ускорения тела в точке \(C\).

170.

Конечный участок горы разгона на лыжном трамплине представляет собой часть окружности радиуса \(R = 15\,\text{м}\) (см. рис.). Полная высота горы \(H = 50\,\text{м}\). Найти величину полного ускорения прыгуна в точке \(C\), если угол \(BOC = \alpha = 30^0\). Считать, что лыжник спускается из точки \(A\) без начальной скорости; трением пренебречь.

171.

Два тела с массами \(m\) и \(3m\) движутся по взаимно перпендикулярным направлениям (см. рис.). После соударения тело массы \(m\) остановилось. Какую часть его энергии составляет выделившееся при ударе тепло?

172.

Две частицы с массами \(M\) и \(2M\), имеющие импульсы \(p\) и \(\frac{p}{2}\), движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. После соударения частицы обмениваются импульсами (см. рис.). Определить выделившееся при ударе тепло.

173.

Пуля массы \(m = 10\,\text{г}\), летящая горизонтально со скоростью \(v = 300\,\text{м}\)/с, пробивает насквозь шар массы \(M = 100\,\text{г}\), лежащий на краю стола. Шар падает на пол на расстоянии \(S_1 = 5\,\text{м}\) от края стола. На каком расстоянии от края стола упадет пуля? Высота стола Н = \(1\,\text{м}\).

174.

Космический аппарат, имеющий форму конуса с высотой \(H = 10\,\text{см}\) и углом при вершине \(\alpha = 120^{\circ}\), движется со скоростью \(v = 10\) км/с острием вперед в верхних слоях атмосферы. Определить энергию, передаваемую аппаратом молекулам воздуха в секунду. Концентрация молекул \(n = 10^5\,\text{см}^{-3}\); масса молекулы \(m = 4{,}5\)·\(10^{-23}\,\text{г}\); молекулы можно считать покоящимися, а столкновения их с аппаратом – абсолютно упругими.

175.

Какую работу надо затратить, чтобы втащить сани с грузом (обшей массой \(m = 30\,\text{кг}\)) на горку высотой \(H = 10\,\text{м}\). Угол наклона горки \(\alpha = 30^{\circ}\), а коэффициент трения между санями и горкой линейно убывает вдоль пути от \(\mu_1 = 0{,}5\) у подножия до \(\mu_2 = 0{,}1\) у вершины.

176.

Ребенок скатывается с горки на санках (см. рис.). Какую скорость будут иметь санки у подножия горы, если ее высота \(H = 15\,\text{м}\), угол наклона \(\alpha = 30^{\circ}\), а коэффициент трения линейно нарастает вдоль пути от \(\mu_1 = 0\) у вершины до \(\mu_2 = 0{,}4\) у подножия?

177.

Выезд с горки на горизонтальную плоскость представляет собой дугу окружности радиуса \(R = 4\,\text{м}\) (рис.). Поверхность горки гладкая, а горизонтальная поверхность – шероховатая с коэффициентом трения \(\mu = 0{,}2\). Санки, съехав с горки остановились на расстоянии \(l = 30\,\text{м}\) от ее конца. На какой высоте \(h\) человек в санках испытал двукратную перегрузку?

178.

Тело без начальной скорости соскальзывает в яму, стенки которой гладкие и плавно переходят в горизонтальное дно (рис.). Длина дна \(l = 2\,\text{м}\), коэффициент трения тела о дно ямы \(\mu = 0{,}3\). Глубина ямы \(H = 5\,\text{м}\). На каком расстоянии от середины ямы тело остановится?

179.

Три одинаковых гладких биллиардных шара радиусом \(R\) расположены на гладкой горизонтальной плоскости, как показано на рисунке. Шару \(1\) сообщается скорость он ударяется сначала о шар \(2\), затем о шар \(3\) и останавливается. Определите расстояние \(r\) между центрами шаров \(1\) и \(3\) и скорости, которые приобретут после удара шары \(2\) и \(3\). Соударения абсолютно упругие.

180.

Тело массы \(M\) налетает на две последовательно соединенные пружины жесткости \(k_1\) и \(k_2\) (рис.). Максимальная энергия деформации пружины \(2\) оказалась равной \(E\). Определите начальную скорость теле \(v\).

181.

Под каким углом к горизонту надо бросить камень, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъема составляла \(25\%\) от его кинетической энергии в точке бросания?

182.

Вблизи дороги образовалась ледяная горка с выездом на проезжую часть. Поверхность горки составляет угол \(\alpha \,\text{с}\) горизонтальной плоскостью. Проезжающей мимо дорожной машине удалось до половины высоты посыпать горку снизу песком. Коэффициент трения скольжения полозьев санок о лед с песком \(\mu = 0{,}5\). Пренебрегая трением/санок о лед без песка, найдите максимальное значение угла \(\alpha \), при котором/санки не смогут достичь основания горки, съехав с ее вершины без начальной скорости.

183.

\(\alpha \)-частица, пролетая мимо первоначально покоившегося ядра химического элемента с массовым числом, равным \(12\), потеряла \(20\%\) своей скорости. На какой угол \(\beta \) отклонилась и частица (рис.)?

184.

Троллейбус массой \(m\) = \(12\cdot 10^{3}\,\text{кг}\) на некотором горизонтальном прямолинейном участке увеличил скорость с \(v_1 = 5\,\text{м/с}\) до \(v_2 = 10\,\text{м/с}\). Двигатель троллейбуса развивал постоянную мощность \(N = 60\) кВт. Пренебрегая сопротивлением движению, найдите максимальное и минимальное значения ускорения троллейбуса на этом участке.

185.

Деформация вертикальной легкой пружины, удерживающей гирю, составляет \(x = 4\,\text{см}\) (рис.). Чтобы увеличить деформацию пружины на \(50 \%\), медленно надавливая на груз в вертикальном направлении, надо совершить работу \(A = 0{,}3\,\text{Дж}\). Найдите жесткость пружины.

186.

Сани с седоком и собакой общей массой М съезжают с постоянной скоростью \(v_0\,\text{с}\) горы (рис.), имеющей уклон \(\alpha \) (\(cos\alpha = 6\)/7). Собака массой \(m\) спрыгивает с саней по ходу их движения и приземляется со скоростью, равной \(v\) и направленной под углом \(\beta \) (\(cos\beta = 3\)/7) к горизонту. Сани после этого продолжают двигаться по горе вниз. Найдите скорость саней с седоком после прыжка собаки.

187.

После разрыва неподвижного снаряда образовалось четыре осколка (см. рис.). Осколок массой \(m_1 = 4\,\text{кг}\) полетел вертикально вниз со скоростью \(v_1 = 150\,\text{м/с}\), массой \(m_2 = 3\,\text{кг}\) – горизонтально на юг со скоростью \(v_2 = 100\,\text{м/с}\), массой \(m_3 = 1\,\text{кг}\) – горизонтально на восток. Осколок массой \(m_4 = 3{,}5\,\text{кг}\) полетел со скоростью \(v_4 = 200\,\text{м/с}\). Найдите скорость третьего осколка.

188.

Два груза массой \(m\) каждый связаны нитью (рис.). Между грузами вставлена легкая упругая пружина, сжатая на величину \(x\). Система движется со скоростью \(v\) вдоль прямой, перпендикулярной ее оси. В некоторый момент нить пережигают, и грузы разлетаются под углом \(90^{\circ}\). Найдите коэффициент упругости пружины.

189.

Брусок, двигавшийся по горизонтальной поверхности стола со скоростью \(v_0\). сталкивается с неподвижным бруском вдвое большей массы. На какое расстояние разъедутся бруски после столкновения? Удар упругий, центральный. Коэффициенты трения брусков о стол одинаковы и равны \(\mu \).

190.

По доске, наклоненной к горизонту под углом \(\alpha = \arcsin\)(\(\frac{l}{3}\)) можно передвигать вверх или вниз грузы, прикладывая силу вдоль доски. Чтобы передвинуть ящик массой \(m = 30\,\text{кг}\) вниз на расстояние \(L = 3\,\text{м}\), надо совершить минимальную работу \(A = 100\,\text{Дж}\). Какую минимальную работу потребуется совершить, чтобы вернуть по доске этот ящик назад?

191.

По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью \(u = 1\,\text{м/с}\) и небольшой шарик со скоростью \(v = 2\,\text{м/с}\). В некоторый момент времени шарик оказался в точке \(A\) на расстоянии \(s = 1{,}5\,\text{м}\) от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова окажется в точке \(A\)? Столкновение шарика с бруском упругое. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса шарика намного меньше массы бруска.

192.

С верхней точки шара радиусом \(R = 54\,\text{см}\). закрепленного на горизонтальной поверхности стола, соскальзывает без начальной скорости и без трения небольшой шарик. На какую максимальную высоту от стола поднимется шарик после упругого удара о стол?

193.

По горизонтальной поверхности стола скользит брусок массой \(m\) и сталкивается неупруго с неподвижным бруском массой \(2m\), имея перед ударом/скорость \(v = 2\,\text{м/с}\). Какое расстояние пройдут слипшиеся бруски до остановки? Коэффициент трения скольжения между брусками и столом \(\mu = 1/18\).

194.

Кусок пластилина массой \(m = 32\,\text{г}\) попадает в брусок массой \(6m\), двигавшийся по гладкой горизонтальной поверхности стола, и прилипает к нему (рис.). Перед ударом/скорость куска пластилина равна \(v = 7\,\text{м/с}\) и направлена под углом \(\alpha = 60^{\circ}\) к горизонту, а скорость бруска равна \(\frac{v}{4}\) и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина.

1) Определите скорость бруска с пластилином после удара.

2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска, пластилина и окружающих тел?

195.

На столе лежит брусок. На легкой нити длиной \(L\) висит шарик, касаясь бруска (см. рис.). Нить вертикальна. Масса бруска в \(7\) раз больше массы шарика. Шарик отклоняют в сторону так, что нить занимает горизонтальное положение, и отпускают. После неупругого удара о брусок шарик останавливается, а брусок смещается по горизонтальной поверхности стола на расстояние \(S\).

1) Найти скорость бруска сразу после удара.

2) Найти коэффициент трения скольжения между бруском и столом.

196.

На горизонтальной поверхности стола покоится ящик. Пуля массой в \(50\) раз меньше массы ящика летит горизонтально со скоростью \(v_0\), пробивает ящик и продолжает лететь в прежнем направлении со скоростью вдвое меньше. Коэффициент трения скольжения между ящиком и столом \(\mu \),

1) Какую скорость приобретает ящик сразу после вылета из него пули?

2) Найти время движения ящика по столу.

197.

На легкой нити длиной \(L\) висит шар. Пуля летит горизонтально со скоростью \(v_0\), пробивает шар и продолжает лететь в прежнем направлении. В результате максимальный угол отклонения шара на нити оказался \(\alpha = 60^{\circ}\). Масса шара в \(10\) раз больше массы пули.

1) Найти скорость шара сразу после вылета из него пули.

2) Найти скорость вылетевшей из шара пули.

198.

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоится горка с двумя вершинами, высоты которых \(H\) и \(3H\). На левой вершине горки находится шайба массой \(m\) (см. рис.). Масса горки \(5m\), ее поверхность гладкая. От незначительного толчка вправо шайба приходит в движение. Найти скорость шайбы на правой вершине, если:

1) горка закреплена на столе,

2) горка не закреплена. Считать, что при движении шайба не отрывается от поверхности горки, а поступательно движущаяся горка – от стола.

199.

Трубка в форме петли укреплена на бруске, находящемся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Нижний конец трубки горизонтален и находится на расстоянии \(h\) от стола. Шарик массой \(m\), который может скользить по трубке без трения, удерживается на высоте \(H\) от стола. Масса платформы с трубкой \(3m\). Вначале система покоилась. Шарик отпустили. Найти скорость вылетевшего из трубки шарика, если:

1) платформа закреплена на столе;

2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется поступательно.

200.

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся две горки с гладкой поверхностью, плавно переходящей в поверхность стола (см. рис.). Горка \(A\) закреплена на столе, и на ней на высоте \(H\) удерживают шайбу массой \(m\). Масса горки \(B\) равна \(6m\). Шайбу отпускают. Найти максимальную высоту (считая от стола) подъема шайбы по горке \(B\), если: 1) горка \(B\) закреплена на столе; 2) горка \(B\) не закреплена.

201.

Трубка в виде петли жестко укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Правый конец трубки горизонтален, его расстояние до стола \(h\). В трубке на высоте \(H\) удерживается шарик массой \(m\), который может скользить по трубке без трения (см. рис.). Масса платформы с трубкой \(4m\). Система покоится. Шарик отпускают. Найти скорость вылетевшего из трубки шарика, если: 1) платформа закреплена на столе; 2) платформа не закреплена и после вылета шарика движется поступательно.

202.

Цепочку длиной \(l = 20\,\text{см}\) удерживают в покое на клине так, что на наклоненной под углом \(\alpha \) (\(sin\alpha = 3/5\)) к горизонту поверхности клина лежит \(2/3\) цепочки, а \(1/3\) висит (см. рис.). Трение цепочки о клин и направляющий желоб \(P\) пренебрежимо мало. Цепочку отпускают, и она «заползает» на клин, оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти ускорение цепочки в начальный момент движения. 2) Найти скорость цепочки в момент, когда она полностью окажется на клине.

203.

Однородный гибкий канат длиной \(L = 1\,\text{м}\) и массой \(m = 1\,\text{кг}\) удерживают в покое за верхний конец так, что \(1/3\) каната находится на столе, а \(2/3\) свисает (см. рис.). В некоторый момент канат перестают удерживать и начинают втаскивать на стол, прикладывая силу \(F = 8\,\text{Н}\) вдоль горизонтальной поверхности стола перпендикулярно кромке стола. Трением каната о стол и направляющий желоб \(P\) пренебречь. 1) Найти ускорение каната в начальный момент его движения. 2) Найти скорость каната в момент, когда он полностью окажется на столе.

204.

На доске, наклоненной под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту, удерживают в покое однородную гибкую веревку длиной \(l = 40\,\text{см}\) так, что на доске лежит \(4/7\) длины веревки, а \(3/7\) висит вертикально (см. рис.). Трение веревки о доску и направляющий желоб \(P\) пренебрежимо мало. Веревку отпускают, и она движется, оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти ускорение веревки в начальный момент движения. 2) Найти скорость веревки в момент, когда она соскользнет с доски и примет вертикальное положение.

205.

Однородный гибкий канат массой \(m\) и длиной \(L = 75\,\text{см}\) прикреплен к бруску массой \(2m\), находящемуся на горизонтальной поверхности стола (см. рис.). Со стола свешивается половина длины каната. Коэффициент трения скольжения бруска о стол \(\mu = 0{,}15\). Трением каната о стол и направляющий желоб \(P\) пренебречь. Брусок удерживают в покое, а затем отпускают. 1) Найти ускорение бруска в начале движения. 2) Найти скорость бруска в момент, когда канат соскользнет со стола.

206.

На тележке, которая может двигаться по горизонтальным рельсам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной плоскости трубка в форме кольца (см. рис. – вид сверху). Внутри трубки может двигаться без трения шарик массой \(m\). Масса тележки с трубкой \(M\), массой колес тележки пренебречь. Шарику, при неподвижной тележке, сообщают в точке \(A\) скорость \(v_0\), направленную параллельно рельсам.

1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки \(B\) тележки, диаметрально противоположной точке \(A\).

2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется тележка через время \(t_0\), когда шарик совершит несколько оборотов и окажется в точке \(B\) тележки?

207.

Тележка может двигаться прямолинейно поступательно без трения по горизонтальной поверхности стола. К тележке прикреплена горизонтальная ось \(O\), перпендикулярная возможному направлению движения тележки (см. рис.). Вокруг оси \(O\), в плоскости, перпендикулярной ей, может вращаться без трения на стержне длиной \(L\) небольшой по размерам шарик массой \(m\). Масса тележки, оси \(O\) и ее крепления – \(4m\). Массами стержня и колес тележки пренебречь. Вначале тележка покоилась, а стержень удерживался под углом \(\beta = 30^{\circ}\) к вертикали. Затем/стержень отпустили.

1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней точки своей траектории.

2) Найти амплитуду колебаний тележки, т. е. половину расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями тележки.

208.

Брусок может двигаться поступательно без трения по прямолинейным горизонтальным/салазкам, не отрываясь от них. На бруске укреплен в вертикальной плоскости, параллельной салазкам, желоб радиусом \(R\), по которому может скользить без трения небольшой по размерам шарик массой \(m\) (см. рис.). Масса бруска с желобом \(6m\). Вначале брусок покоился. Шарику в верхней точки желоба сообщили горизонтальную скорость \(v_0\).

1) Найти скорость бруска при прохождении шариком нижней точки желоба.

2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется брусок через время \(t_0\), когда шарик совершит несколько оборотов и окажется в нижней точке желоба?

209.

Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль горизонтальной направляющей \(EE_1\) (см. рис.). К муфте перпендикулярно \(EE_y\) прикреплена горизонтальная ось \(O\), вокруг которой может вращаться без трения обруч радиусом \(R\,\text{с}\) закрепленным на нем небольшим по размерам грузом массой \(m\). Масса муфты, оси О и ее крепления \(3m\). Массой обруча пренебречь. Вначале муфта неподвижна и обруч удерживают в положении, когда \(\mathrm{ОР}\) составляет угол \(\alpha = 30^{\circ}\) с горизонтом. Затем обруч отпускают.

1) Найти скорость муфты при прохождении грузом нижней точки своей траектории.

2) Найти амплитуду колебаний муфты, т. е. половину расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями муфты.

210.

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha \) к горизонту в точке \(O\) прикреплена нить длиной \(l\). К другому концу нити привязан небольшой шарик (см. рис.). В начальный момент шарик находится в положении равновесия в точке \(A\), Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в точке \(A\) вдоль наклонной плоскости в горизонтальном направлении, чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности?

211.

Обруч в форме окружности закреплен на столе в положении, когда его плоскость наклонена под углом \(\alpha \) к горизонтальной поверхности \(p\) стола (см. рис.). По обручу может скользить без трения небольшое колечко массой \(m\). Вначале колечко удерживают в верхней точке \(C\) обруча. В результате незначительного толчка колечко приходит в движение. Найти модуль силы, с которой колечко действует на обруч в точке \(A\), находящейся на горизонтальном диаметре обруча.

212.

Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной \(l\) к гвоздю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью, наклоненной под углом \(\alpha \) к горизонту (см. рис.). Вначале шарик удерживают на доске в точке \(A\), слабо натянув нить горизонтально вдоль доски. Какую минимальную скорость \(v\) надо сообщить шарику в точке \(A\) вдоль доски перпендикулярно нити, чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности?

213.

Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом \(R\) закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту \(\alpha \) (см. рис.). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии \(2R\) от горизонтального диаметра петли, опускают без начальной скорости маленький шарик массой \(m\). Шарик скользит внутри трубки без трения. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку в точке \(A\), находящейся на горизонтальном диаметре петли?

214.

Два шара насажены на прямолинейную горизонтальную спицу и могут скользить по ней без трения (рис.). К шару массой \(m\) прикреплена легкая пружина жесткостью \(k\), и он покоится. Шар массой \(2m\) движется со скоростью \(v\). Радиусы шаров много меньше длины пружины. 1) Определите скорость шара массой \(2m\) после отрыва от пружины. 2) Определите время контакта шара массой 2\(m\,\text{с}\) пружиной.

215.

На горизонтальной поверхности стола покоится чаша с небольшой по сравнению с размерами чаши шайбой массой \(m\) (рис.). Нижняя часть \(AB\) внутренней поверхности чаши есть часть сферы радиусом \(R\). Глубина чаши \(H = 3\)\(\frac{R}{5}\), ее внутренняя поверхность гладкая. Шайба начинает скользить без начальной скорости и при движении не отрывается от чаши, а чаша остается в покое. Шайба достигает точки \(C\), для которой угол между радиусом \(OC\) и вертикалью равен ее (\(cos\alpha = 4/5\)). 1) Найдите скорость шайбы в точке С. 2) Найдите силу трения между чашей и столом при прохождении шайбой точки С.

216.

Шайба массой \(m\) скользит со скоростью \(v_0\) по гладкой горизонтальной поверхности стола, попадает на покоящийся клин массой \(2m\), скользит по нему без трения и отрыва и покидает клин (рис.). Клин, не отрывавшийся от стола, приобретает скорость \(\frac{v_0}{4}\) . Найдите угол \(\alpha \) наклона к горизонту поверхности верхней части клина. Нижняя часть клина имеет плавный переход к поверхности стола. Изменением потенциальной энергии шайбы в поле тяжести при ее движении по клину пренебречь. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.

217.

По горизонтальной поверхности стола протягивают с постоянной скоростью \(v\) тонкую ленту шириной \(d\) (рис.). На ленту въезжает скользящая по столу монета, имея скорость \(4v\)/3, направленную перпендикулярно краю ленты. Монета скользит по ленте и покидает ее со скоростью \(v\) под неравным нулю углом к краю ленты.

1) Найдите скорость монеты относительно ленты в начале движения по ленте. 2) Найдите коэффициент трения скольжения между монетой и лентой.

218.

Два мальчика бегут к неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности. Мальчик массой \(m\) запрыгивает на тележку. Второй мальчик массой 1,\(2m\) нагоняет уже движущуюся тележку и тоже запрыгивает на неё. Скорость тележки увеличивается на \(80\%\). Найдите массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей мальчиков относительно поверхности Земли перед попаданием на тележку одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

219.

На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности, сидят кошка массой \(m\) и собака массой \(4m\). Кошка спрыгивает с тележки. Затем/с уже движущейся тележки по направлению к кошке спрыгивает собака, и скорость тележки возрастает в \(7\) раз. Найдите массу тележки. Горизонтальные составляющие скоростей кошки и собаки относительно поверхности Земли перед приземлением одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

220.

К неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности, бегут мальчик массой \(m\) и девочка массой \(0,8m\). Мальчик запрыгивает на тележку. Девочка нагоняет уже движущуюся тележку и тоже запрыгивает на неё. Скорость тележки увеличивается на \(60 \%\). Во сколько раз масса тележки больше суммарной массы мальчика и девочки? Горизонтальные составляющие скоростей мальчика и девочки относительно поверхности Земли перед попаданием на тележку одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

221.

На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной поверхности, сидят собака массой \(m\) и щенок массой \(0,2m\). Собака спрыгивает с тележки. Затем/с уже движущейся тележки по направлению к собаке спрыгивает щенок, и скорость тележки возрастает на \(30 \%\). Во сколько раз масса тележки больше суммарной массы собаки и щенка? Горизонтальные составляющие скоростей собаки и щенка относительно поверхности Земли перед приземлением одинаковы. Сопротивлением движению тележки пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

222.

На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами \(4m\) и \(5m\). На вершине горки массой \(4m\) на высоте \(h\) лежит монета массой \(m\). От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки (см. рис.).

1) Найдите скорость монеты на столе.

2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой \(5m\)?

Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

223.

Горка массой \(5m\,\text{с}\) покоящейся на её вершине шайбой массой \(m\) скользит со скоростью \(v\) по гладкой горизонтальной поверхности стола в направлении покоящейся незакреплённой горки массой \(7m\) (см. рис.). От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка останавливается, а шайба движется по столу в направлении горки массой \(7m\).

1) Найдите высоту горки массой \(5m\).

2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на горке массой \(7m\)?

Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

224.

Ha гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся незакреплённые горки массами \(3m\) и \(6m\). На вершине горки массой \(3m\) на высоте \(h\) лежит монета массой \(m\). От незначительного толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки (см. рис.).

1) Найдите скорость монеты на столе.

2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на горке массой \(6m\)?

Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

225.

Горка массой \(7m\,\text{с}\) покоящейся на её вершине шайбой массой \(m\) скользит со скоростью \(v\) по гладкой горизонтальной поверхности стола в направлении покоящейся незакреплённой горки массой \(11m\) (см. рис.). От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка останавливается, а шайба движется по столу в направлении горки массой \(11m\).

1) Найдите высоту горки массой \(7m\).

2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на горке массой \(11m\)?

Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок, а поступательно движущиеся горки – от стола. Направления всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.

226.

Шарик, движущийся со скоростью \(v\) по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик остановился, а кубик стал двигаться поступательно со скоростью \(\frac{v}{3}\). Какая часть первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?

227.

Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(v\), налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности брусок. В результате неупругого удара шарик остановился и \(60 \%\) его первоначальной кинетической энергии перешли в теплоту, а брусок стал двигаться поступательно. Какова скорость бруска после удара?

228.

Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. В результате неупругого удара шарик остановился, а кубик начал двигаться поступательно со скоростью \(v\). При этом \(75 \%\) первоначальной кинетической энергии шарика перешли в теплоту. Какова была скорость шарика до удара?

229.

Шарик массой \(m\), движущийся по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности брусок. В результате неупругого удара шарик останавливается и \(80 \%\) его первоначальной кинетической энергии переходит в теплоту, а брусок движется поступательно. Какова масса бруска?

230.

Шар \(A\) массы \(m\), закрепленный на длинной невесомой спице, образует маятник, который может совершать колебания, вращаясь вокруг оси \(O\) (рис.). Шар \(A\) отклонен на высоту \(h\) и отпущен без начальной скорости. В нижней точке своей траектории шар \(A\) соударяется с двигающимся навстречу шаром \(B\), масса которого \(M\). Шар \(B\), подобно шару \(A\), закреплен на длинной невесомой спице, вращающейся вокруг оси \(O_1\). Непосредственно перед соударением/скорости шаров направлены вдоль линии, соединяющей их центры. Какую скорость \(v\) должен иметь шар \(B\) перед соударением, чтобы шар \(A\) после соударения поднялся бы на ту же самую высоту \(h\)? Удар абсолютно упругий. Трение в осях и о воздух не учитывать.

231.

Шарик массы \(m_1\), движущийся со скоростью \(v\), налетает на покоящийся шарик массы \(m_2\). Происходит абсолютно упругий центральный удар. Найти, при каком соотношении масс \(m_1\) и \(m_2\) шарики после удара разлетятся в противоположные стороны с равными по абсолютной величине скоростями.

232.

Спутник, масса которого \(m = 1\) т, летит на высоте \(h_1 = 200\) км от поверхности Земли по круговой орбите. Постепенно, в силу торможения о верхние слои атмосферы, радиус орбиты спутника уменьшается (при этом можно считать, что орбита остается круговой). Какую энергию теряет спутник на торможение при переходе на орбиту с \(h_2 = 480\) км? Точность расчета \(5 \%\).

233.

На горизонтальной поверхности находится неподвижная абсолютно гладкая полусфера радиуса \(R = 180\) см. С верхней точки се без начальной скорости соскальзывает малое тело (рис.). В некоторой точке оно оторвется от полусферы и полетит свободно. Определить время \(t\) свободного падения тела.

234.

Небольшое тело соскальзывает без начальной скорости с гладкой наклонной плоскости, длина которой \(l = 16\,\text{см}\), а угол наклона \(\alpha = 30^{\circ}\) (см. рис.). Затем оно падает на гладкую горизонтальную плоскость, находящуюся на расстоянии \(h = 20\,\text{см}\) от нижнего конца наклонной плоскости. На какую наибольшую высоту \(H\) от горизонтальной плоскости поднимется тело после удара об нее, если этот удар абсолютно упругий?

235.

Два малых тела, массы которых относятся как \(1:2\), одновременно начинают соскальзывать без трения по внутренней поверхности полусферы радиуса \(R\) (рис.). Удар тел абсолютно неупругий. На какой угол \(\alpha \) от вертикали отклонятся тела после удара?

236.

На краях подвижной платформы, длина которой \(l = 10\,\text{м}\), вес \(P = 500\,\text{кг}\), стоят два человека: вес первого \(P_1 = 60\,\text{кг}\), а второго \(P_2 = 40\,\text{кг}\). В момент \(t = 0\) они начинают бежать по платформе навстречу друг другу, причем/скорость первого в два раза больше скорости второго. На какое расстояние \(x\) откатится платформа, когда первый человек добежит до ее конца? Трением платформы о рельсы пренебречь.

237.

Нужно выкопать колодец глубиною \(h_0 = 20\,\text{м}\). При какой глубине колодца \(h\) будет совершена \(1/3\) всей необходимой работы по выемке грунта? Плотность грунта считать везде одинаковой.

238.

На абсолютно гладкой поверхности неподвижно лежат две одинаковые шайбы \(1\) и \(2\) массой \(M\) каждая. Между ними на линии, соединяющей центры этих шайб, имеется шайба \(3\) массой \(M/4\) (тех же размеров), которая движется со скоростью \(v\) в направлении второй шайбы (рис.). Считая столкновения шайб абсолютно упругими, определить по величине и направлению скорости всех трех шайб после того, как столкновения прекратятся.

239.

К концам проволоки длиной \(l = 0{,}2\,\text{м}\), согнутой посередине под прямым углом, прикреплены шарики одинаковой массы. Проволоку повесили углом на гвоздь \(A\) (рис.), а затем отклонили так, что одно колено проволоки стало горизонтальным, а другое вертикальным, и отпустили без толчка. Найти модуль скорости шариков в момент прохождения положения равновесия. Проволоку считать жесткой и невесомой. Трением пренебречь.

240.

Маленькое тело массы \(m\) свободно падает с высоты \(h\). попадает в середину однородной доски массы \(M\) и мгновенно прилипает к ней (рис.). Доска лежит горизонтально на пружине, коэффициент упругости которой равен \(k\). Определить максимальное сжатие (то есть изменение длины) пружины. Массой пружины пренебречь.

241.

Сколько угля потребуется для переправки каравана судов на расстояние \(L = 100\) км, если буксирный трос натягивается с силон |\(F\)| = \(80\,\text{кН}\), а буксир без каравана при той же самой мощности двигателя развивает скорость в \(n = 4\) раза большую, сжигая одно и то же количество угля в час? Считать, что сопротивление воды пропорционально скорости. КПД судового двигателя \(10 \%\).

242.

В лежащее на гладкой горизонтальной поверхности тело массы \(M = 1\,\text{кг}\) попадает пуля, летящая горизонтально со скоростью \(v_1 = 200\,\text{м/с}\), и пробивает его насквозь. Скорость пули после вылета из тела стала \(v_2 = 100\,\text{м/с}\). Масса пули \(m = 20\,\text{г}\). Определить количество теплоты \(Q\), полученное телом.

243.

После взрыва ракеты, летящей вертикально, образовались три осколка одинаковой массы, которые упали на землю одновременно. Расстояния от места старта до места падения двух из них равны \(S_1 = 3\) км и \(S_2 = 4\) км, причем линии, соединяющие места их падения с местом старта, составляют между собой прямой угол. Каково расстояние \(S_3\) от места старта до места падения третьего осколка? (При вычислениях сопротивление воздуха не учитывать.)

244.

На платформе пружинных весов массы \(M = 10\,\text{кг}\) лежит тело массы \(m = 3\,\text{кг}\) (рис.). С какой минимальной силой \(F\) нужно сдавить пружину весов, чтобы после прекращения действия силы тело при подъеме подпрыгнуло на платформе?

245.

Спутник, масса которого \(m\) = \(2\cdot 10^{3}\,\text{кг}\), из-за торможения о верхние слои атмосферы переходит с орбиты, расположенной на высоте \(h_1 = 210\) км над поверхностью Земли, на орбиту с высотой \(h_2 = 200\) км. Какую энергию теряет при этом/спутник? В обоих случаях орбиту спутника считать круговой. Ускорение свободного падения можно считать постоянным и равным \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

246.

Шарик массы \(m_1\) движется без трения по горизонтальной поверхности и сталкивается с покоящимся шариком массы \(m_2\). Удар считать центральным и абсолютно упругим. При каком/соотношении масс шариков они разлетятся в противоположные стороны с равными по абсолютной величине скоростями?

247.

Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности с высоты \(H = 1{,}2\,\text{м}\). Наклонная поверхность переходит в петлю, как показано на рисунке. Найти величину работы силы трения, если известно, что сила давления тела на петлю в верхней точке равна нулю, масса тела \(m = 10\,\text{г}\), радиус петли \(R = 0{,}4\,\text{м}\). Ускорение свободного падения считать равным \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

248.

Невесомый рычаг может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку \(O\) (рис.). Массы \(m_1\) и \(m_2\), закрепленные на концах рычага, находятся, соответственно, на расстояниях \(l_1\) и \(l_2\) от оси. В начальном положении рычаг отклонен на угол \(\alpha \) от вертикального положения. После освобождения рычаг совершает колебания. Определить линейную скорость массы \(m_2\) в момент прохождения положения равновесия.

249.

Два конькобежца с массами \(m_1 = 40\,\text{кг}\) и \(m_2 = 60\,\text{кг}\) встали на лед друг против друга, держась за легкий шнур и слегка натянув его. Затем один из них начинает укорачивать шнур, наматывая его на руку. Какую работу \(A\) он совершит к тому моменту, когда будет выбирать шнур со скоростью \(v = 2\,\text{м/с}\)? Трением о лед пренебречь. Укорачивание шнура происходит при постоянном натяжении.

250.

На гладкой горизонтальной плоскости на некотором расстоянии друг от друга стоят две одинаковые гладкие горки массой \(M\) и высотой \(H\) (рис.). На вершине одной из них находится небольшое тело массой \(m\). После легкого толчка тело соскальзывает с этой горки и поднимается на другую. На какую максимальную высоту \(h\) поднимется тело по второй горке?

251.

Деревянный поршень прикреплен к цилиндру с помощью невесомой пружины жесткостью \(k\) (рис.). При движении поршня между ним и цилиндром возникает постоянная по модулю сила трения \(F\). Пуля, летящая со скоростью \(v\), направленной вдоль оси цилиндра, попадает в поршень и застревает в нем. На сколько при этом/сместится поршень? Масса пули \(m\), масса поршня \(M\). Цилиндр закреплен.

252.

Два тела с массами \(m_1 = 0{,}2\,\text{кг}\) и \(m_2 = 0{,}1\,\text{кг}\) связаны резиновым жгутом и находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Система движется под действием постоянной горизонтальной силы \(F = 6\,\text{Н}\), приложенной к первому телу. Найдите потенциальную энергию деформации жгута, если известно, что под действием/силы \(F_0 = 1\) \(H\) он растягивается на \(x_0 = 5\,\text{см}\). Движение считать установившимся; массой резинового жгута пренебречь, трение можно не учитывать.

253.

Из большого резервуара откачивают воду с помощью насоса, потребляющего мощность \(N = 2{,}5\) кВт. Насос соединен с гладким шлангом, наконечник которого расположен на уровне воды в резервуаре так, что струя воды выхолит вертикально. Расход воды составляет \(Q = 108\,\text{м}\)\(^3\)/ч. Какой высоты достигает струя воды? Коэффициент полезного действия насоса \(\eta = 60\) %. Плотность воды \(\rho = 10^3\,\text{кг}\)/м\(^3\). Влиянием обратного потока воды можно пренебречь.

254.

Длинный невесомый жесткий стержень может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки \(O\) (рис.). На стержне на расстояниях \(l_1\) и \(l_2\) от точки \(O\) закреплены небольшие по размерам грузы массой \(m_1\) и \(m_2\) соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол \(\alpha \) и отпустили. Каково будет натяжение стержня в точке \(A\), находящейся между грузами, в момент прохождения стержнем положения равновесия?

255.

Две пружины вставлены в закрепленную горизонтально трубку и разделены подвижным поршнем (рис.). Первая пружина имеет жесткость \(k_1\) и упирается вторым концом в дно трубки. Вторая пружина имеет жесткость \(k_2\) и упирается вторым концом во второй подвижный поршень с ограничителем в виде штока. В недеформированном состоянии расстояние между разделительным поршнем и концом ограничителя второго поршня равно \(l\). Какую работу нужно совершить, действуя медленно возрастающей по величине силой на второй поршень, чтобы шток дошел до разделительного поршня? Трением пренебречь.

256.

В закрепленную вертикальную трубку вставлена невесомая пружина, верхний конец которой прикреплен к подвижному поршню массы \(M\) (рис.). Нижний коней пружины упирается в дно трубки. Пружина сжата до длины \(l\) и удерживается в сжатом/состоянии с помощью защелки. На поршень положили шарик массой \(m\). На какую высоту подскочит шарик, если освободить пружину, сдвинув защелку? Пружина в переформированном/состоянии имеет длину \(L\). Жесткость пружины \(k\). Трением пренебречь.

257.

Пуля, летящая горизонтально со скоростью \(v_0 = 510\,\text{м/с}\), попадает в ящик, лежащий на горизонтальной поверхности на расстоянии \(d = 0{,}5\,\text{м}\) от стены дома, и, пробив ящик, вылетает в том же направлении со скоростью \(v = 10\,\text{м/с}\). Ящик начинает двигаться по направлению к стене. Ударится ли ящик о стену дома? Коэффициент трения между ящиком и поверхностью \(\mu = 0{,}1\), масса ящика \(M = 10\,\text{кг}\), масса нули \(m = 10\,\text{г}\). ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

258.

Два одинаковых свинцовых шарика брошены вертикально вверх один вслед за другим через некоторый промежуток времени с одинаковыми начальными скоростями \(v_0\). Шарики столкнулись на высоте \(h\) и слиплись. На сколько поднимется температура шариков? Удельная теплоемкость свинца равна с.

259.

Брус массой \(m\) поднимается вдоль наклонной плоскости при помощи веревки, наматываемой на вал электромотора (рис.). Движение бруса равноускоренное, в начальный момент \(t_0 = 0\) скорость бруса была равна \(v_0\), а в момент \(t\) стала равна \(v\). Определите развиваемую электромотором мощность в момент \(t\), если угол наклона наклонной плоскости \(\alpha \), \(a\) коэффициент трения между брусом и плоскостью \(\mu \).

260.

Шарик массой \(m = 10\,\text{г}\), падая без начальной скорости с некоторой высоты, ударился о горизонтальную плиту и подпрыгнул на высоту \(H = 0{,}8\,\text{м}\). При ударе изменение импульса шарика составило \(\Delta p = 0{,}17\,\text{кг}\)×м/с. Найдите, на какую высоту подпрыгнет шарик после следующего удара, если при каждом ударе шарик теряет одну и ту же часть энергии. Сопротивлением воздуха пренебречь.

261.

Лифт массой \(M = 1000\,\text{кг}\) поднимается лебедкой с постоянным ускорением. На некотором участке пути длиной \(l = 1\,\text{м}\) лифт двигался со средней скоростью \(v = 5\,\text{м/с}\), и скорость его возросла на \(\Delta v = 0{,}5\,\text{м/с}\). Какая работа совершена по перемещению лифта на указанном отрезке пути? Трением пренебречь.

262.

Доска с покоящимся на ее краю бруском двигается со скоростью \(v_0 = 3\,\text{м/с}\) (рис.). При внезапной остановке доски брусок начинает скользить по ее поверхности. Найдите коэффициент трения между бруском и доской, если в момент соскальзывания бруска его кинетическая энергия уменьшилась в \(3\) раза по сравнению с первоначальной. Длина доски \(l = 0{,}45\,\text{м}\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

263.

На легкой нерастяжимой нити длиной \(l = 0{,}5\,\text{м}\) подвешен шарик массой \(m_1 = 0{,}1\,\text{кг}\). Летевшая горизонтально со скоростью \(v = 10\,\text{м/с}\) пуля массой \(m_2 = 0{,}01\,\text{кг}\) попадает в шарик и застревает в нем. Найдите натяжение нити сразу после соударения. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Размер шарика мал по сравнению с длиной нити.

264.

По горизонтальной поверхности, плавно переходящей в поднимающуюся наклонную плоскость, катится со скоростью \(v\), без проскальзывания тонкостенный обруч. На какую максимальную высоту может подняться этот обруч?

265.

На наклонную плоскость, образующую угол \(\alpha \,\text{с}\) горизонтом, положили небольшую шайбу, сообщив ей скорость \(v_0\) вверх вдоль наклонной плоскости. Коэффициент трения шайбы о плоскость равен \(\mu \), причем . Найти скорость шайбы при обратном движении в момент прохождения ею первоначального положения.

266.

Мощность, развиваемая двигателем ракеты, неподвижно зависшей над землей, равна \(N\). Найти скорость истечения газов из сопла двигателя, если масса ракеты равна \(m\), а ускорение свободного падения равно \(g\).

267.

Лежащий на горизонтальной плоскости гладкий брусок массы \(M\) прикреплен к вертикальной стене легкой пружиной жесткости \(k\). При недеформированной пружине брусок торцом касается грани кубика, масса которого много меньше \(M\). Ось пружины горизонтальна и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центры кубика и бруска. Сдвигая брусок, пружину сжимают вдоль ее оси на величину \(\Delta \)\(x\), после чего брусок отпускают без начальной скорости. На какое расстояние передвинется брусок после идеально упругого удара, если коэффициент трения бруска о плоскость достаточно мал и равен \(\mu \)?

268.

Два одинаковых кубика лежат на гладкой горизонтальной плоскости, касаясь гранями. К серединам противоположных граней каждого кубика прикреплены две невесомые пружины. Другие концы пружин закреплены так, что их горизонтальные оси совпадают. В начальном состоянии пружины не деформированы. Один кубик смещают от другого вдоль оси пружин на расстояние \(\Delta \)\(x\) и отпускают без начальной скорости. Найти максимальное смещение второго кубика после удара. Удар считайте абсолютно неупругим.

269.

На плоскости, образующей с горизонтом угол \(\alpha \), удерживают куб массы \(m\). Коэффициент трения куба о плоскость равен \(\mu \), причем . К середине грани куба прикреплена пружина жесткости \(k\), верхний конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, а ее ось образует с горизонтом угол \(\alpha \) и продолжение ее проходит через центр куба. Какую максимальную скорость приобретет куб, если его перестать удерживать в этом положении.

270.

Два шара одинакового радиуса с массами \(m\) и \(M\), скрепленные легкой пружиной жесткости \(k\), лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Ось пружины совпадает с прямой, проходящей через центры шаров. Пружина сжата прикрепленной к шарам нитью на величину \(\Delta \)\(x\). Найти максимальную скорость шара массы \(m\) при колебаниях, возникающих после пережигания нити.

271.

К середине боковой стороны бруска массы \(M\), лежащего на горизонтальной плоскости стола, прикреплена легкая пружина жесткости \(k\), другой конец которой прикреплен к вертикальной стенке так, что ось пружины горизонтальна (см. рис.). К середине противоположной стороны бруска прикреплена легкая нерастяжимая нить, перекинутая через неподвижный блок. На нити висит другой блок, к оси которого подвешен кубик массы \(m\). Верхний конец нити прикреплен к потолку. Первоначально кубик удерживается в положении, при котором пружина не деформирована, а нить слегка натянута. Отрезки нити, не лежащие на блоках, либо горизонтальны, либо вертикальны. Пренебрегая трением и массой блоков, найти максимальную скорость бруска после отпускания кубика без начальной скорости.

272.

На горизонтальной плоскости стоит подставка, на которой укреплена тонкая жесткая изогнутая трубка, как показано на рисунке. Масса подставки с трубкой равна \(M\). Верхний конец трубки расположен на высоте \(H\) над плоскостью. Высота горизонтального участка трубки равна \(h\), а его конец лежит на одной вертикали с серединой верхнего конца. В верхний конец опускают без начальной скорости небольшое тело массы \(m\). На каком расстоянии по горизонтали от исходной точки тело упадет на плоскость при отсутствии сил трения?

273.

Небольшой шайбе массы \(m\) ударом/сообщили скорость \(v\) вверх вдоль наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол \(\alpha \). Шайба останавливается через время \(t\) после начала движения. Найти среднюю силу сопротивления, действовавшую на шайбу во время движения.

274.

На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы \(M\). На конец доски кладут шайбу массы \(m\), которой ударом/сообщают скорость \(v\) вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен \(\mu \). На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если известно, что шайба не соскальзывает с доски?

275.

На легкой нерастяжимой нити длиной \(L\) висит небольшой шарик массы \(m\). По шарику нанесли удар в горизонтальном направлении. Известно, что пока шарик после удара двигался по дуге окружности, он поднялся на высоту \(h\). Найти среднюю силу, действовавшую на шарик во время удара, если длительность удара \(t\) много меньше периода малых колебаний шарика. Трением пренебречь.

276.

На невесомый гладкий стержень, согнутый под углом \(\alpha = 60^{\circ}\) в горизонтальной плоскости, надеты две небольшие одинаковые муфты \(M\), соединенные между собой и с вершиной угла тремя легкими одинаковыми пружинами. Длина недеформированной пружины равна \(L\), жесткость – \(k\). Какую работу нужно совершить, чтобы раскрутить эту систему вокруг вертикальной оси, проходящей через точку \(O\), до такой скорости, при которой длина пружин увеличится в \(n\) раз?

277.

Снаряд, вылетев из пушки со скоростью \(v\) под углом \(\alpha \) к горизонту, разорвался на две равные части в верхней точке траектории. Первая часть полетела вертикально вверх, а скорость второй части оказалась в \(n\) раз больше скорости первой. Найти расстояние между осколками через время \(\tau \) после взрыва, если к этому моменту еще ни один осколок не долетел до земли.

278.

На горизонтальном/столе лежит небольшая шайба. После первого удара шайба остановилась, пройдя путь \(S_1 = 36\) см. После второго удара шайба переместилась на расстояние \(S_2 = 49\) см. На какое расстояние переместилась бы шайба, если бы оба удара были нанесены одновременно, причем угол между направлениями ударов был бы равен \(\alpha = 60^{\circ}\)?

279.

Маленький шарик влетает со скоростью \(v\) в жесткую квадратную рамку, лежащую на горизонтальной плоскости, через небольшую щель в центре одной стороны и ударяется о другую сторону под углом \(45^{\circ}\) (см. рис.). Найдите направление и величину скорости шарика после окончания всех соударений с рамкой. Удары считать абсолютно упругими, масса рамки равна массе шарика, центр масс рамки совпадает с ее геометрическим центром, трения нет.

280.

В однородном бруске, стоящем на горизонтальном/столе, вырезан цилиндрический желоб радиусом \(R\). Масса оставшейся части бруска равна \(M\) (см. рис.). На край желоба кладут небольшую шайбу массой \(m\) так, что она располагается в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска, и отпускают ее без начального толчка. Пренебрегая трением, найдите скорость шайбы относительно бруска в нижней точке ее траектории.

281.

К бруску массой \(m\), лежащему на горизонтальной плоскости, прикреплена легкая пружина жесткостью \(k\), второй конец которой закреплен так, что пружина не деформирована, а ее ось горизонтальна и проходит через центр масс бруска. Брусок смещают вдоль оси пружины на расстояние \(\Delta \)\(L\) и отпускают без начальной скорости. Найдите максимальную скорость бруска, если его коэффициент трения о плоскость равен \(\mu \).

282.

На свободно вращающиеся обода двух одинаковых велосипедных колес, центры которых лежат на одной вертикали, а оси закреплены горизонтально и параллельны, натянута легкая шероховатая нерастяжимая нить, концы которой прикреплены к грузу массой \(m\), удерживаемому вблизи верхнего обода (рис.). Толщина обода много меньше его радиуса, а масса обода много больше массы спиц и втулки колеса и равна \(M\). С каким ускорением будет двигаться груз после его освобождения до момента касания нижнего обода?

283.

На гладком горизонтальном столе покоятся два одинаковых кубика массой \(M\) каждый. В центр левого кубика попадает пуля массой \(m\), летящая горизонтально со скоростью, равной \(v_0\) и направленной вдоль линии, соединяющей центры кубиков. Пробив насквозь левый кубик, пуля летит дальше со скоростью \(\frac{v_0}{2}\), попадает в правый кубик и застревает в нем. Через какое время \(\tau \) после попадания пули в левый кубик кубики столкнутся, если начальное расстояние между ними равно \(L\)? Размерами кубиков пренебречь.

284.

На горизонтальном/столе покоится клин массой \(M = 4\,\text{кг}\). Сверху на клин падает шарик массой \(m = 1\,\text{кг}\). Определите угол при основании клина \(\alpha \), если известно, что после упругого удара о клин шарик отскочил под углом \(\beta = 45^{\circ}\) к вертикали. Трением пренебречь.

285.

Маленький шарик, подвешенный на нити, отклоняют от положения равновесия и отпускают без начальной скорости. Определите, с каким ускорением \(a_1\) начнет двигаться шарик, если известно, что в момент прохождения шариком нижней точки траектории его ускорение равно \(a_2 = 15\,\text{м/с}^2\). Нить считать невесомой и нерастяжимой, сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

286.

На краю стола высотой \(h = 0{,}8\,\text{м}\) лежит маленький шарик. В него попадает тело, масса которого много больше массы шарика. Скорость тела \(v_0 = 10\,\text{м/с}\). Удар абсолютно упругий. На каком расстоянии от стола шарик упадет на землю?

287.

На край стола поставили вертикально невесомой стержень длиной \(L\), на концах которого закреплены маленькие тяжелые одинаковые шарики \(A\) и \(B\), а затем его отпустили без начальной скорости. Стержень стал падать в направлении, указанном изогнутой стрелкой на рисунке, оставаясь в вертикальной плоскости, перпендикулярной краю стола. С какой угловой скоростью будет вращаться стержень после отрыва от стола, если до этого шарик \(B\) не скользил по столу?

288.

Второй космической скоростью \(v_{2k}\) называется минимальная скорость, которую нужно сообщить в вертикальном направлении телу для того, чтобы оно неограниченно удали лось от поверхности планеты, причем/скорость тела на бесконечно большом расстоянии от планеты принимается равной нулю. Известно, что для Земли \(v_{2k} = 11{,}2\,\text{км}/c\). Какова будет скорость \(v\) тела на бесконечно большом расстоянии от Земли, если на поверхности Земли сообщить ему вертикальную скорость \(u = 12{,}2\) км/с? Влиянием вращения Земли вокруг оси и притяжением других небесных тел пренебречь.

289.

Начиная движение из состояния покоя, кабина лифта поднимается на высоту \(H = 30\,\text{м}\) и останавливается. Найдите, какая работа \(A\) была совершена при этом двигателем лифта, если максимальная мощность, развиваемая им при подъеме, составила \(N = 2\) кВт. Полное время подъема кабины \(\tau = 8\,\text{с}\), разгон и замедление кабины происходили в течение одинакового времени \(\tau_1 = 2\) \(c\,\text{с}\) постоянным по величине ускорением, остальное время кабина двигалась равномерно. Коэффициент полезного действия двигателя считать равным \(100\%\), ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

290.

Закрепленная наклонная плоскость образует с горизонтом угол \(\alpha = 60^{\circ}\). С высоты \(h\) на наклонную плоскость падает небольшой шарик (без начальной скорости). При ударе о плоскость изменение импульса шарика составило \(\Delta p = 0{,}08\,\text{кг}\)×м/с. Считая удар абсолютно упругим, найдите высоту \(h\), с которой упал шарик. Масса шарика \(m = 20\,\text{г}\). Принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

291.

Автомобиль массой \(m\) со всеми ведущими колесами, стоящий на прямолинейном горизонтальном участке дороги, начинает движение. При этом двигатель развивает постоянную мощность \(N\). Коэффициент трения колес о дорогу \(\mu \). Пренебрегая силой сопротивления движению автомобиля, найдите зависимость его скорости \(v\) от времени

292.

Шарик массой \(m\) подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной \(l = 1\,\text{м}\) (рис.). В него ударяется шарик массой \(2m\), летящий в плоскости рисунка со скоростью \(v_0\) так, что вектор скорости направлен горизонтально вдоль линии, соединяющей центры шариков. Какой должна быть скорость \(v_0\), чтобы после удара шарик массой \(m\) совершил полный оборот по окружности в вертикальной плоскости? Удар считать абсолютно упругим, силы трения не учитывать. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\,\text{м/с}^2\).

293.

Два одинаковых шарика массой \(m\) каждый, связанные пружиной жесткостью \(k\) и длиной \(l\), лежат неподвижно на гладком горизонтальном/столе (рис.). Третий такой же шарик движется со скоростью \(v_0\) по линии, соединяющей центры шариков, связанных пружиной, и совершает упругое соударение с одним из них. Определите максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении. Принять, что . Массой пружины, временем/соударения и трением пренебречь.

294.

Тело массой \(m = 0{,}5\,\text{кг}\) движется вдоль оси \(\mathrm{ОХ}\) под действием одной силы \(F\). При этом его ускорение зависит от координаты так, как показано на графике (рис.). Определите работу, совершаемую этой силой на первом этапе \(x = 4\,\text{м}\) пути.

295.

На закрепленном цилиндре, ось которого горизонтальна, удерживают невесомую нерастяжимую нить, к концам которой прикреплены маленькие грузы разных масс. Нить располагается в вертикальной плоскости, перпендикулярной образующей цилиндра, а грузы находятся на горизонтальной прямой, проходящей через ось цилиндра. Найдите отношение масс грузов \(n\), если после отпускания нити без толчка более легкий груз отрывается от поверхности цилиндра в его верхней точке. Трением и влиянием воздуха на движущиеся тела пренебречь.

296.

Правая чаша рычажных весов находится под мелким моросящим дождем, а левая укрыта от него навесом. Каждая чаша представляет собой тонкостенную цилиндрическую емкость с площадью дна \(S=0{,}05\,\text{м}^2\) и высотой бортика \(h=1\,\text{мм}\). Интенсивность равномерно падающего дождя такова, что дождевая вода целиком заполняет предварительно опорожненную чашу весов за время \(t=30\,\text{с}\). Какой массы \(m\) гирю нужно положить на левую чашу весов, чтобы уравновесить весы, когда правая чаша заполнена дождевой водой до краев? Капли дождя падают вертикально со скоростью \(v=3\,\text{м/с}\). Плотность воды \(\rho=10^3\,\text{кг/м}^3\). Ускорение свободного падения принять \(g=10\,\text{м/с}^2\). Соударение капель с водой в чаше считать неупругим.

297.

Развивая максимальную мощность двигателя, автобус движется по горизонтальному участку шоссе с постоянной скоростью \(v_0\). Когда автобус при неизменной мощности двигателя въезжает на подъем/с углом наклона \(\alpha_1\), его скорость падает до \(v_1\). С какой скоростью \(v_2\) автобус будет преодолевать подъем/с углом наклона \(\alpha_2 < \alpha_1\) при той же мощности, развиваемой двигателем? Проскальзывание ведущих колес автобуса на всех участках шоссе отсутствует. Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости автобуса.

298.

Садовый насос, расположенный в скважине на глубине \(h\), подает воду на поверхность земли по шлангу площадью сечения \(S\). Какую мощность \(N\) развивает насос, если известно, что он наполняет водой ведро объемом \(V\) за время \(\tau \)? Плотность воды \(\rho \), ускорение свободного падения \(g\).

299.

На гладкой горизонтальной поверхности находится клин, имеющий массу \(M = 0{,}64\,\text{кг}\) (рис.). О гладкую наклонную поверхность клина ударяется шарик массой \(m = 0{,}15\,\text{кг}\), летевший горизонтально. Каким должен быть угол клина \(\alpha \), чтобы шарик отскочил вертикально вверх? Удар считать абсолютно упругим.

300.

Шарику, подвешенному на нити, сообщили некоторую начальную скорость, после чего он начал вращаться по окружности в вертикальной плоскости. Определить массу шарика \(m\), если известно, что сила натяжения нити в верхней точке траектории составляет \(T_1 = 1\,\text{Н}\), а в нижней точке траектории \(T_2 = 2\,\text{Н}\). Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\,\text{м/с}^2\).

301.

Клин массой \(M = 0{,}5\,\text{кг}\,\text{с}\) углом при основании \(\alpha = 30^{\circ}\) покоится на гладкой горизонтальной плоскости. На наклонную поверхность клина ставят заводной автомобиль массой \(m = 0{,}1\,\text{кг}\) и отпускают без начальной скорости, после чего автомобиль начинает движение вверх по клину в плоскости рисунка. Найти скорость \(u\) автомобиля относительно клина в момент, когда клин приобретает относительно плоскости скорость \(v = 2\,\text{см/с}\).

302.

На прямолинейном горизонтальном участке пути стоят \(N = 5\) одинаковых вагонов. Промежутки между соседними вагонами одинаковы и равны \(L = 30\,\text{м}\). К крайнему вагону подкатывается еще один такой же вагон, имеющий скорость \(v_0 = 2\,\text{м/с}\). В результате \(N\) последовательных столкновений, в каждом из которых сталкивающиеся вагоны сцепляются вместе, все \(N + 1\) вагонов соединяются в один состав. Найти время \(\tau \) между первым и последним/столкновениями. Силами сопротивления движению вагонов пренебречь.

303.

Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длины \(l = 50\,\text{см}\), покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью \(v_0\) он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в \(\beta = 3\) раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь.

304.

На покоящийся на гладком горизонтальном столе клин массой \(M = 1\,\text{кг}\,\text{с}\) высоты \(h = 50\,\text{см}\) падает шарик массой \(m = 10\,\text{г}\) и отскакивает под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту (см. рис.). Найти скорость клина \(v\) после удара. Соударение между шариком и клином/считать абсолютно упругим, трение между клином и столом не учитывать. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

305.

Кирпич, лежащий на краю крыши дома, толкнули вверх вдоль ската со скоростью \(v = 10\,\text{м/с}\). После упругого удара о конек кирпич соскользнул обратно и остановился на краю крыши (см. рис.). Найти коэффициент трения \(\mu \) между кирпичом и поверхностью крыши, если конек находится на высоте \(h = 2{,}5\,\text{м}\) от края крыши, а угол наклона крыши к горизонту \(\alpha = 30^{\circ}\). Ускорение свободного падения принять \(g = 9\), \(8\,\text{м/с}^2\).

306.

Маленький брусок массой \(m=100\,\text{г}\) соскальзывает по шероховатому желобу \(AB\), составляющему четверть окружности радиусом \(R=1\,\text{м}\), и падает на горизонтальную поверхность в точку \(D\) (см. рис.). Точка \(B\) желоба находится на высоте \(h=2\,\text{м}\) от горизонтальной поверхности. Расстояние между точками \(C\) и \(D\) равно \(l=2\,\text{м}\). Найдите работу \(A\) силы трения бруска о желоб. Ускорение свободного падения принять \(g=10\,\text{м/с}^2\).

307.

Два шарика массами \(m_1\) и \(m_2\), покоящиеся на гладкой горизонтальной плоскости, связаны пружиной длиной \(l\) и жесткостью \(k\). Шарику массой \(m_1\) сообщили скорость \(v_0\) в направлении от шарика массой \(m_2\) вдоль линии, соединяющей их центры. На какое максимальное расстояние \(L\) удалятся шарики друг от друга?

308.

Граната брошена от поверхности земли под углом \(\alpha=30^{\circ}\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0=10\,\text{м/с}\). В верхней точке траектории граната разрывается на два одинаковых осколка, скорости которых сразу после взрыва направлены горизонтально. На каком расстоянии \(l\) друг от друга упадут осколки, если кинетическая энергия, сообщенная им при взрыве, \(E=18\,\text{Дж}\), а масса гранаты \(m=1\,\text{кг}\)? Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения принять \(g=10\,\text{м/с}^2\).

309.

Опираясь о барьер катка, мальчик бросил камень горизонтально со скоростью \(v_1 = 5\,\text{м/с}\). Какова будет скорость \(v_2\) камня относительно мальчика, если он бросит камень горизонтально, совершив при броске прежнюю работу, но стоя на гладком льду? Масса камня \(m = 1\,\text{кг}\), масса мальчика \(M = 50\,\text{кг}\). Трением о лед пренебречь.

310.

Спутник запущен на круговую орбиту, проходящую на высоте \(h = 350\) км над поверхностью Земли. Через некоторое время спутник перевели на другую круговую орбиту, радиус которой меньше на \(\Delta h = 25\) км. На какую величину \(\eta \) изменилась при этом кинетическая энергия спутника по отношению к ее первоначальному значению? Радиус Земли \(R = 6400\) км.

311.

На невесомой нити, перекинутой через неподвижный цилиндр, подвешены два груза с массами \(m_1 = 10\,\text{кг}\) и \(m_2 = 1\,\text{кг}\). Первоначально грузы удерживают на одной высоте. При освобождении грузов без начальной скорости первый из них опускается на высоту \(h = 2\,\text{м}\) за время \(\tau = 1\,\text{с}\), двигаясь равноускоренно. Какое количество тепла \(Q\) выделяется из-за трения нити о поверхность цилиндра за это время? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

312.

Шарик \(1\) массой \(m_1 = 200\,\text{г}\) движется равномерно со скоростью \(v_1 = 10\,\text{м/с}\) (см. рис.). Навстречу ему движется шарик \(2\) такой же массы со скоростью \(v_2 = 8\,\text{м/с}\). После соударения шарик \(1\) стал двигаться перпендикулярно направлению его движения до соударения со скоростью \(u_1 = 5\,\text{м/с}\). Какое количество теплоты \(Q\) выделилось при соударении шариков?

313.

Два одинаковых шара радиусами \(R\) летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями как показано на рисунке. Расстояние между линиями движения центров шаров \(S = R\). На какой угол \(C\) повернется вектор скорости каждого из шаров после удара? Удар считать упругим, шары – идеально гладкими.

314.

Канат длиной \(l = 2\,\text{м}\) переброшен через блок (см. рис.). В начальный момент канат покоится и по обе стороны блока свешиваются равные его отрезки. Затем, в результате незначительного толчка равновесие каната нарушается и он приходит в движение. Какова будет скорость каната \(v\) в тот момент, когда с одной стороны блока будет свешиваться отрезок каната длиной \(l_1 = 1{,}5\,\text{м}\)? Массой блока и его размерами пренебречь, энергию толчка и трение в блоке не учитывать, ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

315.

На горизонтальном/столе установлена пружина длиной \(l_0 = 20\,\text{см}\) так, что ось пружины расположена вертикально (см. рис.). Когда сверху на пружину кладут брусок, длина пружины становится равной \(l_1 = 18\,\text{см}\). Какой минимальной величины \(l\) достигнет длина пружины, если тот же самый брусок упадет на нее сверху с высоты \(h = 8\,\text{см}\)?

316.

Два одинаковых маленьких шарика соединены невесомым жестким/стержнем длиной \(l = 60\,\text{см}\). Стержень стоит вертикально в плотную к вертикальной плоскости (см. рис.). При смещении нижнего шарика вправо на малое расстояние система из шариков приходит в движение в плоскости рисунка. Найти скорость нижнего шарика \(v_0\) момент времени, когда верхний шарик находится на высоте \(h = 40\,\text{см}\) над горизонтальной плоскостью. Считать, что при движении шарики не отрываются от плоскостей, трением пренебречь. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

317.

Граната массой \(m = 1\,\text{кг}\) разорвалась на высоте \(h = 6\,\text{м}\) над землей на два осколка. Непосредственно перед разрывом/скорость гранаты была направлена горизонтально и по модулю равна \(v = 10\,\text{м/с}\). Один из осколков массой \(m_1 = 0{,}4\,\text{кг}\) полетел вертикально вниз и упал на землю под местом разрыва со скоростью \(v_1 = 40\,\text{м/с}\). Чему равен модуль скорости \(v_2\) второго осколка сразу после разрыва?

318.

Из пушки производится выстрел таким образом, что дальность полета снаряда \(\alpha = 2\) раза превышает максимальную высоту траектории. Считая известной величину начального импульса снаряда \(p_0 = 1000\,\text{кг}\)×м/с, определить величину его импульса р в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

319.

Два груза массами \(m_1\) и \(m_2\) подвешены на концах нити, перекинутой через блок. Оба груза вначале неподвижны и находятся на одной высоте \(h\) над горизонтальной подставкой (см. рис.). Найдите величину изменения импульса системы грузов \(\Delta p\) за время, прошедшее от начала их движения до момента, когда один из грузов коснется подставки. Нить невесома и нерастяжима, блок невесом.

320.

Шар массой \(M = 1\,\text{кг}\) подвешен на невесомом жестком/стержне длиной \(l = 1{,}25\,\text{м}\), шарнирно закрепленном за верхний конец (см. рис.). В шар попадает пуля массой \(m = 10\,\text{г}\), летящая со скоростью \(v = 500\,\text{м/с}\) под углом \(\alpha = 45^{\circ}\) к горизонту, и застревает в нем. Определить максимальный угол \(\beta \) отклонения стержня от вертикали. Ускорение свободного падения \(g = 9\), \(8\,\text{м/с}^2\).

321.

С горки высоты \(h = 2\,\text{м/с}\) углом наклона \(\alpha = 45^{\circ}\) начинают скатываться санки с нулевой начальной скоростью. Найти скорость \(v\) санок у основания горки, если на верхней половине горки коэффициент трения пренебрежимо мал, а на нижней половине коэффициент трения \(\mu = 0{,}1\).

322.

С наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha = 45^{\circ}\)с горизонталью, соскальзывает без начальной скорости небольшое тело и ударяется о выступ, перпендикулярный наклонной плоскости (см. рис.). Считая удар о выступ абсолютно упругим, найти, на какую высоту \(h\) поднимется тело после удара. Начальная высота тела \(H = 1\,\text{м}\), коэффициент трения \(\mu = 0{,}5\).

323.

На горизонтальной плоскости лежит деревянный брусок массой \(М = 100\,\text{г}\). В брусок попадает пуля массой \(m = 10\,\text{г}\), летящая горизонтально со скоростью \(v_1 = 800\,\text{м/с}\), и пробивает его насквозь. Скорость пули после вылета из бруска \(v_2 = 200\,\text{м/с}\). Какое количество энергии \(Q\) перешло в тепло в процессе удара? Трением бруска о плоскость пренебречь.

324.

На горизонтальной плоскости лежит деревянный брусок массой \(М = 4\,\text{кг}\), прикрепленный к вертикальной стенке пружиной с коэффициентом упругости \(k = 100\,\text{Н/м}\) (см. рис.). В центр бруска попадает пуля массой \(m = 10\,\text{г}\), летящая горизонтально и параллельно пружине, и застревает в нем. Определить скорость пули, если максимальное сжатие пружины после удара составило \(\Delta l = 30\,\text{см}\). Трением бруска о плоскость пренебречь.

325.

Сферическая чашка массой \(М = 200\,\text{г}\) покоится на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). По внутренней поверхности чашки из положения \(A\) начинает скользить без начальной скорости маленькое тело массой \(m = 20\,\text{г}\). Какую скорость \(v\) будет иметь чашка в тот момент, когда тело достигнет наинизшей точки (положение \(B\)), если радиус чашки \(R = 8\,\text{см}\). Трением между всеми поверхностями пренебречь.

326.

Человек массой \(М = 70\,\text{кг}\), неподвижно стоявший на коньках, бросил вперед в горизонтальном направлении снежный ком массой \(m = 3{,}5\,\text{кг}\). Какую работу \(A\) совершил человек при броске, если после броска он откатился назад на расстояние \(S = 0{,}2\,\text{м}\)? Коэффициент трения коньков о лед \(\mu = 0{,}01\). Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

327.

При броске тела от поверхности Земли под некоторым углом к горизонту была совершена работа \(А = 58{,}8\,\text{Дж}\). На каком расстоянии \(S\) от места бросания тело упало на Землю, если его масса \(m = 1\,\text{кг}\), а максимальная высота подъема в полете \(Н = 3\,\text{м}\)?

328.

Между двумя кубиками с массами \(m\) и \(M\) находится сжатая пружина (см. рис.). Если кубик с массой \(M\) удерживать на месте, а другой освободить, то он отлетает со скоростью \(v\). С какой скоростью \(v_1\) будет двигаться кубик массы \(m\), если оба кубика освободить одновременно? Деформация пружины одинакова в обоих случаях. Трением и массой пружины пренебречь.

329.

Шарик массой \(m = 100\,\text{г}\) подвешен на нити длиной \(l = 1\,\text{м}\). Его приводят в движение так, что он обращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, которая находится на расстоянии \(\frac{l}{2}\) от точки подвеса. Какую работу \(A\) нужно совершить для сообщения шарику такого движения?

330.

Пластилиновые шарики имеют одинаковую массу \(m\) и взаимно перпендикулярные скорости \(v_1\) и \(v_2\), лежащие в одной плоскости (см. рис.). В результате столкновения шарики слипаются и движутся как одно целое. Какое количество тепла \(Q\) выделилось при столкновении, если \(m = 1\,\text{г}\), \(v_1 = 2\,\text{м/с}\), \(v_2 = 4\,\text{м/с}\).

331.

Начальное положение кабины лифта \(K\) и противовеса \(\Pi\) изображено на рисунке. На какую величину \(\Delta \)\(U\) изменится потенциальная энергия системы при перемещении кабины вверх на расстояние \(h = 10\,\text{м}\), если начальная разность уровней противовеса и кабины \(H = 15\,\text{м}\), масса кабины \(M = 1\,\text{т}\), масса противовеса \(m = 0{,}5\) т, а масса единицы длины троса, соединяющего кабину с противовесом, \(\mu = 10\,\text{кг/м}\)? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

332.

На гладком/столе покоится брусок массой \(M = 20\,\text{г}\), прикрепленный пружиной жесткости \(k = 50\,\text{Н/м}\) к стене. В брусок ударяется шарик массой \(m = 10\,\text{г}\), движущийся по столу со скоростью \(v_0 = 30\,\text{м/с}\), направленной вдоль пружины. Считая соударение шарика и бруска упругим, найти амплитуду А колебаний бруска после удара.

333.

Два небольших тела, находящиеся на концах горизонтального диаметра гладкой полусферы радиуса \(R = 20\,\text{см}\), соскальзывают без начальных скоростей навстречу друг другу. При столкновении тела «слипаются» и далее движутся как одно целое. Найти отношение \(\alpha \) масс тел, если максимальная высота над нижней точкой полусферы, на которую поднимаются слипшиеся тела после столкновения, \(h = 5\,\text{см}\). Трение не учитывать.

334.

Автомобиль, движущийся по горизонтальной дороге, попадает в полосу дождя, капли которого падают на землю вертикально с постоянной скоростью. Известно, что при скорости автомобиля \(v_1 = 36\) км/час в его наклонное лобовое стекло попадает \(n_1 = 200\) дождевых капель в секунду, а при скорости \(v_2 = 72\) км/час это число возрастает до \(n_2 = 300\) капель в секунду. Сколько капель \(n_0\) будет попадать в лобовое стекло за 1 секунду, если автомобиль остановится?

335.

Два маленьких тела начинают одновременно соскальзывать без начальной скорости из точки \(A\): первое по внутренней поверхности гладкой сферы до ее нижней точки \(B\), второе по гладкой наклонной плоскости \(AB\) (см. рис.). Пренебрегая трением найти, во сколько раз \(\alpha \) отличаются времена движения этих тел от начальной до конечной точек. Расстояние \(AB\) намного меньше радиуса сферы.

336.

Брусок расположен на гладкой горизонтальной плоскости и соединен горизонтальной пружиной жесткостью \(k=100\,\text{Н/м}\) с вертикальной стенкой (см. рис.). Перпендикулярно поверхности бруска летят капли воды массой \(m=0{,}1\,\text{г}\) каждая со скоростью \(v_0=5\,\text{м/с}\). Ударившись о брусок, капли, не отскакивая от него, стекают на землю. Найдите, на какую величину \(\Delta l\) сжимается пружина, если известно, что брусок не совершает колебаний. Число капель в единице объема потока \(n=2\cdot10^3\,\text{м}^{-3}\). Площадь поверхности бруска, в которую ударяют капли, \(S=100\,\text{см}^2\).

337.

На шероховатом столе лежит доска массой \(M = 1\,\text{кг}\) и длиной \(L = 0{,}5\,\text{м}\) так, что за край стола выступает ее часть длиной \(\alpha \)\(L\), где \(\alpha = 1\)/4 (см. рис.). Какую минимальную скорость \(v_0\) нужно сообщить маленькому бруску массой \(m = 1\,\text{кг}\), находящемуся на левом конце доски, чтобы в результате его перемещения левый конец доски приподнялся над столом? Коэффициент трения между бруском и доской \(\mu = 0{,}1\). Доска при движении бруска не скользит по столу. Толщиной доски пренебречь, ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

338.

На гладком горизонтальном столе лежит деревянный брусок, прикрепленный пружиной к вертикальной стенке (см. рис.). В брусок попадает пуля массой \(m = 10\,\text{г}\), летящая горизонтально вдоль оси пружины, и застревает в нем. Определить жесткость пружины \(k\), если известно, что время, в течение которого сжималась пружина после попадания пули в брусок, \(T = 0{,}1\,\text{с}\), отношение количества теплоты, выделившейся при взаимодействии пули с бруском, к начальной кинетической энергии пули \(\alpha = 0{,}9\). Трением бруска о стол, а также массой пружины пренебречь.

339.

Пучок молекул, движущихся в вакууме с одинаковыми скоростями, падает на пластинку-мишень перпендикулярно ее плоскости. Суммарная масса молекул, испускаемых источником в единицу времени, равна \(\mu = 0{,}01\,\text{г}\)/с, сила, с которой пучок действует на мишень, \(F = 4\)×\(10^{-3}\,\text{Н}\). Считая соударение молекулы с мишенью абсолютно упругим, найти скорость молекул в пучке \(v\).

340.

Маленький шарик, подвешенный на нити длины \(l = 1\,\text{м}\), отклоняют от положения равновесия так, что нить составляет с вертикалью угол \(\alpha = 60^{\circ}\), и отпускают без начальной скорости. В момент, когда шарик проходит положение равновесия, нить обрывается. Найти угол \(\beta \), который составляет с вертикалью скорость шарика в момент падения на пол, если расстояние от точки подвеса нити до пола \(h = 2{,}5\,\text{м}\).

341.

Хоккеист бросает шайбу из точки, находящейся на расстоянии \(d = 50\,\text{м}\) от ворот и на равных расстояниях \(L = 16\,\text{м}\) от бортов хоккейной площадки. Шайба начинает движение по льду со скоростью \(v_0 = 10\,\text{м/с}\). С каким максимальным числом \(N_{\max}\) отражений от бортов площадки хоккеист сможет забросить шайбу в центр ворот? Коэффициент трения между шайбой и льдом \(\mu = 0{,}05\), ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Считать, что удар шайбы о борта площадки является абсолютно упругим и что на всем пути шайба не отрывается от поверхности льда и не вращается. При решении задачи в общем виде принять, что .

342.

Хоккеист бросает шайбу из точки, находящейся на расстоянии \(d = 35\,\text{м}\) от ворот и на равных расстояниях \(L = 15\,\text{м}\) от бортов хоккейной площадки. Какую скорость \(v_0\) хоккеист должен сообщить шайбе, чтобы она остановилась в центре линии ворот после одного отражения от борта? Считать, что при отражении от борта величина составляющей скорости, параллельной борту, не изменяется, а величина составляющей скорости, перпендикулярной борту, изменяется в \(k = 3\)/4 раз. Коэффициент трения между шайбой и льдом \(\mu = 0{,}05\). Считать, что на всем пути шайба не отрывается от поверхности льда. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

343.

Крыша дома состоит из двух плоских частей, образующих с горизонтом углы \(\alpha = 30^{\circ}\) и \(\beta = 60^{\circ}\) (см. рис.). На расстоянии \(L = 80\,\text{см}\) от места излома крыши на ее верхнюю часть помещают маленький кубик и отпускают без начальной скорости. Соскользнув с верхней части крыши, в месте излома кубик отрывается от нее и некоторый путь проходит в воздухе. Определить время \(\tau \), в течение которого кубик будет находиться в полете перед тем, как коснуться нижней части крыши. Коэффициент трения между кубиком и поверхностью крыши \(\mu = 0,29\). Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\), сопротивление воздуха не учитывать.

344.

Груз массой \(m = 100\,\text{г}\) подвешен на нити и совершает колебания, угловая амплитуда которых \(\alpha = 60^{\circ}\). Определить натяжение нити в тот момент, когда она составляет угол \(\beta = 30^{\circ}\) с вертикалью. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

345.

Математический маятник длиной \(l = 2{,}5\,\text{м}\) и массой \(m = 0{,}2\,\text{кг}\) раскачивают так, что каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия, по нему производят короткий удар, сообщая импульс \(p = 0{,}02\,\text{Н}\)×с в направлении скорости. Какое минимальное число \(n_{\min}\) ударов нужно совершить, чтобы угол отклонения маятника от положения равновесия превысил \(\alpha = 60^{\circ}\)? Первоначально маятник покоился. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\), сопротивление воздуха не учитывать.

346.

Камень массой \(m = 0{,}1\,\text{кг}\) бросают горизонтально с вершины холма, склон которого составляет угол \(\alpha = 30^{\circ}\) с горизонталью. Определить, какая работа \(А\) была совершена при броске, если камень упал на склон на расстоянии \(L = 40\,\text{м}\) от вершины. Считать, что бросок выполнен непосредственно от поверхности земли. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

347.

На гладком горизонтальном столе покоится трубка массой \(M\) и длиной \(L\), закрытая с одного торца (см. рис.). В открытый конец трубки влетает маленький шарик массой \(m\) со скоростью, направленной вдоль оси трубки. После упругого удара о закрытый торец трубки шарик вылетает наружу. Какой путь \(S\) относительно стола пройдет шарик за время, которое он будет находиться внутри трубки? Размером шарика и трением между всеми поверхностями пренебречь.

348.

Невесомая пружина жесткостью \(k = 10\,\text{Н/м}\) и длиной \(L = 7\), \(5\,\text{см}\) подвешена на штативе за верхний конец в вертикальном положении (см. рис.). Нижний конец пружины перекрыт невесомой горизонтальной пластинкой, жестко прикрепленной к пружине. С высоты \(H = 2{,}5\,\text{см}\), отсчитываемой от верхнего края пружины, падает без начальной скорости пластилиновый шарик массой \(m = 25\,\text{г}\), пролетает сквозь витки пружины, ударяется о пластинку и прилипает к ней. Какую максимальную скорость \(v_{\max}\) будет иметь шарик при своем движении вниз? Сопротивление воздуха не учитывать, размером шарика пренебречь, ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

349.

Брусок массой \(М = 100\,\text{г}\) подвешен на невесомой пружине жесткостью \(k = 1\,\text{Н/м}\) (см. рис.). Снизу в него попадает пластилиновый шарик массой \(m = 1\,\text{г}\), летящий вертикально вверх со скоростью \(v_0 = 2\), \(5\,\text{м/с}\), и прилипает к бруску. Найти амплитуду \(A\) возникающих при этом гармонических колебаний. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}^2\).

350.

Тонкостенная полусфера массой \(M\) и радиусом \(R\) покоится на горизонтальном столе (см. рис.). На какую высоту \(h\) опустится край полусферы, если на него сядет муха массой \(m\)? Центр тяжести полусферы расположен на расстоянии \(a = \frac{R}{2}\) от ее центра.

351.

Два одинаковых шарика подвешены на невесомой нерастяжимой нити как показано на рисунке. На нижний шарик действует некоторая постоянная сила, направленная горизонтально. Найти угол \(\beta \), на который отклонился от вертикали нижний отрезок нити, если известно, что верхний отрезок нити отклонен от вертикали на угол \(\alpha \).

352.

Маленький шарик массой \(m\) подвешен на однородном стержне массой \(M = 1,464m\), длина которого значительно больше радиуса шарика (см. рис.). Под действием горизонтальной силы, приложенной к шарику, стержень отклонился от вертикали на угол \(\alpha = 30^{\circ}\). Под каким углом \(\beta \) к стержню направлена сила, действующая на шарик со стороны стержня?

353.

Два шарика, соединенные невесомым жестким стержнем, подвешены на невесомых нитях одинаковой длины, закрепленных в одной и той же точке. Найти отношение масс шариков \(k = m_1/m_2\), если известно, что нить, на которой висит первый из них, отклонена от вертикали на угол \(\alpha = 30^{\circ}\), а нить, на которой висит второй, отклонена на угол \(\beta = 45^{\circ}\).

354.

Две пружины, соединенные как показано на рисунке, имеют жесткости \(k_1 = 15\,\text{Н/м}\) и \(k_2 = 10\,\text{Н/м}\). Пружины растянули за свободные концы в разные стороны, совершив работу \(A = 1\,\text{Дж}\). Каковы потенциальные энергии \(E_1\) и \(E_2\) деформации каждой из пружин по отдельности?

355.

Груз массой \(M\) подвешен на пружине. Удерживая груз в положении равновесия, на него кладут брусок массой \(m\), а затем отпускают. С какой максимальной силой \(F_{\max}\) брусок будет действовать на груз в процессе движения? Ускорение свободного падения \(g\). Сопротивлением воздуха пренебречь.