4 Статика и гидростатика

1.

Во сколько раз давление воды на глубине \(50\,\text{м}\) больше, чем давление воды на глубине \(10\,\text{м}\)? Атмосферное давление \(100\,\text{кПа}\). Плотность воды \(1000\,\text{кг/м³}\).

2.

Однородное тело объемом \(0{,}0003\,\text{м}^{3}\) плавает в жидкости, плотность которой в \(5\) раз больше плотности материала тела. Какой объем тела (в см³) будет выступать над поверхностью жидкости?

3.

В цилиндрическом сосуде с водой площадью \(200\,\text{см}^{2}\) плавает в вертикальном положении цилиндр высотой \(30\,\text{см}\) и площадью основания \(100\,\text{см}^{2}\). Какую работу (в мДж) надо совершить, чтобы полностью извлечь цилиндр из воды, если он сделан из материала плотностью \(400\,\text{кг/м³}\)? Плотность воды \(1000\,\text{кг/м³}\).

4.

Два одинаковых шара, радиусом \(9\,\text{см}\) и массой \(10\,\text{кг}\) каждый, положили в вертикальный открытый с обеих сторон тонкостенный цилиндр радиусом \(15\,\text{см}\). Пренебрегая трением, найдите, при какой минимальной массе цилиндра шары его не опрокидывают.

5.

На одной чашке равноплечных рычажных весов находится груз весом \(2{,}2\,\text{Н}\), на другой – весом \(2{,}4\,\text{Н}\). На каком расстоянии от центра коромысла весов надо подвесить гирьку весом \(1{,}2\,\text{Н}\), чтобы весы были в равновесии? Длина коромысла \(30\,\text{см}\). Ответ дать в мм.

6.

Однородный стержень с прикрепленным на одном из его концов грузом массой \(7{,}5\,\text{кг}\) находится в равновесии, если точка опоры отстоит от груза на \(\frac{1}{7}\) длины стержня. Чему равна масса стержня?

7.

Определите массу (в тоннах) льдины, плавающей в воде, если объем выступающей части льдины \(4\,\text{м}^{3}\). Плотность льда \(900\,\text{кг/м³}\), плотность воды \(1000\,\text{кг/м³}\).

8.

К гладкой вертикальной стене на нити подвешен шар массой \(0{,}6\,\text{кг}\). Определите силу натяжения нити, если нить составляет угол \(60^{\circ}\) с вертикалью.

9.

Два человека несут металлическую трубу, положив ее себе на плечи. Первый человек поддерживает трубу на расстоянии \(1{,}5\,\text{м}\) от ее конца, второй держит противоположный конец трубы. Во сколько раз нагрузка на первого человека больше, чем на второго, если длина трубы \(3{,}5\,\text{м}\)?

10.

В гладкий высокий стакан радиусом \(4\,\text{см}\) поставили палочку длиной \(10\,\text{см}\) и массой \(90\,\text{г}\). После того как в стакан налили до высоты \(4\,\text{см}\) жидкость плотностью \(900\,\text{кг/м³}\), сила давления верхнего конца палочки на стенку стакана стала \(0{,}4\,\text{Н}\). Чему равна плотность материала палочки?

11.

Однородный шар плавает на поверхности воды, на \(60\) % погруженный в воду. Чему равен объем шара (в см³), если на него действует выталкивающая сила \(3\,\text{Н}\)? Плотность воды \(1000\,\text{кг/м³}\).

12.

Анатолий и Борис несут бревно, медленно поднимаясь по лестнице. Анатолий идет первым, прикладывая к верхнему концу бревна минимально возможную для его удержания силу. Во сколько раз большую силу должен прикладывать Борис к нижнему концу бревна? Бревно однородное и составляет угол \(\alpha = 30^{\circ}\) с горизонтом.

13.

Деревянный брусок массой \(M\) в форме прямоугольного параллелепипеда плавает на поверхности воды. Груз какой массы \(m\) нужно положить на брусок, чтобы он целиком погрузился в воду, а груз еще находился над водой? Плотность дерева \(\rho_{1}\), плотность воды \(\rho_{2}\).

14.

Сосуд квадратного сечения со стороной \(a\) заполнен водой до высоты \(h\) = \(40\,\text{см}\). Силы давления воды на боковую стенку сосуда и на его дно равны друг другу. Найдите сторону квадрата \(a\).

15.

В цилиндрическом сосуде с водой, стенки которого вертикальны, плавает деревянная дощечка. Если на нее сверху положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву, но уровень воды в сосуде поднимется на \(Δh\) = \(20\,\text{мм}\). На какую величину \(Δh_1\) изменится уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку не класть на дощечку, а бросить на дно сосуда? Плотность стекла \(\rho_{с}\) = \(2\,\text{г/см³}\), \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\).

16.

Верхний конец однородного стержня свободно поворачивается вокруг неподвижной горизонтальной оси \(O\) (рис.). Нижним концом стержень опирается на брусок, лежащий на гладком столе Масса стержни \(m\) = \(1{,}50\,\text{кг}\), угол между стержнем и вертикалью \(\alpha\) = \(30^{\circ}\). Если брусок потянуть вправо с силой \(|\vec{F}| ≥ 2,45\) H, он сдвигается с места. С какой силой давит стержень на брусок во время его движения?

17.

Между двумя одинаковыми досками массы \(M\) = \(5\,\text{кг}\) каждая, закрепленными шарнирно в точке \(A\), удерживается шар массы \(m\) = \(1\,\text{кг}\). Точка касания доски и шара находится посередине доски. Угол между досками равен \(2\alpha = 30^{\circ}\). При каком минимальном коэффициенте трения это возможно?

18.

В цилиндрический сосуд площадью сечения \(S\) = \(100\,\text{см}\) налита жидкость плотностью \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\). В сосуде плавает кубик со стороной \(a\) = \(7\,\text{см}\), погрузившись на \(k\)-ю часть своего объема (\(k\) = \(\frac{2}{3}\)). Две грани кубика параллельны поверхности жидкости. Какую работу нужно совершить, чтобы медленно погрузить кубик в жидкость на \(n\)-ю часть объема (\(n\) = \(\frac{4}{5}\))? При погружении кубика в жидкость две его грани остаются параллельными поверхности жидкости. Ускорение свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

19.

Тело составлено из четырех склеенных полушаров (рис.). Центры всех полушаров лежат на одной прямой, при этом центры нижнего полушара и центрального верхнего совпадают, расстояния от центров крайних верхних полушаров до центра нижнего равны. Радиус нижнего полушара \(R_{1}\) = \(8\,\text{см}\), его плотность \(\rho_{1}\) = \(1\,\text{г/см³}\), радиус центрального верхнего полушара \(R_{2}\) =\(3\,\text{см}\), его плотность \(\rho_{2}\) = \(15\,\text{г/см³}\), крайние верхние полушары одинаковы, их радиусы \(R_{3}\) = \(4\,\text{см}\), плотности \(\rho_{3}\) = \(4\,\text{г/см³}\). Будет ли положение тела, изображенное на рисунке, устойчивым? Ответ обоснуйте.

20.

Плавая в жидкости, тело кубической формы погружается на глубину \(h_{1}\), а в другой жидкости – на глубину \(h_{2}\). Какова будет глубина погружения тела в жидкости, плотность которой равна среднему арифметическому плотностей первых двух жидкостей? Считать, что во всех случаях тело расположено в жидкости так, что две его грани параллельны поверхности.

21.

В цилиндрическом сосуде радиуса \(R\), наполненном жидкостью плотности \(\rho\) до высоты \(h\), возле дна в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку в сосуд на длину \(l\)? Пробка имеет форму цилиндра радиуса \(r\), длиной больше \(l\). Трение не учитывать. Сосуд достаточно высок, так что вода из него не выливается.

22.

В цилиндр радиуса \(R\), частично заполненный водой, падает цилиндрическая пробка радиуса \(r\) и высоты \(h\) (рис.). Начальная высота нижнего торца пробки над уровнем воды \(H\); начальная скорость равна нулю.

Сколько энергии выделится в виде тепла после того, как движение пробки и воды прекратится? Плотность пробки \(\rho\), плотность воды \(\rho_{o}\). ускорение свободного падения \(g\).

23.

В \(U\)-образной трубке с соприкасающимися внутренними стенками в равновесии находятся жидкости с плотностями \(\rho_{1}\) и \(\rho_{2}\) (\(\rho_{1}\) < \(\rho_{2}\)) так, что граница раздела проходит точно через низ трубки (рис.). На высоте \(a\) от нижней точки трубки появилось небольшое отверстие, и началось перетекание жидкости. Насколько изменится уровень в колене с жидкостью \(ρ_{2}\), когда перетекание жидкости прекратится? Трубку считать достаточно тонкой для того, чтобы не происходило перемешивания жидкостей, (возможен только разрыв столба жидкости в месте появления отверстия).

24.

В прямоугольный очень высокий сосуд налита жидкость плотности \(ρ\). В одной из стенок у дна сосуда имеется прямоугольное отверстие высоты \(h\). куда вдвинута на расстояние \(l\) невесомая пробка того же сечения (рис.). Между пробкой и дном сосуда жидкость не проникает. Коэффициент трения пробки о дно сосуда равен \(k\). Трение пробки о края сосуде пренебрежимо мало. При каком уровне жидкости над пробкой жидкость не сможет вытолкнуть пробку? Атмосферное давление \(p\).

25.

В замкнутом сосуде, частично заполненном водой, плавает игрушка – «водолаз». В сосуд вставлена трубка. Если о трубку подуть, «водолаз» тонет. При освобождении трубки возникает два варианта: иногда «водолаз» всплывает, а иногда так и остается под водой. Объяснить поведение игрушки.

26.

В вертикальную стенку вбиты два гвоздя \(A\) и \(B\), на которые сверху опирается стоящий у стены обруч веса \(P\) с центром в точке \(O\) (рис.). Найти силы, действующие на каждый из гвоздей, если радиусы \(OA\) и \(OB\) составляют с вертикалью углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Трение отсутствует.

27.

На дне моря (глубина \(H\)) стоит бак (куб с ребром \(h\)), заполненный водой. Какую минимальную работу \(A\) надо совершить, чтобы выкачать воду из бака? Плотность воды \(\rho\). Ускорение свободного падения \(g\).

28.

Концы нерастяжимой невесомой нити длины \(L\) закреплены в точках \(A\) к \(B\), находящихся на разных уровнях, как показано на рисунке. На нить надета тяжелая бусинка \(C\). Пренебрегая размером бусинки и трением, найти расстояние от точки \(A\) до вертикали, проходящей через бусинку.

29.

Цилиндр радиуса \(R\), лежащий на подставке, разрезан пополам по вертикальной плоскости, проходящей через его ось (рис.). Вес каждой половины цилиндра \(P\), а центры тяжести находятся на расстоянии \(a\) от оси цилиндра. Чтобы цилиндр не распался, через него перекинули нить с одинаковыми грузами на концах. Трение пренебрежимо мало. Найти минимальный вес грузов, не допускающий распада.

30.

Сосуд заполнен двумя несмешивающимися жидкостями с плотностями \(\rho_{1}\) и \(\rho_{2}\). На границе раздела жидкостей плавает куб с длиной ребра \(l\). Найти глубину погружения куба в жидкость с плотностью \(\rho_{2}\). Плотность куба \(\rho\) (\(\rho_{2}\) > \(\rho\) > \(\rho_{1}\)).

31.

Половник с тяжелой жидкостью аккуратно подвесили за конец ручки. Черпалка половника – полусфера радиуса \(R\), а ручка, касательная к полусфере, имеет длину \(l\) (рис.). Пренебрегая весам половника, найти, какой объем жидкости останется в половнике.

32.

В вертикальной трубе радиуса \(R\), заполненной жидкостью плотности \(\rho_{o}\), находится цилиндр радиуса \(r\) и длины \(l\), причем \(l\) >> \(R\) (рис.). Плотность цилиндра \(\rho\). Пренебрегая влиянием концов цилиндра, определить скорость и ускорение в зависимости от пройденного цилиндром расстояния \(h\), если в начальный момент цилиндр покоился. Ускорение силы тяжести \(g\). Тепловыми потерями пренебречь.

33.

С какой силой давит на стенку цилиндрического стакана палочка массы \(m\), наполовину погруженная в воду? Угол наклона палочки к горизонту \(\alpha\), трения нет.

34.

В \(U\)-образной трубке с воздухом на одинаковой высоте \(h\) удерживают два поршня массой \(m\) каждый (рис.). Сечение левого колена \(2S\). правого и нижнего \(S\). Длина нижнего колена \(3h\). Давление воздуха внутри трубки равно атмосферному давлению po. В некоторый момент поршни отпускают. Найти установившиеся высоты поршней. (Температура газа в начале и в конце одна и та же, поршни могут перемешаться только по вертикальным участкам.)

35.

Цилиндрический сосуд высотой \(l\) наполнен сжимаемой жидкостью, плотность которой \(\rho\) меняется с глубиной \(h\) по закону \(\rho = \rho_0(1 + \alpha h)\). Каким должен быть коэффициент \(\alpha\), чтобы этой жидкостью можно было наполнить три одинаковых сосуда высотой \(l/2\) c сечением, равным сечению исходного сосуда?

36.

Оценить давление в центре Земли.

37.

Два гладких шарика массой \(m\) и \(M\) подвешены к одной и той же точке \(O\), как показано на рисунке. Радиус большого шарика равен \(R\); длина нити, его удерживающей, равна \(l\). Какой угол \(\alpha\) эта нить образует с вертикалью?

38.

Оценить давление шариковой ручки на бумагу.

39.

Оценить выталкивающую силу, действующую на ученика со стороны воздуха в аудитории.

40.

Оцените максимальный радиус полости, образующейся при подводном взрыве на глубине \(h = 1\,\text{км}\) заряда взрывчатого вещества массой \(m = 1\,\text{т}\). Энергия взрыва \(1\) грамма взрывчатого вещества равна примерно \(\lambda = 4\,\text{кДж}\).

41.

Однородный стержень массой \(m\) одним концом опирается на горизонтальную, другим – на наклонную плоскости (рис.). Угол между плоскостями равен \(\alpha\). Какую силу \(F\), направленную вдоль наклонной плоскости, надо приложить к стержню, чтобы он находился в равновесии? Трения нет.

42.

Оцените время вытекания воды из заполненной ванны.

43.

Шар лежит в щели \(ABC\) (рис.), образованной двумя плоскими стенками, причем ребро щели горизонтально. Определите угол между плоскостями, если сила давления шара на вертикальную стенку BC вдвое превышает вес. Трение не учитывать.

44.

Оцените наибольшее давление в полной цистерне для поливания улиц при ее торможении. При скорости \(v ~ 30\,\text{км/ч}\) тормозной путь цистерны оказался равным \(s ~ 5\,\text{м}\).

45.

Оцените размеры дирижабля грузоподъемностью \(100\,\text{тонн}\), заполненного гелием.

46.

Два шара лежат в сосуде так, как показано на рисунке. Радиус нижнего шара в два раза больше, чем верхнего. Если в сосуд налить воду плотностью \(\rho_{о}\) до середины верхнего шара, то нижний перестанет давить на дно. Найдите плотность материала, из которого изготовлены шары. Трением о боковые стенки пренебречь.

47.

Оцените, во сколько раз масса океана превосходит массу воздушной оболочки Земли.

48.

Две пружины с одинаковой жесткостью \(k\) закреплены в вершине \(O\) угла, образованного горизонтальным полом и вертикальной стенкой (рис.). Противоположные концы пружин прикреплены к центрам двух малых тел, массой \(m\) каждое, соединенных невесомым стержнем. Вначале пружины не деформированы и имеют длину \(l\). С какой горизонтальной силой необходимо удерживать нижнее тело, чтобы расстояние от него до точки \(O\) было в два раза меньше, чем у верхнего? Стрежень с массами может двигаться только в вертикальной плоскости. Трения нет.

49.

Открытый сверху бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда высотой \(H\), заполнен водой до половины (см. рис.). Одна из стенок бака является поршнем. Передвигая поршень, поднимают уровень воды до верха бака. Найти величину минимальной работы, которая требуется для этого, если масса воды равна \(m\). Трением между поршнем и дном бака пренебречь.

50.

В вертикально стоящем цилиндре сечением \(S\) на поверхности жидкости плотности \(\rho\) удерживают поршень массы \(m\) с открытой длинной трубкой сечением \(O\). Поршень отпускают. Какое количество теплоты выделится по окончанию движения поршня? Ускорение свободного падения \(g\).

51.

Один конец натянутого растяжимого троса закреплен на застрявшем автомобиле, другой привязан к прочному дереву. Расстояние между деревом и автомобилем \(L = 20\) м. Трос медленно потянули за середину перпендикулярно его начальной ориентации и сместили середину троса на расстояние \(l = 0,1\) м. В этот момент сила, приложенная к тросу, равна \(F\). Во сколько раз эта сила меньше силы, действующей на автомобиль?

52.

Сосуд с жидкостью плотности \(\rho\) закрыт двумя подвижными поршнями с площадью \(S_{1}\) и \(S_{2}\). Площадь основания равна \(S_{1}\) + \(S_{2}\), как показано на рисунке. Какую работу надо совершить, чтобы вдавить поршень \(2\) внутрь жидкости? Массой поршней и толщиной первого поршня пренебречь. Толщина второго поршня равна \(h\).

53.

В узкой пробирке длины \(L\) и сечения \(S\) находится тяжелый шарик, так что пробирка погружена наполовину в жидкость плотности \(\rho\) и касается дна, как показано на рисунке. Найти массу пустой пробирки.

54.

Деревянный стержень подвешен на нити над сосудом с водой. При подъеме сосуда стержень погружается в воду сначала вертикально, затем наклоняется, а при дальнейшем подъеме остается горизонтальным. Объясните демонстрируемое явление.

55.

Два груза с массами \(m_{1}\) и \(m_{2}\) соединены невесомой пружиной (см. рис.). Если груз \(2\) положить на опору, оставив груз \(1\) висеть над ним, то пружина сожмется до длины \(L\). Если же придержать груз \(1\), заставив груз \(2\) висеть на пружине, то она растянется до длины \(L_{2}\). Какова длина пружины в ненапряженном состоянии?

56.

Эквилибрист стоит на доске, лежащей горизонтально на футбольном мяче. Оценить, насколько сожмется мяч под весом эквилибриста. Избыточное давление в мяче равно атмосферному.

57.

Оцените, на какую высоту может бить фонтан, если давление воды в подводящей трубе составляет \(1{,}5\,\text{атмосферы}\).

58.

Жидкий раствор бетона налили в кузов самосвала доверху. Оцените, какая доля раствора останется в кузове после резкого торможения.

59.

В водоем опущена труба сечения \(S\), перекрытая легким поршнем, лежащим на воде (см. рис.). Груз массой \(m\) с помощью нити, перекинутой через блок, поднимает поршень вверх. Найти высоту поднятия поршня \(x\) в положении равновесия. Плотность воды \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\).

60.

В водоем опущены две трубы сечений \(S_{1}\), и \(S_{2}\), перекрытых легкими поршнями, лежащим на воде (см. рис.). Поршни соединены нитью, перекинутой через блок. В начальном состоянии нить не провисает. Блок медленно поднимают вверх на высоту \(h\). Найти, на какую высоту поднимется каждый поршень.

61.

Две соосных трубы, площади сечения которых \(S\) и \(2S\), перекрыты невесомыми поршнями, соединенными между собой невесомым жестким стержнем (см. рис.). Вначале давление внутри и снаружи \(p_0\), а длины перекрытых участков равны \(h\). Найти максимальную массу \(m\) груза, которая может удерживаться, будучи подвешенной к нижнему поршню. Ускорение свободного падения \(g\). Температуру считать постоянной, трения нет.

62.

Пустую алюминиевую банку из-под напитка, к ключу которой прикреплен груз, наполняют холодной водой. Затем стеклянный сосуд наполняют горячей водой и опрокидывают туда банку вверх дном. Банка тонет, но через некоторое время всплывает. Объяснить результат эксперимента.

63.

На катушку намотана нить. Прочность нити достаточна, чтобы выдержать вес катушки. Однако нить рвется, когда она удерживает катушку на наклонной плоскости (по которой катушка не проскальзывает) при некотором угле наклона. Объяснить результат эксперимента.

64.

На наклонной плоскости находятся два соединённых невесомой нитью тела с массами \(m_1\) и \(m_2\) (см. рис.). Коэффициенты трения между телами и наклонной плоскостью равны \(μ_{1}\) и \(μ_{2}\), соответственно, причём у верхнего коэффициент трения больше чем у нижнего \(μ_{1}\) < \(μ_{2}\). При каком наибольшем угле наклона тела ещё не начнут соскальзывать с наклонной плоскости?

65.

Сосуд со сливным отверстием вблизи дна заполняется водой. Из отверстия начинает бить струя воды, вначале попадающая в горловину колбы. По мере вытекания струя перестаёт попадать в горловину и колба остаётся незаполненной (см рис.). Если сосуд, заполненный водой, закрыть пробкой с трубкой, открытой сверху и погруженной снизу в воду, то струя не уходит от горловины и наполняет колбу доверху (см. рис.). Объясните демонстрируемое явление.

66.

Толстостенный цилиндр с внутренним радиусом \(r\) и внешним \(R\) плавает вертикально, при этом уровень воды в нём на \(h\) выше уровня воды снаружи (см. рис.). В тонком дне цилиндра образуется отверстие и цилиндр медленно всплывает не меняя ориентации. Найдите на сколько цилиндр сместится по вертикали? Ускорение свободного падения \(g\).

67.

Деревянный шар объёма \(V\) привязан нитью к дну сосуда цилиндрической формы с сечением \(S\) и полностью погружён в воду (см. рис.). Когда нить перерезают, шар всплывает, а уровень воды в сосуде опускается на \(h\). Какова масса шара? Плотность воды \(\rho\).

68.

Стальную пластинку погружают плашмя в воду в глубоком озере и отпускают. Оцените, во сколько раз возрастёт разница давлений на нижнюю и верхнюю стороны пластинки на большой глубине по сравнению с начальным моментом движения.

69.

Пробирка массой \(m\) и сечением \(S\) плавает вертикально в воде так, что верхний конец пробирки выше уровня воды на \(h_0\). Когда пробирку опустили в неизвестную жидкость, она плавает так, что ее верхний конец выше уровня жидкости на \(h\). Какова плотность жидкости \(\rho\), если плотность воды \(\rho_{0}\)?

70.

Представьте, что вы плывете на лодке, в дне которой появилась пробоина. Оцените, при какой ее площади вы будете успевать отчерпывать набирающуюся воду литровой банкой.

71.

Поплавки, один с воткнутым сверху тонким стержнем, второй – с толстым, плавают в солевом растворе, как показано на рисунке. Если их опустить в пресную воду, то первый поплавок погружается почти на всю длину стержня, а второй остается практически на прежнем уровне погружения. Объясните наблюдаемое явление.

72.

Две дощечки подвешены на проволочках, прикрепленных к стержню. Одна дощечка частично погружена в воду, другая лежит на подставке. При медленном подъеме стержня обе дощечки поднимаются. Когда стержень резко дергают вверх, то за ним поднимается лишь дощечка, лежащая на подставке, а проволочка, привязанная к дощечке, частично погруженной в воду, обрывается. Объясните демонстрируемое явление.

73.

Цилиндр радиусом \(R\) и массой \(M\) соприкасается с дном и боковой стенкой наклонной прямоугольной коробки (рис.). Второй цилиндр меньшего радиуса \(r\) и массой \(m\) соприкасается с первым цилиндром и дном коробки. Найдите отношение масс \(M/m\), если при угле наклона дна с горизонталью \(\alpha\) первый цилиндр начинает подниматься. Трение между цилиндрами, стенкой и дном коробки отсутствует.

74.

Манометр состоит из трех стеклянных трубок (рис.). В нижней части манометра находится ртуть, а в левом колене над ртутью – масло. Насколько изменилось давление \(p\), контролируемое манометром, если уровень масла в тонкой открытой трубке поднялся на \(Δh = 10\) мм? Отношение плотностей ртути и масла \(\rho_{1}/\rho_{2} = 14\), а отношение сечений трубок \(S_{3}/S_{2} = 2\), \(S_{2}/S_{1} = 50\).

75.

Два вертикальных цилиндрических сообщающихся сосуда заполнены водой и закрыты поршнями массы \(M_{1} = 2\) кг и \(M_{2} = 3\) кг (рис.). Когда на первый поршень поместили гирю массы \(m = 1\) кг, то в положении равновесия он установился на \(h = 10\) см ниже второго поршня. Когда эту гирю переставили на второй поршень, то он оказался на \(10\) см ниже первого. Как расположатся поршни в отсутствие гири?

76.

Палочка массы \(m\) одним концом упирается в угол между стеной и полом. В стене на высоте, равной длине палочки, просверлено гладкое отверстие, через которое проходит нить, привязанная к верхнему концу палочки. Другой конец нити перекинут через блок и на нем висит некоторый груз (рис.). Какова должна быть величина массы груза, чтобы палочка из любого начального положения всегда прижималась к стене.

77.

Штанга массы \(m\) и длиной \(l\) закреплена нижним концом на шарнире (рис.). К верхнему концу штанги привязана нить, перекинутая через блок, укрепленный на высоте \(h\) от шарнира и на одной с ним вертикали. Какой минимальный груз нужно подвесить на другой конец нити, чтобы штанга устойчиво стояла в вертикальном положении?

78.

Пружина скрепляет два груза, массы которых \(m\) и \(M\) (рис.). Когда система подвешена за верхний груз (положение слева), длина пружины равна \(l_{1}\). Если систему поставить на подставку (положение справа), длина пружины равна \(l_{2}\). Определить длину ненапряженной пружины \(l_{0}\).

79.

На высоте \(h = 2\) см над широким сосудом открывают на \(t_0 = 2\,\text{с}\) кран, из которого вниз бьет струя воды с расходом \(q\) = \(200\,\text{г/с}\). Площадь отверстия крана \(S = 1\,\text{см}^{2}\). Найти изменение силы давления сосуда на подставку и нарисовать график этой силы как функцию времени. Вода из сосуда не вытекает.

80.

Однородная палочка, концы которой могут скользить без трения по горизонтальной плоскости и вертикальной стенке двугранного угла, удерживается в положении равновесия натяжением нити, закрепленной в вершине угла и наклоненной к горизонтальной плоскости под углом \(\beta\). Палочка наклонена к горизонтальной плоскости под углом \(\alpha\). Найти натяжение нити \(T\), если вес палочки равен \(P\).

81.

Лестница длиной \(L\) = \(3\,\text{м}\) стоит упираясь верхним закругленным концом в гладкую стену, а нижним – в пол. Угол наклона лестницы \(\alpha\) = \(60^{\circ}\), ее масса \(m\) = \(15\,\text{кг}\). На лестнице на расстоянии \(a\) = \(1\,\text{м}\) от ее верхнего конца стоит человек весом \(P\) = 600 \(H\). Определить, с какой силой давит на пол нижний конец лестницы, и как направлена эта сила.

82.

Над широким сосудом, уравновешенным на весах, на время \(t\) = 5 \(c\) открывают кран, расположенный на высоте \(H\) = \(0{,}5\,\text{м}\) над сосудом. Весы показали максимальное увеличение веса сосуда на \(P_{1}\) = 1,65 кH, а после того, как кран закрыли и все успокоилось, на \(P_{2} = l,5\) кH. Определите, с какой скоростью вода вытекала из крана.

83.

Два сообщающихся сосуда заполнены до высоты \(h\) жидкостью с плотностью \(ρ\). Правый сосуд имеет постоянное сечение \(S\), а левый сосуд до уровня \(h\) имеет сечение \(2S\), а выше этого уровня – \(S\) (см. рис.). Температура жидкости в правом сосуде поддерживается неизменной. В левом сосуде температуру повысили на величину \(\tau\). Определить новый уровень жидкости в правом сосуде. Коэффициент объемного расширения жидкости \(\beta\). Расширением сосудов и объемом соединительной трубки пренебречь. Поверхностное натяжение не учитывать.

84.

Два сообщающихся сосуда заполнены до высоты \(h\) жидкостью с плотностью \(\rho\). Правый сосуд имеет постоянное сечение \(S\), левый сосуд до уровня \(h\) имеет сечение \(S/2\), а выше этого уровня – \(S\) (см. рис.). Температура жидкости в правом сосуде поддерживается неизменной. В левом сосуде температуру повысили на величину \(\tau\). Определить новый уровень жидкости в правом сосуде.

Коэффициент объемного расширения жидкости \(\beta\). Расширением сосудов и объемом соединительной трубки пренебречь. Поверхностное натяжение не учитывать.

85.

Брусок массы \(m\), размеры которого показаны на рисунке, стоит на наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha\). На брусок начинает действовать сила \(F\), параллельная наклонной плоскости. При каком значении этой силы брусок опрокинется? Известно, что соскальзывать с наклонной плоскости брусок при этом не будет.

86.

Два сосуда одинакового сечения соединены тонкой трубкой с краном. Места присоединения трубки к сосудам показаны на рисунке \(h_{1} = 0{,}2\,\text{Н}\), \(h_{2} = 0,05\) H. Первоначально левый сосуд заполнен водой (\(\rho_{1}\) = \(1\,\text{г/см³}\)), а правый – маслом (\(\rho_{2} = 0{,}8\,\text{г/см³}\)) до одинаковой высоты \(H\). Какими станут уровни поверхностен в сосудах после открытия крана?

87.

В цилиндрический сосуд с площадью сечения \(S_{1}\) = \(200\,\text{см}^{2}\) и высотой \(h_{1}\) = \(30\,\text{см}\) налит объем воды \(V\). В сосуд опускают стержень сечения \(S_{2}\) = \(100\,\text{см}^{2}\), высота которого равна высоте сосуда. Какой минимальный вес должен иметь стержень, чтобы он опустился до дна сосуда?

88.

В цилиндрический сосуд с площадью сечения \(S_{1}\) = \(100\,\text{см}^{2}\) и высотой \(h\) = \(20\,\text{см}\) налит объем \(V\) = \(1\,\text{л}\) воды. В сосуд опускают стержень сечением \(S_{2}\) = \(40\,\text{см}^{2}\), высота которого равна высоте сосуда. Какой минимальный вес должен иметь стержень, чтобы он опустился на дно сосуда?

89.

Под каким углом легче всего тянуть веревку, волоча тяжелый груз по горизонтальной доске? Если доску наклонять, груз сам начнет с нее соскальзывать при угле наклона \(\varphi \) (см. рис.).

90.

Два сосуда одинакового сечения соединены тонкой трубкой с краном. Места присоединения трубки к сосудам показаны на рисунке: \(h_{1} = 0,05\) H, \(h_{2} = 0,05\) H. Первоначально левый сосуд заполнен водой (\(ρ_{1}\) = \(1\,\text{г/см³}\)), а правым – маслом высоты \(H\). Какими станут уровни поверхностей в сосудах после открытия крана?

91.

Прямоугольный брусок, размеры которого показаны на рис., тянут равномерно по горизонтальной плоскости за веревку, угол наклона которой \(α\) можно менять. Коэффициент трения бруска о плоскость \(μ\). При какой величине угла \(α\) брусок начнет приподниматься?

92.

Шар висит на нити, опираясь о стенку, как показано на рисунке. Центр шара \(C\) лежит на одной вертикали с точкой подвеса \(O\), нить образует с вертикалью угол \(\alpha\), а радиус, проведенный в точку крепления нити \(A\), — угол \(\beta\). При каких значениях коэффициента трения шара о стенку такое равновесие возможно? Считать, что \(\alpha+\beta=\pi/2\).

93.

Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду (рис.), пока уровень воды в сосуде не изменится на \(Δh = 8\,\text{см}\). Показание динамометра при этом изменилось на \(ΔF =0,5\) H. Определите сечение сосуда.

94.

Плотность раствора соли с глубиной \(h\) меняется по закону \(\rho = \rho_{0} + Ah\), где \(ρ_{0}\) = \(1\,\text{г/см³}\), \(A = 0,01\) г/см\(^4\). В раствор опушены два шарика, связанные нитью длиной \(l = 5\,\text{см}\). Объем каждого шарика \(V\) = \(1\,\text{см}^{3}\). а массы \(m_{1} = 1,2\) г, \(m_2 = 1,4\) г. На какой глубине каждый шарик будет находиться в равновесии, если известно, что нить натянута?

95.

Во время профилактического ремонта дно лодки-плоскодонки оклеили слоем пластика толщиной \(d\) = \(3\,\text{см}\). После этого высота надводной части лодки уменьшилась на величину \(h\) = \(1{,}8\,\text{см}\). Определите плотность пластика \(\rho\).

96.

Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами (рис.). Оказалось, что центр масс \(C\) такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры имеют одинаковые площади сечения, но изготовлены из различных материалов с плотностями \(\rho\) и \(2\rho\). Определите отношение масс цилиндров.

97.

Детская игрушка-неваляшка (ванька-встанька) представляет собой фигуру высотой \(h\) = \(21\,\text{см}\) и массой \(M\) = \(300\,\text{г}\) с симметричным распределением массы относительно оси \(KD\), причем поверхность нижней части неваляшки есть часть сферы радиусом \(R\) = \(6\,\text{см}\) (рис.). Если неваляшку поставить на шероховатую плоскую поверхность, наклоненную под углом \(α\) = \(30^{\circ}\) к горизонту, то неваляшка занимает устойчивое положение равновесия, при котором ее ось \(KD\) отклоняется от вертикали на угол \(\beta\) = \(45^{\circ}\). Какую наименьшую массу пластилина надо прикрепить к макушке неваляшки в точке \(K\), чтобы она потеряла устойчивость на горизонтальной поверхности стола?

98.

Подводная опора, забитая в глинистый грунт водоема глубиной \(h\) = \(3\,\text{м}\), представляет из себя два соосных цилиндра различных диаметров (рис.). Найдите силу действующую на опору со стороны воды в водоеме, если площадь сечения цилиндра меньшего диаметра, забитого в грунт, \(S\) = \(1\,\text{м}^{2}\), объем части опоры \(ABC\), находящейся в воде, \(V\) = \(4\,\text{м}^{3}\) плотность воды \(\rho = 1\,\text{г/см³}\).

99.

Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью \(\omega\) вокруг вертикальной оси. Открытое и запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление \(p_0\), плотность воды \(\rho\).

1) Найдите давление воды в месте изгиба трубки, расположенном на оси вращения. 2) Найдите давление воды у запаянного конца трубки.

100.

В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны) опусти ли кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на \(h_{1}\) = \(11\,\text{мм}\), а лед стал плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стекла \(\rho_{с}\) = \(2{,}0\,\text{г/см³}\), воды \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\), льда \(\rho_{л}\) = \(0{,}9\,\text{г/см³}\).

101.

В лунку размером \(10 \times 10 \times 10\,\text{см}^{3}\), целиком заполненную водой, опускают цилиндрическое тело (ось цилиндра вертикальна). В результате часть воды из лунки выливается, а тело начинает плавать в ней (см. рис.). После этого из лунки отлили еще \(m\) = \(250\,\text{г}\) воды, так, что цилиндр стал плавать, касаясь дна лунки.

1) Какая масса воды \(M\) осталась в лунке?

2) Чему равна плотность \(\rho\) материала цилиндра?

Диаметр цилиндра \(d\) немного меньше \(10\,\text{см}\), высота цилиндра равна его диаметру.

102.

В лунке размером \(10 \times 10 \times 10\,\text{см}^{3}\), полностью заполненной водой, лежит шарик (см. рис.), плотность материала которого \(\rho = 2\,\text{г/см³}\). Диаметр шарика \(d\) немного меньше \(10\,\text{см}\). Какую минимальную по величине работу \(A\) надо совершить, чтобы вытащить шарик из воды?

103.

На дне лунки размером \(10 \times 10 \times 10\,\text{см}^{3}\) лежит шар, диаметр которого \(d\) немного меньше \(10\,\text{см}\). В лунку наливают воду до тех пор, пока шар не начинает плавать, касаясь дна лунки. После этого в лунку пришлось долить еще \(m = 250\,\text{г}\) воды, чтобы она оказалась заполненной водой до верха (см. рис.).

1) Какую массу воды \(M\) налили в лунку вначале?

2) Чему равна плотность материала шара? Указание. Объем шарового сегмента высотой \(h\) равен \(\Delta V = \frac{1}{3}\pi h^2(\frac{3}{2}d - h\), где \(d\) – диаметр шара.

104.

В лунке размером \(10 \times 10 \times 10\,\text{см}^{3}\), целиком заполненной водой, лежит на дне металлический цилиндр (см. рис.). Диаметр цилиндра \(d\) немного меньше \(10\,\text{см}\). Высота цилиндра равна его диаметру. Для того, чтобы вытащить цилиндр из воды, необходимо совершить работу не меньше величины \(A = 0,185\,\text{Дж}\). Чему равна плотность \(\rho\) материала цилиндра?

105.

«Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен водой (см. рис.) После того, как «тройник» стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка влево) с некоторым постоянным ускорением, из него вылилось \(\frac{1}{16}\) массы всей воды. Чему при этом равно давление в жидкости у закрытого конца (точка \(O\)) горизонтальной трубки? Трубки имеют одинаковое внутреннее сечение и длину \(l\).

106.

«Тройник» из трех вертикальных открытых в атмосферу трубок полностью заполнен водой (см. рис.). После того, как «тройник» стали двигать в горизонтальном направлении (в плоскости рисунка) с некоторым ускорением \(a\), из него вылилось \(\frac{9}{32}\) всей массы содержавшейся в нем воды. Чему равна величина ускорения \(a\)? Внутреннее сечение трубок одинаково, длины трубок равны \(l\).

107.

«Тройник» с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой горизонтальной, полностью заполнен водой (см. рис.). После того как «тройник» стали двигать по горизонтали (в плоскости рисунка направо) с некоторым ускорением, из «тройника» вылилось \(\frac{1}{8}\) массы всей содержавшейся в нем воды. Чему при этом равно давление \(p\) в жидкости у закрытого конца (точка \(O\)) горизонтальной трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна \(L\).

108.

«Тройник», с двумя открытыми в атмосферу вертикальными трубками и одной закрытой целиком заполнен водой (см. рис.). Когда «тройник» стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением (в плоскости рисунка), то из него вылилось \(\frac{1}{8}\) всей массы содержавшейся в нем воды. Чему равно давление в жидкости в нижней части (точка \(O\)) закрытой трубки? Внутреннее сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна \(L\).

109.

В цилиндрическом стакане с водой на нити висит проволока, вмороженная в кусок льда. Лед с проволокой целиком погружен в воду и не касается стенок и дна стакана. После того как лед растаял, проволока осталась висеть на нити целиком погруженная в воду. Уровень воды в стакане за время таяния льда уменьшился на \(ΔH\) (\(ΔH > 0\)), а сила натяжения нити увеличилась в \(k\) раз. Найдите объем проволоки. Плотность воды \(\rho_{в}\), плотность проволоки \(\rho\), площадь внутреннего сечения стакана \(S\).

110.

На чашке пружинных весов уравновесили сосуд, в котором находится вода массой \(m_в\) (рис.). Для приготовления соленого раствора была использована крупная соль, содержащая нерастворимые в воде примеси. Соль с примесями в марлевом мешочке была опущена на нити в сосуд так, что мешочек оказался полностью погруженным в воду. После того как соль полностью растворилась в воде, показания весов изменились на \(Δp\) (\(Δp > 0\)) по сравнению с их показаниями до опускания соли в воду. Плотность соленого раствора была измерена и оказалась равной \(\rho\). Найдите объем Vn примесей в мешочке после растворения соли, если он остался висеть на нити целиком погруженным в раствор. Плотность чистой соли \(\rho_{c}\), воды \(\rho_{в}\), ускорение свободного падения \(g\). Указание: считать раствор однородным с плотностью \(\rho = (m_c + m_в)/(V_с + V_в)\), где \(m_в\) и \(m_c\) – массы воды и соли, а \(V_в\) и \(V_c\) – их объемы.

111.

Стеклянный шар объемом \(V\) и плотностью \(\rho_{o}\) находится в сосуде с водой (рис.). Угол между стенкой сосуда и горизонтальным дном \(\alpha\). Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность воды \(\rho\). Найдите силу давления шара на дно в двух случаях: 1) сосуд неподвижен; 2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением \(a\).

112.

В цилиндрическое ведро с водой опустили обрезок доски так, что он стал плавать, а уровень воды в ведре изменился на \(Δh = 1\,\text{см}\). Затем на доску сверху положили пластину из льда. В результате доска погрузилась в воду полностью, а пластина льда – на \(\alpha = \frac{7}{10}\) своего объема. На сколько изменится объем воды в ведре, когда лед полностью растает? Плотность воды \(\rho_{в} = 1\,\text{г/см³}\), льда \(\rho_{л} = 0{,}9\,\text{г/см³}\), дерева \(\rho = 0{,}6\,\text{г/см³}\). Площадь внутреннего сечения ведра \(S = 300\,\text{см}^{2}\).

113.

Кусок льда привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с водой (рис.). Над поверхностью воды находится некоторый объем льда. Нить натянута с силой \(T\) = \(1\,\text{Н}\). На сколько и как изменится уровень воды в сосуде, если лед растает? Площадь дна сосуда \(S\) = \(400\,\text{см}^{2}\), плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

114.

Два груза висят на нитях в воздухе (см. рис.). Сила натяжения верхней нити в два раза больше силы натяжения нижней нити. Когда оба груза полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась на \(20\) %, а нижней – на \(30\) %. Найдите плотности нижнего и верхнего грузов. Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

115.

В воздухе на нитях висят два шара (см. рис.). Сила натяжения верхней нити на \(40\) % больше силы натяжения нижней нити. Когда оба шара полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась в \(7\) раз, а нижней – на \(20\) %. Найдите плотности нижнего и верхнего шаров. Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

116.

Два предмета висят на нитях в воздухе (см. рис.). Сила натяжения верхней нити в четыре раза больше силы натяжения нижней нити. Когда оба предмета полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась на \(60\) %, а нижней – на \(40\) %. Найдите плотности нижнего и верхнего предметов. Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

117.

В воздухе на нитях висят два бруска (см. рис.). Сила натяжения верхней нити на 80 % больше силы натяжения нижней нити. Когда оба бруска полностью погрузили в воду, то их взаимное положение не изменилось и сила натяжения верхней нити уменьшилась в \(9\) раз, а нижней – на \(60\) %. Найдите плотности нижнего и верхнего брусков. Плотность воды \(\rho = 1\,\text{г/см³}\).

118.

Маленький свинцовый шарик объемом \(V = 0{,}02\,\text{см}^{3}\) равномерно падает в воде. Какое количество тепла выделится при перемещении шарика вниз на \(h\) м? Плотность свинца \(\rho = 11{,}3\,\text{г/см³}\). Принять \(g = 10\,\text{м/с²}\).

119.

К гладкой вертикальной стенке приставлена лестница весом \(P\); лестница образует с горизонтальной шероховатой опорой угол \(\alpha\). Центр тяжести ее расположен в середине. Как направлена и чему равна сила, действующая на лестницу со стороны горизонтальной опоры?

120.

На концах легкого стержня длиной \(l = 20\,\text{г}\) и помещены два шарика, первый из свинца (\(\rho_{1} = 11{,}3\,\text{г/см³}\)), а второй из алюминия (\(\rho_{1} = 2{,}7\,\text{г/см³}\)). Стержень шарнирно закреплен посередине и опушен в воду, где он находится в равновесии. На сколько нужно передвинуть по стержню второй шарик, чтобы равновесие восстановилось в воздухе?

121.

Цилиндрический стакан плавает в воде так, что его края находятся у поверхности, когда он наполовину заполнен водой. Вынув стакан и вылив из него воду, погружают его вверх дном на такую глубину \(h\), где он находится в равновесии (неустойчивом) – не всплывает и не тонет. Определить глубину \(h\), отсчитывая ее от уровня воды в стакане. Атмосферное давление \(p_a = 10^5\) Па. Толщиной дна и стенок стакана пренебречь.

122.

К гвоздю, вбитому в стенку, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стенки, как показано на рисунке, причем нить составляет со стенкой угол \(α\) = \(30^{\circ}\). Радиус оси катушки \(r\) = \(1\,\text{см}\), радиус ее щечек \(R\) = \(10\,\text{см}\). Найти минимальную величину коэффициента трения \(μ\) между стенкой и катушкой.

123.

На цилиндр навита веревка, конец которой закреплен в верхней точке наклонной плоскости. Цилиндр лежит на наклонной плоскости, как показано на рисунке, причем веревка имеет горизонтальное направление. Масса цилиндра \(m\) = \(10\,\text{кг}\). Найти модуль силы \(F\) давления цилиндра на плоскость.

124.

На обруче прикреплен маленький груз массы \(m\) = \(50\,\text{г}\). Обруч может быть установлен неподвижно па наклонной плоскости с углом наклона \(α\) = \(30^{\circ}\) так, что груз находится на одной горизонтальной линии с центром обруча \(O\) (рис.). Определить массу обруча \(M\) (без груза).

125.

Конструкция из пяти одинаковых стержней закреплена в точке \(A\) (рис.). К точке \(D\) подвешен груз массы \(m\) = \(1{,}7\,\text{кг}\). Определить, с какой силой растянуты (или сжаты) все стержни. Массой стержней пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\) считать равным \(10\,\text{м/с²}\).

126.

Тело массы \(m_{1}\) = \(1\,\text{кг}\) одной нитью связано с неподвижной точкой \(O\), а второй нитью, перекинутой через невесомый блок \(B\), с телом массы \(М = 2\,\text{кг}\) (рис.). В некоторый момент времени угол \(OAB\) прямой, а отрезок \(OA\) составляет угол \(\alpha\) = \(30^{\circ}\) с горизонтом. Определить натяжение нити АВ в этот момент времени.

127.

Человек перемешает куб с длиной ребра \(a\) = \(1{,}8\,\text{м}\) вверх по наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha\) = \(45^{\circ}\) с горизонтом, прикладывая силу \(F\) перпендикулярно грани куба и обеспечивая равномерное поступательное движение куба. На каком расстоянии \(x\) от наклонной плоскости он может прикладывать силу, чтобы основание куба не отрывалось от наклонной плоскости? Коэффициент трения между поверхностями куба и наклонной плоскости \(\mu = 0,2\).

128.

Груз массой \(m\) = \(10\,\text{кг}\) висит на кронштейне, состоящем из двух стержней \(AB\) и \(CB\), концы которых заделаны в стену. Устройство кронштейна показано на рисунке. Длины стержней \(AB\) и \(CB\) равны соответственно \(a\) = \(0{,}8\,\text{м}\) и \(b\) = \(1{,}0\,\text{м}\). Расстояние \(AC\) между концами стержней, заделанными в стеку, равно \(c\) = \(0{,}4\,\text{м}\). Найти силы \(F_a\) и \(F_b\), действующие на стержни.

129.

На колесе радиусом \(R\) = \(10\,\text{см}\) имеется плоская часть длиной \(a\) = \(1\,\text{см}\) (рис.). При какой величине коэффициента трения \(μ\) колесо будет скользить, а не катиться по гладкой горизонтальной поверхности, если его плавно тянуть за ось вращения?

130.

Система, изображенная на рисунке, состоит из четырех шарнирно соединенных одинаковых невесомых стержней и невесомой пружины. В ненагруженном состоянии (\(m = 0\)) стержни образуют квадрат и длина пружины \(l\) = \(9{,}8\,\text{см}\). При подвешивании к нижнему шарниру груза массой \(m\) = \(500\,\text{г}\) острый угол между стержнями \(\alpha = 60^{\circ}\). Найдите коэффициент жесткости пружины \(k\), считая ускорение свободного падении \(g\) = \(9{,}8\,\text{м/с²}\).

131.

Двугранный угол образован гладкими плоскостями, составляющими с горизонтом углы \(α_{1}\) = \(30^{\circ}\) и \(α_{2}\) = \(90^{\circ}\) (рис.). Внутри угла находится шар массой \(m\) = \(0{,}173\,\text{кг}\). Определите силу давления шара на вертикальную плоскость.

132.

К концу однородной палочки массы \(M\) = \(4{,}4\,\text{г}\) подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса \(R\) = \(0{,}5\,\text{см}\) (рис.). Палочку кладут на край стакана с водой, добиваясь такого положения равновесия, при котором погруженной в воду оказывается половина шарика. Определите, в каком отношении делится длина палочки точкой опоры. Плотность алюминии \(\rho_{a} = 2,7 \cdot 10^3\) кг/м³, плотность воды \(\rho_{в} = 10^3\) кг/м³.

133.

Катушка с нитками лежит на наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha\) с горизонтом (рис.). Свободный конец нити закреплен у верхнего конца наклонной плоскости так, что нить параллельна наклонной плоскости. Радиус катушки \(R\), радиус намотки ниток \(r\). При каком минимальном коэффициенте трения \(\mu_{min}\), катушки о плоскость система будет в равновесии?

134.

Будет ли плавать в воде (плотность воды \(\rho_{о}\) = \(1000\,\text{кг/м³}\)) полый кубик из железа (плотность железа \(\rho\) = \(7800\,\text{кг/м³}\)), если длина ребра кубика \(a\) = \(20\,\text{см}\), а толщина стенок \(b\) = \(0{,}5\,\text{см}\)?

135.

Из резервуара большой емкости с помощью насоса откачивают воду. Наконечник гладкого шланга, из которого вытекает вода, имеет площадь поперечного сечения \(S\) = \(10\,\text{см}^{2}\) и находится на уровне поверхности воды в резервуаре. Мотор насоса потребляет мощность \(P = 0,5\) кВт. Коэффициент полезного действия установки \(η = 0,26\). С какой скоростью вытекает вода из шланга?

136.

Однородный шар массой \(m\) = \(10\,\text{кг}\) удерживается на гладкой наклонной плоскости веревкой, укрепленной над плоскостью (рис.). Угол наклона плоскости к горизонту \(\alpha\) = \(30^{\circ}\), угол между веревкой и наклонной плоскостью \(\beta\) = \(45^{\circ}\). Определите силу, с которой шар давит на наклонную плоскость.

137.

Во сколько раз сила давления воды на нижнюю половину вертикальной стенки полностью заполненного колодца отличается от силы давления воды на всю стенку, если давление на дно колодца превышает атмосферное в \(n = 3\) раза?

138.

В дне цистерны, заполненной нефтью, установлены два одинаковых крана \(K_{1}\) и \(K_{2}\) небольшого сечения, расположенных на равных расстояниях \(L\) от оси ее горловины. Считая, что скорость вытекания нефти пропорциональна перепаду давлений на кране, найти отношение масс вытекающей через краны нефти при движении цистерны по прямолинейному горизонтальному участку пути с ускорением \(a\), если уровень нефти в центре горловины относительно дна равен \(h\), и при движении цистерны нефть не выливается из горловины.

139.

Два вертикальных сообщающихся цилиндра заполнены водой и закрыты поршнями с массами \(M_{1}\) =\(1\,\text{кг}\) и \(M_{2}\) = \(2\,\text{кг}\). В положении равновесия левый поршень расположен выше правого на \(h\) = \(10\,\text{см}\). Когда на левый поршень поместили гирю массой \(m\) = \(2\,\text{кг}\), поршни в положении равновесия оказались на одной высоте. Какова будет разность высот поршней \(H\) в положении равновесия, если гирю перенести на правый поршень?

140.

На дне сосуда на одной из своих боковых граней лежит треугольная призма. В сосуд налили жидкость плотностью \(\rho_{0}\) так, что уровень жидкости сравнялся с верхним ребром призмы. Какова плотность материала призмы, если сила давления призмы на дно увеличилась в \(3\) раза? Жидкость под призму не подтекает. Атмосферное давление не учитывать.

141.

Два шарика, соединенные невесомым жестким стержнем, подвешены на невесомых нитях одной и той же длины, закрепленных в одной и той же точке (рис.). Найдите отношение масс шариков \(k\) = \(m_{1}\)/\(m_{2}\), если известно, что нить, на которой висит первый шарик, отклонена от вертикали на угол \(\alpha\) = \(30^{\circ}\), а нить, на которой висит второй шарик, отклонена на угол \(\beta\) = \(45^{\circ}\).

142.

Цилиндр массой \(m\) = \(20\,\text{кг}\) и радиусом \(R\) = \(0{,}5\,\text{м}\) лежит на горизонтальном полу, касаясь ступеньки высотой \(h\) = \(0{,}1\,\text{м}\) (рис.). Какую минимальную силу необходимо приложить к центру цилиндра, чтобы он перестал давить на пол? Трением пренебречь. Принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

143.

Однородный стержень может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец (рис.). К другому концу стержня приложена сила (\(F\)), направленная горизонтально и перпендикулярная оси вращения стержня. Под действием этой силы стержень отклонен от вертикали на угол \(\alpha\) = \(45^{\circ}\). Какой угол \(\beta\) составляет с вертикалью сила (\(R\)), действующая на стержень со стороны оси?

144.

В высокий цилиндрический сосуд с внутренним диаметром \(D\) = \(7\,\text{см}\) налито \(m\) = \(50\,\text{г}\) воды. В сосуд медленно опускают подвешенный на нити стержень массой \(M\) = \(5\,\text{кг}\), имеющий форму прямого кругового цилиндра длиной \(L\) = \(218{,}3\,\text{см}\). Плотность материала стержня \(\rho\) = \(600\,\text{кг/м³}\). Оси сосуда и стержня вертикальны и совпадают. Найдите изменение силы натяжения подвеса, когда расстояние между нижним основанием стержня и дном сосуда станет равным \(h\) = \(3\,\text{мм}\), по сравнению со случаем, когда стержень еще не касался воды.

145.

Сплошной однородной цилиндр массой \(m\) располагается на шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол \(\alpha\) (рис.). На цилиндр намотана нить, которая закреплена на наклонной плоскости так, что ее отрезок между цилиндром и точкой закрепления горизонтален. Найдите силу \(F\), с которой цилиндр действует на плоскость, если известно, что он находится в равновесии, а плоскость движется вверх с постоянным ускорением \(a\). Ускорение свободного падения равно \(g\).

146.

Тонкую деревянную палочку подвесили за один из концов на нити, а другой конец опустили в воду (рис.). При этом палочка оказалась наклоненной к горизонтали на угол \(\alpha\) = \(30^{\circ}\), а длину ее части, погруженной в воду, составила половину длины палочки. Какую работу \(A\) нужно совершить, чтобы вытащить за нить палочку из воды? Длина палочки \(L\), площадь сечения \(S\), плотность воды \(\rho_{в}\), ускорение свободного падения \(g\) заданы.

147.

Неоднородное бревно лежит на земле. Чтобы приподнять один конец бревна, требуется приложить к нему минимальную силу \(F_{1} = 425\) H, а для того чтобы приподнять другой конец бревна, требуется минимальная сила \(F_{2} = 575\) H. Найдите массу бревна.

148.

Фишки для игры в домино укладывают на горизонтальную поверхность ступенчатой стопкой, смещая вдоль длинной стороны каждую последующую фишку по отношению к предыдущей на \(d\) = \(2\,\text{мм}\). Какое максимальное количество фишек \(N\) можно уложить таким образом, прежде чем стопка развалится? Длина каждой фишки \(l\) = \(4\,\text{см}\).

149.

К вертикальной стене одним концом шарнирно прикреплен однородный тяжелый жесткий стержень, на другом конце которого подвешен груз, как показано на рисунке. Стержень удерживают в горизонтальном положении легкой жесткой проволокой, прикрепленной к нему на расстоянии \(l\) = \(30\,\text{см}\) от шарнира. Другой конец проволоки прикреплен к стене так, что проволока и стержень лежат в одной вертикальной плоскости. На каком расстоянии \(h\) от шарнира должна быть прикреплена к стене проволока, чтобы ее абсолютное удлинение было минимальным? Трением в шарнире пренебречь.

150.

Два одинаковых шарика подвешены на невесомых нерастяжимых нитях, как показано на рисунке. Силы натяжения верхней и средней нитей \(T_{1}\) и \(T_{2}\) известны. Найдите силу натяжения \(T_{3}\) нижней нити, если она горизонтальна.

151.

В середине неподвижно закрепленного горизонтального цилиндрического сосуда, открытого с одной стороны, находится тонкий поршень. В закрытой части цилиндра – воздух. Какую минимальную силу следует приложить к поршню, чтобы медленно вытащить его из цилиндра? Атмосферное давление \(p_0 = 10\,\text{Па}\). Площадь поперечного сечения цилиндра \(S\) = \(4\,\text{см}^{2}\). Температуру считать постоянной. Трением пренебречь. Воздух можно считать идеальным газом.

152.

Однородный шар массы \(m\) = \(7\,\text{кг}\) привязан за веревку к гвоздю, вбитому в стену. Какую горизонтальную силу \(F\) нужно приложить к середине веревки, чтобы натяжения нижней и верхней ее половин относились как \(1:2\), а шар не касался стенки? Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

153.

На двух гвоздях, вбитых в стену в точках \(A\) и \(B\) (см. рисунок), повешена веревка. Расстояние между гвоздями по горизонтали \(b = \sqrt{3}\) м, разность высот, на которых вбиты гвозди \(a\) = \(1\,\text{м}\), длина веревки равна \(a + b\). На веревке на расстоянии \(a\) от точки \(A\) подвешивают груз, который не касается стены. Найти отношение \(\beta\) сил натяжения веревки слева и справа от груза. Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\). Веревку считать невесомой и нерастяжимой.

154.

На внутренней поверхности гладкой сферы лежит невесомый стержень с маленькими шариками массами \(m_{1}\) и \(m_{2}\) на концах. Длина стержня равна радиусу сферы. Пренебрегая трением найти угол \(\alpha\) между стержнем и горизонталью.

155.

Брусок массой \(m\) = \(1\,\text{кг}\) находится на неподвижной наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha\) = \(45^{\circ}\) с горизонтом (см. рис.). С какой минимальной горизонтальной силой \(F\) нужно действовать на брусок, чтобы он покоился? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость \(\mu = 0,25\). Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

156.

Невесомый стержень лежит горизонтально на двух опорах \(A\) и \(B\). В точке \(C\) к стержню приложена сила \(F\), направленная вертикально вниз. Определить величину этой силы, если известно, что расстояние \(CB\) в \(k = 2,5\) раза превышает расстояние \(AC\), а нагрузка на опору \(A\) превышает нагрузку на опору \(B\) на величину \(f = 30\) H.

157.

Тонкий однородный стержень укреплен на шарнире в точке \(A\) и удерживается горизонтальной нитью (см. рис.). Масса стержня \(m\) = \(1\,\text{кг}\), угол его наклона к горизонту \(\alpha\) = \(45^{\circ}\). Найти величину силы реакции шарнира \(R\). Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

158.

Автомобиль массой \(M = 1000\,\text{кг}\) равномерно движется вверх по наклонному участку дороги, составляющему с горизонтом угол \(\alpha\) = \(15^{\circ}\). Найти силу \(N\), с которой давят на дорогу передние колеса автомобиля, если расстояние между его осями \(L\) = \(2\,\text{м}\), центр тяжести расположен посередине между осями на расстоянии \(H = 0,5\,\text{м}\) от поверхности дороги, ведущие колеса – задние. Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

159.

Груз массой \(m\) = \(1{,}2\,\text{кг}\) подвешен к середине нити длиной \(L\) = \(2\,\text{м}\), концы которой закреплены на одном уровне. Найти максимально возможное расстояние \(х\) между точками закрепления концов нити, если она выдерживает нагрузку не более \(F\) = \(10\,\text{Н}\). Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

160.

Однородный стержень длиной \(l\) = \(1\,\text{м}\) и массой \(m\) = \(0{,}8\,\text{кг}\) несет на концах два маленьких шарика, массы которых \(m_{1}\) = \(0{,}2\,\text{кг}\) и \(m_{2}\) = \(0{,}25\,\text{кг}\). Стержень может поворачиваться на горизонтальной оси, находящейся на расстоянии \(l_{1}\) = \(0{,}3\,\text{м}\) от шарика меньшей массы. Чтобы стержень был расположен горизонтально, под шарик большей массы подставлена опора. Найти силу \(F\), действующую на опору. Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

161.

Однородный стержень лежит горизонтально на двух опорах. Расстояние от центра стержня до ближайшей опоры \(S = 0,3\,\text{м}\). Найти расстояние между опорами \(l\), если известно, что силы, действующие на стержень со стороны опор, отличаются друг от друга на величину, равную \(\alpha\) = \(\frac{1}{5}\) веса стержня.

162.

Лестница стоит на шероховатом полу и опирается о выступ, снабженный роликом (см. рис.). Расстояние \(AB\) от нижнего конца лестницы до выступа составляет \(\frac{3}{4}\) ее полной длины, угол наклона лестницы \(\alpha\) = \(45^{\circ}\). Каков должен быть коэффициент трения \(\mu\) между лестницей и полом, чтобы она находилась в равновесии? Трением в ролике пренебречь.

163.

Деревянная линейка выдвинута за край стола на \(\alpha\) = \(\frac{1}{4}\) часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на ее свешивающийся конец положить груз массой не более \(m_{1}\) = \(250\,\text{г}\). На какую часть длины \(\beta\) можно выдвинуть за край стола эту линейку, если на ее свешивающийся конец положен груз массой \(m_{2}\) = \(125\,\text{г}\)?

164.

Автомобиль массой \(M\) поднимается с постоянной скоростью вверх по дороге, составляющей угол \(\alpha\) с горизонтом. Найти силу \(F\) взаимодействия ведущих (задних) колес с поверхностью дороги. Расстояние между осями автомобиля \(L\), центр тяжести находится посередине между осями на расстоянии \(H\) от поверхности дороги. Силу трения, действующую на передние колеса, не учитывать. Ускорение свободного падения \(g\).

165.

Браслет массы \(M = 80\,\text{г}\) сделан из сплава золота и серебра. Вычислить массу золота \(m\), содержащегося в браслете, исходя из следующих данных. Плотность золота \(\rho_{1}\) = \(19{,}3\,\text{г/см³}\), плотность серебра \(\rho_{2}\) = \(10{,}5\,\text{г/см³}\). При погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вертикальными стенками и площадью основания \(S\) = \(25\,\text{см}^{2}\), уровень воды поднимается на \(h\) = \(2\,\text{мм}\). Объем сплава принять равным суммарному объему исходных компонент.

166.

На наклонном дне сосуда, наполненного водой, покоится на маленьких подставках алюминиевый кубик с ребром \(а = 10\,\text{см}\) (см. рис.). Определить суммарную силу трения между кубиком и подставками. Угол наклона дна сосуда к горизонту \(α\) = \(30^{\circ}\), плотности алюминия и воды, соответственно, \(\rho_{а}\) = \(2{,}7\cdot 10^{3}\) кг/м³, \(\rho_{в} = 10^3\) кг/м³. Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

167.

В сосуде, вертикальное сечение которого изображено на рисунке, находятся в равновесии два невесомых поршня, соединенные невесомой нерастяжимой нитью (см. рис.). Пространство между поршнями заполнено жидкостью, плотность которой \(\rho = 10^3\) кг/м³. Найти силу натяжения нити \(Т\), если площади поршней \(S_{1}\) = \(0{,}1\,\text{м}^{2}\) и \(S_{2}\) = \(0{,}05\,\text{м}^{2}\), а длина нити \(l\) = \(0{,}5\,\text{м}\). Трением поршней о стенки сосуда пренебречь, ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

168.

Вертикально расположенная \(U\)-образная трубка частично заполнена ртутью, причем левый конец трубки выше уровня ртути на \(h_{1}\) = \(50{,}2\,\text{см}\), а правый – на \(h_{2}\) = \(25\,\text{см}\). В оба колена трубки наливают воду так, что они оказываются полностью заполненными. На какую величину \(Δh\) переместится уровень ртути в левом колене трубки, если известно, что ртуть из него не вытесняется полностью? Плотность ртути \(\rho\) = \(13{,}6\,\text{г/см³}\), плотность воды \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\).

169.

Тело, состоящее из куска льда и вмерзшего в него алюминиевого бруска, плавает в воде так, что под водой находится \(\alpha = 95\) % объема тела (см. рис.). Какой процент льда \(\beta\) должен растаять, чтобы тело полностью погрузилось в воду? Плотность воды \(\rho_{в} = 10^3\) кг/м³, плотность льда \(\rho_{л}\) = \(0{,}9\cdot 10^{3}\) кг/м³, плотность алюминия \(\rho_{а}\) = \(2{,}7\cdot 10^{3}\) кг/м³.

170.

Сосуд, имеющий форму куба со стороной \(h\) = \(1\,\text{м}\), разделен вертикальной перегородкой на две равные части, сообщающиеся между собой у дна сосуда. Левая половина сверху запаяна, а правая открыта. В каждой половине имеется плоский невесомый поршень, а сосуд заполнен частично водой и частично газом (см. рисунок). Вначале правый поршень находится вровень с верхним краем сосуда, а левый – ровно на половине его высоты. Затем на правый поршень кладут груз массы \(M\), в результате чего этот поршень перемещается на расстояние \(d\) = \(25\,\text{см}\). Определить массу груза, если плотность воды \(\rho\) = \(1000\,\text{кг/м³}\), атмосферное давление \(p_{0} = 10^5\) Па, а ускорение свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\). Температуру газа считать постоянной.

171.

В цилиндрическом сосуде уровень воды находится на высоте \(Н = 20\,\text{см}\). Когда в сосуд пустили плавать пустой стеклянный стакан, уровень воды поднялся на \(Δh\) = \(2\,\text{см}\). На какой высоте \(Н_1\) будет располагаться уровень воды в сосуде, если стакан утопить? Плотность воды \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\), плотность стекла \(\rho_{ст}\) = \(2{,}5\,\text{г/см³}\).

172.

В двух сосудах налиты одинаковые объемы различных жидкостей. Если брусок из пластмассы поместить в первый сосуд, то он плавает в нем, причем сторона бруска, имеющая длину \(a\), перпендикулярна поверхности жидкости и высота выступающей части равна \(h_{1}\). Если этот брусок поместить во второй сосуд, то высота выступающей части станет \(h_{2}\). Какой будет величина выступающей части \(h\), если жидкости слить в один сосуд? Считать, что жидкости смешиваются без изменения суммарного объема.

173.

В цилиндрический сосуд с водой опускают деревянный шар радиусом \(R\), внутри которого помещен свинцовый грузик массой \(m\). На какую высоту \(h\) поднимется при этом уровень воды в сосуде, если площадь дна \(S\), плотность воды \(\rho_{в}\), плотность дерева \(\rho_{д}\), плотность свинца \(\rho_{св}\)?

174.

Деревянный куб плавает на поверхности воды. Какую работу \(A\) нужно совершить, чтобы полностью погрузить куб в воду? Длина ребра куба \(а = 1\,\text{м}\), плотность дерева \(\rho_{д}\) = \(0{,}5\,\text{г/см³}\), плотность воды \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\), ускорение свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\). Погружение куба в воду производится очень медленно.

175.

Алюминиевая спица с длиной \(L\) = \(25\,\text{см}\) и площадью поперечного сечения \(S\) = \(0{,}1\,\text{см}^{2}\) подвешена на нити за верхний конец (см. рис.). Нижний конец опирается на горизонтальное дно сосуда, в который налита вода. Длина погруженной в воду части спицы \(l\) = \(10\,\text{см}\). Найти силу \(F\), с которой спица давит на дно сосуда, если известно, что нить расположена вертикально. Плотность алюминия \(\rho_{а}\) = \(2{,}7\,\text{г/см³}\), плотность воды \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\). Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

176.

В водопроводной трубе образовалось отверстие сечением \(S\) = \(4\,\text{мм}^{2}\), из которого вертикально вверх бьет струя воды, поднимаясь на высоту \(h\) = \(80\,\text{см}\). Какой объем воды \(V\) вытекает через отверстие за время \(τ\), равное одним суткам? Ускорение свободного падения принять \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

177.

В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью \(v_{1}\) = \(8\,\text{см/с}\) при давлении \(p_1 = 1{,}5\cdot 10^{5}\) Па. В узкой части трубы давление воды равно \(p_2 = 1{,}4\cdot 10^{5}\) Па. Какова скорость \(v_{2}\) течения воды в узкой части трубы? Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

178.

На поршень горизонтально расположенного шприца сечением \(S\) действует вдоль оси шприца постоянная сила \(F\). С какой скоростью \(v\) вытекает в горизонтальном направлении струя воды из отверстия шприца площадью \(s\) (\(s\) << \(S\)), если плотность воды равна \(\rho\)? Трением пренебречь.

179.

На гладком горизонтальном столе стоит сосуд с водой. В боковой стенке у дна сосуда проделано маленькое отверстие площадью \(s\). Какую горизонтальную силу \(F\) нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии в момент, когда высота уровня воды в сосуде равна \(h\)? Трением пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\). Плотность воды \(\rho\).

180.

На поверхности воды плавает лист пенопласта, причем толщина погруженной в воду части \(h\) = \(1\,\text{см}\). Если положить на пенопласт груз массой \(M = 50\,\text{кг}\), то высота выступающей над водой части пенопласта уменьшится на \(Δh\) = \(5\,\text{см}\). Чему равна масса \(m\) пенопласта?

181.

Надводная часть айсберга имеет объем \(V\) = \(1000\,\text{м}^{3}\). Найти массу айсберга \(M\), если плотность воды \(\rho_{в} = 10^3\) кг/м³, а плотность льда \(\rho_{л}\) = \(0{,}9\cdot 10^{3}\) кг/м³.

182.

В одно из колен \(U\)-образной трубки, частично заполненной водой, опускают плавать кусочек дерева массой \(m\) = \(10\,\text{г}\) (см. рис.). На какую высоту \(Δh\) поднимется уровень воды в трубке, если ее сечение \(S\) = \(10\,\text{см}^{2}\)? Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

183.

В трех одинаковых сообщающихся сосудах находится ртуть (см. рис.). В левый сосуд налили слой воды высотой \(h_{1}\) = \(180\,\text{мм}\), а в правый – высотой \(h_{3}\) = \(228\,\text{мм}\). На какую величину \(h_{1}\) сместится уровень ртути в среднем сосуде, если известно, что ртуть из левого и правого сосудов не вытесняется водой полностью? Плотность ртути \(\rho\) = \(13{,}6\,\text{г/см³}\), плотность воды \(\rho_{в}\) = \(1\,\text{г/см³}\).

184.

Два вертикальных сообщающихся цилиндра заполнены водой и закрыты поршнями с разными массами (см. рис.). В положении равновесия левый поршень расположен выше правого на величину \(h\) = \(10\,\text{см}\). Какой массы \(m\) гирю надо поставить на левый поршень, чтобы поршни оказались на одной высоте? Площади поршней одинаковы и равны \(S\) = \(200\,\text{см}^{2}\), плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

185.

Сосуд, имеющий форму куба со стороной \(h\) = \(1\,\text{м}\), разделен вертикальной перегородкой на две равные части, сообщающиеся между собой у дна сосуда. Левая половина сверху запаяна, а правая открыта. В каждой половине имеется плоский невесомый поршень, а сосуд заполнен частично водой и частично газом (см. рисунок). Вначале на правом поршне лежит груз массой \(M = 100\,\text{кг}\), при этом оба поршня находятся на уровне середины сосуда. Затем груз убирают, в результате чего правый поршень поднимается на расстояние \(d\) = \(1\,\text{см}\). Определить атмосферное давление, если плотность воды \(\rho\) = \(1000\,\text{кг/м³}\), а свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\). Температуру газа считать постоянной.

186.

К коромыслу равноплечных весов подвешены два сплошных однородных шарика равной массы, сделанных из разных материалов. Если одновременно один из шариков поместить в жидкость с плотностью \(\rho_{1} = 10^3\) кг/м³, а другой – в жидкость с плотностью \(\rho\) = \(0{,}8\cdot 10^{3}\) кг/м³, то равновесие сохранится. Считая, что плотности шариков больше плотностей жидкостей, найти отношение плотностей шариков \(\alpha\).

187.

В сосуде с жидкостью плотности \(\rho_{1}\) = \(900\,\text{кг/м³}\) плавает однородный кубик. Верхняя грань кубика параллельна поверхности жидкости, а высота выступающей над жидкостью части \(h_{1}\) = \(1{,}8\,\text{см}\). Когда кубик поместили в сосуд с жидкостью плотности \(\rho_{2}\) = \(1800\,\text{кг/м³}\), высота выступающей части стала \(h_{2}\) = \(2{,}4\,\text{см}\). Найти плотность материала кубика \(\rho\).

188.

Цилиндрическая пробирка с грузиком, имеющая площадь поперечного сечения \(S\) = \(1\,\text{см}^{2}\), плавает в воде вертикально, причем из воды высовывается часть пробирки высотой \(h\) = \(5\,\text{см}\). Какова минимальная плотность жидкости \(\rho\), в которой пробирка с грузиком не утонет, если суммарная масса пробирки и грузика \(M = 20\,\text{г}\)? Плотность воды \(\rho_{0} = 10^3\) кг/м³.

189.

Тонкая однородная палочка опирается одним концом о вершину острого камня, выступающего из воды (см. рис.). Другой конец палочки находится на плаву, причем погруженная в воду часть палочки в \(\alpha\) раз меньше всей ее длины. Плотность воды \(\rho_{0} = 10^3\) кг/м³, \(\alpha = 3\). Найти плотность \(\rho\) материала, из которого сделана палочка.

190.

В горизонтальной трубе диаметром \(d_{1}\) = \(5\,\text{см}\) вода течет со скоростью \(v_{1}\) = \(20\,\text{см/с}\) при давлении \(p_1 = 2\cdot 10^{5}\) Па. Каково давление \(p_{2}\) в узкой части трубы диаметром \(d_{2}\) = \(2\,\text{см}\)? Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\).

191.

Труба переменного сечения расположена горизонтально. В широкой части трубы диаметром \(D\) расположен поршень, на который действует постоянная сила \(F\). Узкая часть трубы имеет диаметр \(d\), и из нее вытекает струя воды. Найти скорость \(v\) перемещения поршня. Плотность воды равна \(\rho\). Трением пренебречь.

192.

В дне бака высотой \(H = 50\,\text{см}\), полностью заполненного водой, имеется отверстие площадью \(s_{1}\) = \(1\,\text{см}^{2}\), которая значительно меньше площади сечения бака. Если открыть отверстие, то из него начинает вытекать струя воды и падать вниз. Какова площадь сечения струи \(s_{2}\) на высоте \(h\) = \(20\,\text{см}\) ниже дна бака? Поверхностным натяжением воды пренебречь.

193.

На горизонтальном столе стоит цилиндрический бак высотой \(H\), полностью заполненный водой. На какой высоте \(h\) от основания бака нужно просверлить в его боковой стенке маленькое отверстие, чтобы бьющая из него струя воды падала на поверхность стола наиболее далеко от сосуда?

194.

Два одинаковых шарика плотностью \(\rho = 1,2 \cdot 10^3\) кг/м³ связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рис.). Один из шариков погружен в жидкость плотностью \(\rho_{ж} = 0,8 \cdot 10^3\) кг/м³. Сила сопротивления жидкости, действующая на шарик, пропорциональна его скорости. Найти величину \(v\) установившейся скорости движения шариков, если известно, что установившаяся скорость падения одиночного шарика в этой жидкости \(v_{0}\) = \(2\,\text{см/с}\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

195.

Стеклянная бутылка вместимостью \(V\) = \(0{,}5\,\text{л}\) и массой \(M = 200\,\text{г}\) плавает в воде. Какое количество воды \(m\) нужно налить в бутылку, чтобы она утонула? Плотность стекла \(\rho = 2,5 \cdot 10^3\) кг/м³, плотность воды \(\rho_{в} = 10^3\) кг/м³.

196.

Шар радиусом \(a\) со сферической полостью радиусом \(a/2\), центр которой смещен на расстояние \(a/2\) от центра шара \(O\), подвешен на двух вертикальных нитях так, что линия, соединяющая центры шара и полости горизонтальна (см. рисунок). Во сколько раз \(n\) изменится натяжение левой нити, если шар полностью погрузить в жидкость, в которой он не плавает? Плотность жидкости \(\rho_{0} = 10^3\) кг/м³, плотность материала, из которого сделан шар, \(\rho = 2 \cdot 10^3\) кг/м³. Жидкость в полость не проникает.

197.

Цилиндрическое ведро массой \(m\) = \(1\,\text{кг}\) имеет объем \(V_{0}\) = \(10\,\text{л}\) и высоту \(H = 40\,\text{см}\). Его погружают вверх дном в воду в вертикальном положении до тех пор, пока дно ведра не оказывается вровень с поверхностью воды. Какую силу \(F\) нужно приложить к ведру, чтобы удерживать его в этом положении? Температуру воздуха внутри ведра считать неизменной. Плотность воды \(\rho\) = \(1\,\text{г/см³}\), ускорение свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\), атмосферное давление \(p_{0} = 10^5\) Па. Толщиной стенок ведра пренебречь.

198.

Водолазный колокол представляет собой цилиндрическую бочку, изготовленную из стали, причем отношение внутреннего объема колокола к объему его стенок и днища составляет \(\alpha = 68\). Колокол переворачивают вверх дном и погружают в воду, подцепив к нему дополнительный груз. На какой глубине \(d\) нужно отцепить груз, чтобы колокол после этого оказался в равновесии? Температура воздуха над поверхностью воды \(t_{0}\) = \(27^{\circ}С\), температура воды \(t_{1}\) = \(7^{\circ}\)\(C\), атмосферное давление \(p_a = 10^5\) Па, плотность стали \(\rho_{с} = 7,8 \cdot 10^3\) кг/м³, плотность воды \(ρ_{в} = 10^3\) кг/м³, ускорение свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\). Высоту колокола считать очень малой по сравнению с глубиной его погружения.

199.

Тонкостенную цилиндрическую бочку массой \(m\) = \(100\,\text{кг}\), высотой \(H = 1\,\text{м}\) и площадью основания \(S\) = \(0{,}5\,\text{м}^{2}\) переворачивают вверх дном и опускают в воду. На какой глубине \(d\) окажется нижний край бочки, когда она примет положение равновесия? Атмосферное давление \(p_a = 10^5\) Па, плотность воды \(\rho_{в} = 10^3\) кг/м³, ускорение свободного падения \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\). Считать, что бочка все время занимает вертикальное положение. Температура воды равна температуре воздуха.

200.

Тело массой \(m\) = \(1\,\text{кг}\), надетое на гладкий горизонтальный стержень, связано пружиной жесткостью \(k\) = \(10\,\text{Н/м}\) с неподвижной стенкой. Тело сместили на некоторое расстояние от положения равновесия и отпустили без начальной скорости. Через какое минимальное время \(t_{0}\) после начала движения тела его кинетическая энергия будет в \(n\) = 3 раза больше потенциальной энергии пружины?

201.

Лестница массой \(m\) = \(30\,\text{кг}\) удерживается в наклонном положении легкой нерастяжимой веревкой (см. рис.). Веревка привязана к лестнице в точке, отстоящей от верхнего конца лестницы на расстояние, равное \(\frac{1}{3}\) длины лестницы. Найти величину силы нормального давления \(N\) лестницы на пол, если лестница составляет с полом угол \(\alpha\) = \(45^{\circ}\), а веревка перпендикулярна лестнице. Центр тяжести лестницы находится посередине. Ускорение свободного падения принять равным \(g\) = \(10\,\text{м/с²}\).

202.

Стержень массой \(M = 28\,\text{кг}\) и длиной \(l\) = \(1{,}73\,\text{м}\) закреплен нижним концом на шарнире (см. рисунок). К верхнему концу стержня привязана легкая нерастяжимая веревка, перекинутая через блок, укрепленный на высоте \(H = 2\,\text{м}\) от шарнира на одной вертикали с ним. Найти массу \(m\) груза, который нужно подвесить на другом конце веревки, чтобы стержень находился в равновесии, составляя угол \(\alpha\) = \(30^{\circ}\) с вертикалью. Трением в шарнире и в блоке пренебречь. Диаметр блока считать очень малым.