1 Кинематика

1.

При движении тела вдоль оси \(X\) его координата зависит от времени по закону \(x(t)=60-15t\), где \(x\) измеряется в метрах, а \(t\) — в секундах. Найдите путь, пройденный телом за \(6\,\text{с}\).

2.

Катер, переправляясь через реку шириной \(L=800\,\text{м}\), двигался со скоростью \(v_1=4\,\text{м/с}\) перпендикулярно течению реки в системе отсчёта, связанной с водой. На какое расстояние \(s\) будет снесён катер течением, если скорость течения реки \(v_2=15\,\text{м/с}\)?

3.

При форсировании реки лодку ориентируют под углом \(\alpha=135^{\circ}\) к направлению течения. При этом траектория движения оказывается кратчайшей. Во сколько раз скорость лодки в стоячей воде больше скорости течения?

4.

Лодка движется под углом \(\alpha=60^{\circ}\) к берегу со скоростью \(v_1=2{,}0\,\text{м/с}\). Скорость течения реки \(v_2=0{,}5\,\text{м/с}\). Определите скорость движения лодки относительно воды.

5.

Лодка держит курс под углом \(\alpha=60^{\circ}\) к берегу, но движется под углом \(\beta=45^{\circ}\) к берегу. Скорость течения реки \(v=0{,}5\,\text{м/с}\). Определите скорость лодки относительно воды.

6.

Лодка движется под углом \(\alpha = 30\)\(^{\circ}\) к берегу, но держит курс в направлении, которое составляет угол \(\beta = 30^{\circ}\) с направлением движения. Скорость течения реки \(v = 0{,}5\,\text{м/с}\). Какова скорость движения лодки относительно берега?

7.

В заднюю стенку башни танка, идущего со скоростью \(v = 72\,\text{км/ч}\), ударяется горизонтально летящая со скоростью \(v_{0} = 750\,\text{м/с}\) пуля и упруго отскакивает от нее (рис.). С какой скоростью полетит отскочившая пуля? Стенка наклонена к вертикали под углом \(\varphi = 30^{\circ}\).

8.

Электронный луч формирует изображение на экране телевизора, перемещаясь по экрану электронно-лучевой трубки (кинескопа). При создании одного изображения (кадра) размером \(L = 36\) см по горизонтали и \(H = 24\,\text{см}\) по вертикали луч прочерчивает на экране \(N = 625\) горизонтальных строк. Средняя скорость движения луча по вертикали \(v = 6\) м/с. С какой скоростью перемещается светящееся пятно по горизонтальной строке экрана? Временем обратного хода луча пренебречь.

9.

Стержень длиной \(l = 1\,\text{м}\) опирается на пол и на стену. Нижний конец стержня скользит по полу, удаляясь от стены, а верхний скользит по стене вниз. Найдите путь, пройденный точкой \(C\), лежащей на середине стержня, при движении стержня от вертикального до горизонтального положения.

10.

Зависимость проекции скорости точки на ось \(x\) от времени задана графиком, приведенным на рисунке. Найдите величину средней скорости точки за один период.

11.

Двигаясь равноускоренно, тело проходит за промежуток времени \(t_{1} = 4\,\text{с}\) путь \(S_{1} = 2\,\text{м}\). а за следующий промежуток \(t_{2} = 5\,\text{с}\) – путь \(S_{2} = 4\,\text{м}\). Определить ускорение тела.

12.

Пассажир поезда, движущегося равномерно со скоростью \(v_{1} = 54\,\text{км/ч}\), видит в течение промежутка времени \(t_{0}\)\(=\)60 c другой поезд длиной \(l = 300\,\text{м}\), который движется по соседнему пути в том же направлении с большей скоростью. Найдите скорость \(v_{2}\) второго поезда.

13.

В течение времени \(t_{1} = 5\,\text{ч}\) поезд двигался со скоростью \(v_{1} = 60\,\text{км/ч}\), а затем в течение времени \(t_{2} = 4\,\text{ч}\) – со скоростью \(v_{2} = 15\,\text{км/ч}\). Найдите среднюю скорость поезда <\(v\)> за все время движения.

14.

Одну пятую часть пути автомобиль ехал со скоростью \(v_{1} = 40\,\text{км/ч}\), а оставшийся путь – со скоростью \(v_{2} = 60\,\text{км/ч}\). Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути.

15.

Корабль плывет на юг со скоростью \(v_{1} = 42{,}3\,\text{км/ч}\). Заметив в море катер, наблюдатель, находящийся на палубе корабля, определил, что катер движется на северо-восток со скоростью \(v_{2} = 30\,\text{км/ч}\). Какова скорость катера и в каком направлении он идет?

16.

Корабль движется на север со скоростью \(v\). Ветер дует с северо-запада под углом \(\alpha\) к параллели. Скорость ветра, измеренная на корабле, равна \(u.\)Найдите скорость ветра относительно земли.

17.

Два тела двигаются с постоянными скоростями по взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого тела \(v_{1} = 30\,\text{м/с}\), второго – \(v_{2} = 20\,\text{м/с}\). В тот момент, когда расстояние между телами наименьшее, первое тело находится на расстоянии \(s_{1} = 500\,\text{м}\) от точки пересечения прямых. На каком расстоянии \(s_{2}\) от точки пересечения прямых находится в этот момент второе тело?

18.

Пловец переплывает реку шириной \(L\) по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время \(t_{1} = 4\,\text{мин}\). Проплывая такое же расстояние \(L\) вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время \(t_{2} = 5\,\text{мин}\). Во сколько раз \(\alpha\) скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

19.

Шарик пренебрежимо малой массы начинает скольжение в горизонтальной плоскости от неподвижной доски \(A\) со скоростью \(v = 2\,\text{м/с}\) под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к ней. Доска \(B\), параллельная доске \(A\), движется перпендикулярно плоскости доски с некоторой скоростью \(U\). Найти \(U\), если время движения шарика от доски \(A\) до встречи с доской \(B\) в \(k\) = 2 раза превышает время его движения обратно. Удар шарика о доску \(B\) считать упругим. Трением пренебречь.

20.

Первую половину времени автомобиль двигался со скоростью \(v_{1}\), а вторую – следующим образом: половину оставшегося расстояния он ехал со скоростью \(v_{2}\), а вторую половину оставшегося расстояния со скоростью, равной средней скорости движения на двух предыдущих участках. Определите среднюю скорость <\(v\)> автомобиля за все время его движения. Автомобиль движется прямолинейно в одном направлении.

21.

Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью \(v_{1}\), а вторую половину пути – следующим образом: половину времени, оставшегося на прохождение этой половины пути, он ехал со скоростью \(v_{2}\), а конечный отрезок всего пути с такой скоростью, что она оказалась равной средней скорости движения на первых двух участках. Чему равна средняя скорость <\(v\)> автомобиля на всем пути? Автомобиль движется прямолинейно в одном направлении.

22.

Из двух портов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми равно \(L\), одновременно выходят два катера, один из которых плывет со скоростью \(v_{1}\), а второй – со скоростью \(v_{2}\). Направление движения первого катера составляет угол \(\alpha\), а второго – угол \(\beta\) с линией \(AB\) (см. рис.). Каким будет наименьшее расстояние \(S\) между катерами?

23.

Стержень \(AB\),ориентированный вдоль оси \(x\)\(,\) движется с постоянной скоростью \(v = 0,1\) \(\,\text{м/с}\) в положительном направлении оси. Передним концом/стержня является точка \(A\)\(,\)задним – точка \(B\)\(.\) Найдите длину стержня, если в момент времени \(t_{A} = 10\,\text{с}\) координата точки \(А\)равна \(х_{А} = 3\,\text{м}\), а в момент \(t_{B} = 30\,\text{с}\) координата точки \(В\)равна \(х_{в} = 4{,}5\,\text{м}\).

24.

На поверхности стола находится вертикальный цилиндр радиусом \(R\)\(,\)на который намотана длинная невесомая нерастяжимая нить. К концу свободного куска нити, длина которого \(l_{0}\), привязано тело. Телу сообщают скорость \(v\), направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает сматываться с цилиндра (рис., вид сверху). Найдите время, за которое длина свободного куска нити увеличится вдвое. Трение отсутствует.

25.

Кусок мела движется с постоянной скоростью \(v\), касаясь верхней части ленты транспортёра. При какой наименьшей встречной скорости ленты \(u\) след мела на ней окажется замкнутым? Расстояние между осями шкивов транспортёра \(L\), а радиусы шкивов \(R\).

26.

По графику зависимости скорости от времени (рис.) определите среднюю скорость движения тела на первой половине пути.

27.

Два тела движутся вдоль оси \(X\)\(.\) На рисунке приведены графики зависимости проекций скоростей этих тел на ось \(Х\)от времени. \(а\)) Определите ускорения \(a_{1}\) и \(a_{2}\) тел. \(б\)) Какое расстояние \(L\) было между телами в момент времени \(t = 0\), если минимальное расстояние между ними при таком движении составило \(L_{min} = 30\,\text{м}\)?

28.

Тело движется равноускоренно на некотором отрезке пути, увеличивая свою скорость от \(1\,\text{м}\), с до \(7\,\text{м/с}\). Найдите скорость тела в середине этого отрезка.

29.

Автомобиль, двигавшийся со скоростью \(20\,\text{м/с}\), начинает тормозить и останавливается, проехав расстояние \(40\,\text{м}\). Сколько времени автомобиль тормозил, если его ускорение было постоянным?

30.

Начав движение с места, за первые \(t\) секунд автомобиль прошел путь \(s\)\(.\) Какую скорость набрал автомобиль, если он двигался равноускоренно?

31.

Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло расстояние \(s\) за время \(\tau\). Какую скорость имело тело в тот момент времени, когда оно прошло расстояние \(s\)/\(n\)?

32.

Автомобиль трогается с места, в течение \(8\,\text{с}\) равноускоренно разгоняется и, набрав скорость \(50\,\text{м/с}\), затем движется с постоянной скоростью. Через какое время автомобиль окажется на расстоянии \(1\,\text{км}\) от начальной точки?

33.

Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через \(4\,\text{с}\) после начала движения достиг скорости \(8\,\text{м/с}\). Какой путь прошел автомобиль за четвертую секунду движения?

34.

За четвертую секунду равноускоренного движения тело проходит путь \(4\,\text{м}\) и останавливается. Какой путь оно прошло за вторую секунду?

35.

За две секунды движения тело прошло путь \(20\,\text{м}\), при этом его скорость, не меняя направления, увеличилась в \(3\) раза по сравнению с первоначальной. Каково было ускорение тела?

36.

Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через \(4\,\text{с}\) после начала движения достиг скорости \(8\,\text{м/с}\). Какой путь прошел автомобиль за четвертую секунду движения?

37.

Тело начинает движение из точки \(A\) и движется сначала равноускоренно в течение времени \(t_{0}\), затем/с тем же по величине ускорением равнозамедленно. Через какое время \(t\) от начала движения тело вернется в точку \(A\)? Начальная скорость тела равна нулю.

38.

Точка движется вдоль оси \(x\) со скоростью, проекция которой \(v_{x}\) как функция времени представлена на рисунке. Определите путь, пройденный точкой за первые пять секунд.

39.

Точка начинает двигаться по оси \(x\) по закону \(x=5+4t-2t^2\), где \(x\) измеряется в метрах, а \(t\) — в секундах. На каком расстоянии от начала координат скорость точки будет равна нулю?

40.

Тело движется прямолинейно с постоянным ускорением, отличным от нуля. За первую секунду движения тело прошло такой же путь \(s = 5\) м, что и за вторую секунду. Определите начальную скорость тела.

41.

Тело, двигаясь прямолинейно и равнозамедленно, прошло за два одинаковых последовательных промежутка времени \(\tau = 2\,\text{с}\) пути \(s_{1} = 26\,\text{м}\) и \(s_{2} = 10\) м. Определите величину \(a\) ускорения тела.

42.

Легковой автомобиль движется прямолинейно со скоростью \(v_{1} = 72\,\text{км/ч}\) за грузовиком, скорость которого \(v_{2} = 54\,\text{км/ч}\). Когда расстояние между автомобилями составило \(L = 15\,\text{м}\), легковой автомобиль начал тормозить с ускорением \(a = 2{,}5\,\text{м/с}\)\(^{2}\) и остановился. Найдите минимальное расстояние \(L_{min}\) между автомобилями при их движении.

43.

По гладкой наклонной плоскости пустили снизу вверх маленький шарик. На расстоянии \(l = 50\) см от точки старта он побывал дважды: через \(t_{1} = 1\) с и \(t_{2} = 2\) c после начала движения. Какова была начальная скорость шарика?

44.

Чтобы забрать свой багаж в аэропорту, турист стал у начала багажной ленты, движущейся равномерно со скоростью, модуль которой \(v_{\text{л}} = 0{,}5\) м/с. Спустя время \(t = 4\) с после появления багажа в начале ленты турист заметил свой багаж и начал догонять его, двигаясь равномерно. Если турист забрал багаж, пройдя вдоль ленты расстояние \(L = 7\) м, то модуль скорости \(v_{\text{т}}\) туриста был равен … дм/с.

45.

Автомобиль тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Торможение заняло \(4\,\text{с}\), а тормозной путь составил \(20\,\text{м}\). Какова была скорость автомобиля на середине тормозного пути?

46.

Трамвай тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Найдите тормозной путь трамвая, если торможение заняло \(5\,\text{с}\), а скорость трамвая на середине тормозного пути была \(4\,\text{м/с}\).

47.

Электричка тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Тормозной путь составил \(50\,\text{м}\), а скорость на середине тормозного пути была \(10\,\text{м/с}\). Сколько времени продолжалось торможение?

48.

Автобус тормозит с постоянным ускорением \(1\,\text{м/с}\)\(^{2}\) до полной остановки. Определите тормозной путь, если его вторая половина была пройдена за \(5\,\text{с}\).

49.

Проехав «лежачего полицейского» со скоростью \(v_{0} = 5\) км/ч, автомобиль, двигаясь далее прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля. На расстоянии \(S_{1} = 30\,\text{м}\) от «полицейскою» автомобиль достиг скорости \(v_{1} = 20\) км/ч. На каком расстоянии от «полицейского» у автомобиля будет скорость \(v_{2} = 30\,\text{км/ч}\)? Сопротивлением движению пренебречь.

50.

По прямолинейной горизонтальной дороге движется автомобиль со скоростью \(v_{1} = 140\,\text{км/ч}\). На расстоянии \(S_{1} = 500\,\text{м}\) от перекрёстка водитель выключил передачу и на расстоянии \(S_{2} = 400\,\text{м}\) от перекрёстка скорость автомобиля упала до \(v_{2} = 120\,\text{км/ч}\). На каком расстоянии от перекрёстка скорость автомобиля станет \(v_{3} = 90\,\text{км/ч}\)? Считать, что сила сопротивления движению автомобиля пропорциональна его скорости. Кинетической энергией вращения колес пренебречь.

51.

Автомобиль при разгоне, двигаясь прямолинейно по горизонтальной дороге, увеличивает свою скорость таким образом, что сила тяги, развиваемая двигателем, оказывается пропорциональной скорости автомобиля. Пройдя путь \(S_{1} = 20\) м, автомобиль увеличил скорость с \(v_{1} = 4\) км/ч до \(v_{2} = 12\) км/ч. До какой скорости разгонится автомобиль, пройдя ещё \(S_{2} = 30\,\text{м}\)? Сопротивлением движению пренебречь.

52.

Лодку оттолкнули от берега озера, сообщив ей скорость \(v_{0} = 1\,\text{м/с}\). Лодка, двигаясь прямолинейно, имела на расстоянии \(S_{1} = 14\) м от берега скорость \(v_{1} = 0,3\,\text{м/с}\). На каком расстоянии от берега скорость лодки была \(v = 0{,}5\,\text{м/с}\)? Считать, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна её скорости.

53.

По двускатной крыше вдоль поверхности \(AB\) соскальзывает сосулька (рис.). Какова скорость сосульки \(v_{0}\) в момент отрыва от поверхности \(AB\)\(,\) если расстояние от точки \(B\) до точки соударения с поверхностью крыши \(BC\) равно \(l\), а скорость сосульки перед соударением в \(n\) раз больше \(v_{0}\)? Считать угол \(\alpha\) известным, сопротивлением воздуха пренебречь.

54.

Расстояние между двумя железнодорожными станциями, равное \(s = 18\,\text{км}\), поезд проходит за время \(t = 20\,\text{мин}\). Первые \(t_{1} = 5\,\text{мин}\) он идет равноускоренно (без начальной скорости), а затем – равнозамедленно, пока не остановится. Определите ускорение поезда на пути разгона.

55.

Вдоль наклонной плоскости скользит брусок. Некоторый участок \(AB\) он проходит, двигаясь равнопеременно, со средней скоростью \(v_{0}\), причем в точке \(A\) его скорость на \(\Delta\)\(v\) меньше, чем в точке \(B\). Найти скорость бруска в точке \(C\), расположенной между точками \(A\) и \(B\) и отстоящей от точки \(A\) на 1/\(n\) часть длины участка \(AB\).

56.

Зависимость модуля скорости \(v_{1}\) первого тела от времени \(t\) изображается дугой полуокружности \(AMB\) (рис.). За время \(t_{1}\) это тело прошло тот же путь, что и второе тело, двигавшееся с постоянной скоростью \(v_{2} = 50\,\text{м/с}\). Найдите начальную скорость \(v_{0}\) первого тела.

57.

Пассажир метрополитена наблюдает отправление поезда. Находясь на платформе у головы поезда (у первого вагона), он замечает, что с момента отправления поезда этот вагон прошел мимо него за время \(t_{1} = 5\,\text{с}\). Считая движение поезда равноускоренным, найти, за какое время \(t_{2}\) мимо пассажира пройдет второй вагон.

58.

В момент, когда опоздавший пассажир вышел на перрон вокзала, с ним поравнялось начало предпоследнего вагона уходящего поезда. Желая определить, на сколько он опоздал, пассажир измерил время \(t_{1}\), за которое мимо него прошел предпоследний вагон, и время \(t_{2}\), за которое мимо него прошел последний вагон. Оказалось, что \(t_{1} = 9\,\text{с}\), а \(t_{2} = 8\,\text{с}\). Считая, что поезд двигался равноускоренно и длина вагонов одинакова, найти, на какое время \(t\) пассажир опоздал к отходу поезда.

59.

Пуля, летящая со скоростью \(v = 400\,\text{м/с}\), попадает в земляной вал и проникает в него на расстояние \(l = 20\,\text{см}\). Какова скорость \(v_{1}\) пули на расстоянии от поверхности земли, равном \(l_{1} = 10\,\text{см}\)? Силу сопротивления, действующую на пулю в земле, считать постоянной.

60.

Пассажир, стоящий на перроне, заметил, что первый вагон электропоезда, приближающегося к станции, прошел мимо него в течение \(t_{1} = 4\,\text{с}\), а второй – в течение \(t_{2} = 5\,\text{с}\). Определить ускорение поезда \(а\), если передний конец поезда остановился на расстоянии \(L = 75\,\text{м}\) от пассажира. Движение поезда считать равнозамедленным.

61.

Нарушитель правил дорожного движения промчался на автомобиле мимо поста ГАИ со скоростью \(v_{1} = 108\,\text{км/ч}\). Спустя \(t_{1} = 20\,\text{с}\) вслед за нарушителем отправился на мотоцикле инспектор ГАИ и, разгоняясь равноускоренно в течение \(t_{2} = 40\,\text{с}\), набрал скорость \(v_{2} = 144\,\text{км/ч}\). На каком расстоянии \(S\) от поста ГАИ инспектор догонит нарушителя, двигаясь после разгона со скоростью \(v_{2}\)?

62.

Поезд при подходе к платформе начинает тормозить и останавливается, пройдя путь \(S = 75\,\text{м}\). Найдите начальную скорость поезда, если за предпоследнюю секунду он прошел расстояние \(l = 2{,}25\,\text{м}\). Движение поезда равнозамедленное.

63.

Мотоциклист за время \(t = 2\,\text{с}\) прошел первую половину тормозного пути. Считая силу торможения постоянной, найдите время, необходимое мотоциклисту для полной остановки.

64.

Два тела скользят навстречу друг другу по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол \(\alpha = 2\) × 10\(^{–4}\) рад. В момент, когда расстояние между ними \(S = 130\,\text{см}\), скорость тела, движущегося вверх, составляет \(v_{1} = 5\,\text{см/с}\), а скорость тела, движущегося вниз – \(v_{2} = 1{,}5\,\text{см/с}\). Какие пути \(S_{1}\) и \(S_{2}\) пройдут тела до места встречи? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\), трением тел о плоскость пренебречь.

65.

Узнав о готовящемся нападении неприятеля, решетку ворот замка начали опускать с постоянной скоростью \(u = 0\), \(2\,\text{м/с}\). Мальчик, игравший на расстоянии \(l = 20\,\text{м}\) от ворот, в тот же момент бросился бежать к воротам. Сначала он двигался равноускорено, а затем, набрав максимальную скорость \(v_{0} = 2{,}5\,\text{м/с}\), равномерно. С каким минимальным ускорением \(a_{min}\) мог разгоняться мальчик, чтобы успеть пробежать под решеткой ворот в полный рост, если в начальный момент нижний край решетки находился на расстоянии \(Н = 3\,\text{м}\) от поверхности земли? Рост мальчика \(h = 1\,\text{м}\).

66.

Тело падает без начальной скорости и достигает поверхности земли через \(4\,\text{с}\). С какой высоты падало тело? Сопротивлением воздуха пренебречь.

67.

Камень, брошенный с поверхности земли вертикально вверх, упал на землю через \(T = 2\) с. Определите путь \(s\)\(,\)пройденный камнем за время \(\tau = 1{,}5\,\text{с}\) после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

68.

С высоты \(12\,\text{м}\) брошен мяч вертикально вверх со скоростью \(2\,\text{м/с}\). На какой высоте окажется мяч через \(1\,\text{с}\)?

69.

Мяч брошен с некоторой высоты вертикально вниз со скоростью \(4{,}5\,\text{м/с}\). Найдите среднюю скорость движения мяча за первые пять секунд движения. Ускорение свободного падения \(9{,}8\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

70.

Глубину колодца хотят измерить с относительной погрешностью 5 %, бросая камень и измеряя время \(\tau\), через которое будет слышен всплеск. Начиная с каких значений \(\tau\) необходимо учитывать время распространения звука? Скорость звука в воздухе \(u = 340\,\text{м/с}\).

71.

Из лука выпускают две стрелы вертикально вверх; начальные скорости стрел отличаются в \(2\) раза. Во сколько раз отличаются максимальные высоты, на которые поднимутся стрелы? Сопротивлением воздуха пренебречь.

72.

Тело свободно падает с высоты \(H = 90\,\text{м}\). Какова средняя скорость тела на второй трети пути? \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

73.

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью \(v_{0}\). Какую скорость \(v\) приобретет тело за время, равное половине времени подъема в высшую точку траектории?

74.

Один мячик сбрасывают без начальной скорости с высоты \(H = 15\,\text{м}\) и одновременно вертикально вверх вдоль той же прямой бросают с поверхности Земли другой мячик со скоростью \(v_{0}\) \(=\) \(10\,\text{м/с}\). На какой высоте они столкнутся? \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

75.

Какова средняя скорость свободно падающего тела в течение третьей секунды движения? \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

76.

Дымовая шашка падает вертикально с высоты \(H_{0}\) с нулевой начальной скоростью. Дым/сносится ветром, который дует горизонтально на всех высотах с постоянной скоростью \(v_{0}\). На сколько будет снесен относительно вертикальной траектории шашки на высоте \(h\) над поверхностью Земли в момент падения шашки на земли? Ускорение свободного падения \(g\).

77.

Тело отпустили на высоте \(H\) над полом. Определите время пролёта телом участка от высоты \(h\) над полом до пола. Ускорение свободного падения \(g\).

78.

Капля, падающая вертикально, пролетает мимо окна высоты \(h\) за время \(t\). Найдите её скорости при пролёте мимо нижнего и верхнего края окна. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\).

79.

Два камня брошены из одной точки с одинаковыми скоростями: один – вертикально вверх, другой – вертикально вниз. Они упали на землю с интервалом времени \(\tau\). С какой скоростью были брошены камни? Сопротивление воздуха не учитывать.

80.

Из одной точки на высоте \(h\) от поверхности земли брошены с одинаковыми скоростями камень \(A\) вертикально вверх и камень \(B\) вертикально вниз. Известно, что камень \(A\) достиг верхней точки своей траектории одновременно с падением камня \(B\) на землю. Какой максимальной высоты, считая от поверхности земли, достиг камень \(A\). Сопротивление воздуха не учитывать.

81.

Осколки от разорвавшегося на некоторой высоте снаряда полетели во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок \(A\)\(,\) полетевший вертикально вверх, упал на землю через время \(t_{1}\), а горизонтально полетевший осколок \(B\) – через время \(t_{2}\). Какое расстояние по горизонтали пролетел осколок \(B\)? Сопротивление воздуха не учитывать.

82.

Массивная плита поднимается с постоянной скоростью вертикально вверх. По направлению к плите движется шарик, имеющий непосредственно перед ударом/скорость \(v_{0}\), направленную под углом \(\alpha\)(sin\(\alpha = 2\)/3) к вертикали. После абсолютно упругого удара о гладкую горизонтальную поверхность плиты шарик отскакивает со скоростью, составляющей угол \(\gamma\) (sin\(\gamma = 1\)/3) с вертикалью.

1) Найдите скорость отскочившего шарика.

2) Найдите скорость плиты. Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.

83.

По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит брусок и ударяет своей гладкой вертикальной гранью \(AB\) по шарику, скользящему по столу навстречу бруску (на рисунке показан вид сверху). Скорость бруска составляет угол \(\alpha = 60^0\) с гранью \(AB\). После абсолютно упругого удара шарик отскочил со скоростью \(v\) под углом \(\beta = 45^0\) к направлению движения бруска. Масса шарика намного меньше массы бруска.

1) Найдите скорость шарика перед ударом.

2) Найдите скорость бруска.

Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.

84.

Массивная плита поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью. Плиту догоняет шарик, имеющий непосредственно перед ударом/скорость, направленную под углом \(\beta\) (cos\(\beta = 1\)/3) к горизонту. После абсолютно упругого удара о гладкую горизонтальную поверхность плиты шарик отскакивает со скоростью \(v\)\(,\) составляющей угол \(\varphi\)(cos\(\varphi = 3\)/4) с горизонтом, как показано на рисунке.

1) Найдите скорость шарика перед ударом о плиту.

2) Найдите скорость плиты.

Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.

85.

Шарик скользит по гладкой горизонтальной поверхности стола, нагоняет скользящий по столу в том же направлении брусок, ударяется абсолютно упруго о гладкую вертикальную грань \(CD\) бруска и отскакивает со скоростью \(v\)под углом \(\beta = 45^{\circ}\) к направлению движения бруска (на рисунке показан вид сверху). Скорость бруска составляет угол \(\gamma\) \(=\)30° с гранью \(CD\). Масса шарика намного меньше массы бруска.

1) Найдите скорость шарика перед ударом.

2) Найдите скорость бруска.

Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.

86.

С балкона вертикально вверх бросают мяч. Через время \(\tau\) скорость летящего вверх мяча уменьшается на \(20\) %. С какой высоты был произведён бросок, если в момент удара о землю скорость мяча в два раза превышала начальную? Сопротивление воздуха не учитывать.

87.

Мяч, брошенный с поверхности земли почти вертикально вверх, через некоторое время упал на балкон со скоростью, вдвое меньшей начальной. На какой высоте над землёй находилась точка падения, если за время \(\tau\) после броска скорость летящего вверх мяча уменьшается на \(25\) %. Сопротивление воздуха не учитывать.

88.

С балкона вертикально вверх бросают камень. Через время \(\tau\) скорость летящего вверх камня уменьшается на \(10\) %. С какой высоты был произведён бросок, если максимальная высота подъёма камня над поверхностью земли вдвое больше начальной? Сопротивление воздуха не учитывать.

89.

Камень, брошенный с поверхности земли почти вертикально вверх, через некоторое время упал на балкон. За время \(\tau\) после броска скорость летящего вверх камня уменьшается на \(25\) %. На какой высоте над землёй находилась точка падения, если максимальная высота подъёма камня над поверхностью земли вдвое больше? Сопротивление воздуха не учитывать.

90.

Парашютист покидает гондолу свободно летящего аэростата на высоте \(h_{0} = 250\,\text{м}\). Первые \(h_{1} = 50\,\text{м}\) он падает свободно, а затем, раскрыв парашют, опускается с постоянной скоростью \(v_{0} = 4\,\text{м/с}\). На каком расстоянии \(S\) от места прыжка (по горизонтали) приземлится парашютист? Скорость ветра \(v_{1} = 2\,\text{м/с}\) не зависит от высоты.

91.

Ракета, запущенная в вертикальном направлении с земли, движется с постоянным ускорением |\(2g\)| в течение \(t = 50\,\text{с}\). Затем двигатели мгновенно выключают. Определить максимальную высоту подъема ракеты. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать, что |\(g\)| = \(10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

92.

Двигатель ракеты, запущенной с поверхности Земли вертикально вверх, сообщает ей постоянное ускорение \(a = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\). С какой скоростью ракета упадет на Землю, если двигатель проработал \(t = 22\,\text{с}\)? Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

93.

В кабине лифта высотой \(Н = 2{,}5\,\text{м}\), движущейся с ускорением \(а = 0{,}8\,\text{м/с}\)\(^{2}\), направленным вниз, с высоты \(h = 0{,}5\,\text{м}\) от пола вертикально вверх бросают маленький шарик. С какой начальной скоростью \(v_{0}\) относительно лифта брошен шарик, если после броска он поднялся точно до потолка кабины?

94.

Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найти максимальное расстояние \(S_{max}\) между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков \(v_{0} = 5\,\text{м/с}\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\). Сопротивлением воздуха пренебречь.

95.

Ракета запущена вертикально вверх с поверхности Земли и на участке разгона имела постоянное ускорение \(a = 19{,}6\,\text{м/с}\)\(^{2}\). Какое время \(t_{0}\) падала ракета с ускорением \(g = 9{,}8\,\text{м/с}\)\(^{2}\) после достижения наибольшей в полете высоты, если на участке разгона движение продолжалось в течение времени \(t = 1\,\text{мин}\)?

96.

Подъемный кран опускает бетонную плиту с постоянной скоростью \(v = 1\,\text{м/с}\). Когда плита находилась на расстоянии \(h = 4\,\text{м}\) от поверхности земли, с нее упал небольшой камень. Каков промежуток времени \(t\) между моментами, в которые камень и плита достигли земли? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\), толщиной плиты по сравнению с \(h\) пренебречь.

97.

Ракета запущена вертикально вверх и во время работы двигателя имела постоянное ускорение \(a = 5\)\(g\). Спустя \(t_{0} = 1\,\text{мин}\) после старта двигатель ракеты отключился. Через какое время \(t\) после отключения двигателя ракета упала на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.

98.

Шарик бросают вертикально вверх со скоростью \(v_{0} = 5\,\text{м/с}\). Пролетев расстояние \(h = 1{,}05\,\text{м}\), он упруго ударяется о потолок и падает вниз. Через какое время \(\tau\) после начала движения шарик упадет на пол, если расстояние от пола до потолка \(H = 2{,}25\,\text{м}\)? Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

99.

Два тела начали падать с одной и той же высоты с интервалом \(t_{0} = 5\,\text{с}\). Через какое время \(t\) после начала падения второго тела расстояние между телами будет \(d = 200\,\text{м}\)? Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\), сопротивление воздуха не учитывать.

100.

Легкий маленький шарик роняют без начальной скорости. Когда шарик пролетает по вертикали расстояние \(h\), он ударяется о тяжелую горизонтальную доску, движущуюся вертикально вверх с постоянной скоростью. После упругого удара о доску шарик подлетает вверх на высоту \(nh\) от точки соударения. С какой скоростью \(u\) двигалась доска? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\).

101.

Из окна, расположенного на высоте \(20\,\text{м}\) от земли, горизонтально брошен камень, упавший на расстоянии \(8\,\text{м}\) от дома. С какой скоростью был брошен камень?

102.

Тел брошено горизонтально. Через \(3\,\text{с}\) после броска угол между направлением полной скорости и направлением полного ускорения стал равным \(60^{\circ}\). Определите величину полной скорости тела в этот момент времени.

103.

С какой горизонтальной скоростью \(v_{0}\) нужно бросить камень с вершины горы, склон которой образует угол \(\alpha\) с горизонтом, чтобы он упал на склон горы на расстоянии \(L\) от вершины? Ускорение свободного падения \(g\)\(.\)Сопротивлением воздуха пренебречь.

104.

С края горизонтального стола с начальной скоростью \(v\)слетает шарик. Через какое время величина его скорости увеличится на \(1/4\) начальной скорости? Ускорение свободного падения \(g\)\(.\)

105.

С обрыва в горизонтальном направлении бросают камень со скоростью \(v_{0} = 20\,\text{м/с}\). Определите координаты точки, в которой радиус кривизны траектории в \(8\) раз больше, чем в ее верхней точке. Камень бросают из начала координат в направлении оси \(Ox\), ось \(Oy\) направлена вертикально вниз.

106.

Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью \(v_{0}\), упало на землю на расстоянии от основания башни в два раза большем, чем ее высота. Найдите высоту башни \(H\).

107.

Две ступеньки, возвышающиеся над горизонтальной плоскостью, имеют одинаковую высоту \(h\) и находятся на расстоянии \(L\) одна от другой (рис.). На краю одной ступеньки лежит маленький шарик. Тело, масса которого много больше массы шарика, налетает на шарик, соударяется с ним и сталкивает его со ступеньки. Какую скорость должно иметь тело, чтобы шарик после одного подскока от горизонтальной плоскости попал на вторую ступеньку? Все соударения абсолютно упругие. Сопротивление воздуха не учитывать.

108.

Из одной точки над поверхностью земли вылетают одновременно две частицы с горизонтальными и противоположно направленными скоростями \(v_{1} = 4\,\text{м/с}\) и \(v_{2} = 9\,\text{м/с}\). Через какое время угол между направлениями скоростей этих частиц станет 90\(^{\circ}\)? Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

109.

Снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за время \(t_{1}\). Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через время \(t_{2}\). Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать.

110.

Тело бросают с поверхности земли, его начальная скорость направлена под углом \(30^{\circ}\) к горизонту. Найдите дальность броска \(L\), если в полете тело поднималось на максимальную высоту \(h\) над землей. Сопротивлением воздуха пренебречь.

111.

Стальной шарик свободно падает с высоты \(H = 10\,\text{см}\) на плиту, наклоненную под углом \(\alpha = 30^0\)к линии горизонта, и испытывает абсолютно упругий удар. Определить расстояние от места \(1\)-го до места \(2\)-го удара шарика о плиту.

112.

Из некоторой точки горы с углом наклона к горизонту \(30^{\circ}\) бросают горизонтально мяч с начальной скоростью \(30\,\text{м/с}\). На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости упадет мяч?

113.

Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты \(5\,\text{м}\). Найдите полное время полета камня.

114.

Тело брошено горизонтально со скоростью, модуль которой \(v_0=10\) м/с, с некоторой высоты \(H\). Если отношение дальности полета тела по горизонтали к высоте \(\dfrac{L}{H}=1{,}0\), то высота \(H\) равна … м.

115.

Камень, брошенный под углом к горизонту, находился в полете \(4\,\text{с}\). Какой наибольшей высоты достиг камень?

116.

Два тела брошены у поверхности Земли с одинаковыми начальными скоростями под углами \(\alpha\) и \(90^0 – \alpha\) к горизонту. Найдите отношение наибольшей высоты подъема первого тела \(H_{1max}\) к соответствующей величине \(H_{2max}\) для второго тела.

117.

Тело брошено с отвесного обрыва высотой \(H\) с начальной скоростью \(v_{0}\) под углом \(\alpha\) к горизонту. В течение какого времени \(t\) оно будет находиться в воздухе?

118.

Камень, брошенный с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, достиг наибольшей высоты \(H = 20\) м. Найдите время подъема \(t\)в высшую точку траектории. Считать \(g = 10\) м/с\(^{2}\).

119.

Камень, брошенный с поверхности земли с начальной скоростью \(v_{0}\) под некоторым углом к горизонту, достиг наибольшей высоты \(H\) над Землей. Определите угол \(\alpha\), под которым была направлена скорость камня к горизонту в момент броска.

120.

Небольшое тело скользит со скоростью \(v = 10\,\text{м/с}\) по горизонтальной плоскости, приближаясь к щели. Щель образована двумя отвесными параллельными стенками, находящимися па расстоянии \(d = 5\) см друг от друга. Глубина щели \(H = 1\) м. Определить, сколько раз ударится тело о стенки, прежде чем упадет на дно. Удар о стенку считать абсолютно упругим.

121.

Два тела одновременно начинают двигаться из одной точки в поле силы тяжести с одинаковыми по абсолютным значениям/скоростями, равными \(v_{0} = 2\,\text{м/с}\). Одна из скоростей направлена под углом \(\alpha\)\(_ {1} = \pi\)/4, а другая – под углом \(\alpha\)\(_ {2}\) = –\(\pi\)/4 к горизонту. Определить относительную скорость этих тел через время \(t = 2\,\text{с}\) после начала движения.

122.

С вышки высотою \(h = 10\,\text{м}\) в горизонтальном направлении слева направо бросают камень со скоростью \(v_{01} = 23\,\text{м/с}\). Одновременно с поверхности земли под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту справа налево бросают второй камень со скоростью \(v_{02} = 20\,\text{м/с}\). На каком расстоянии \(l\) от основания вышки бросили второй камень, если камни столкнулись в воздухе?

123.

Тело, находящееся на наклонной плоскости с углом наклона \(\alpha\), бросили под углом \(\beta\) к горизонту с начальной скоростью \(v_{0}\) (рис.). Найдите расстояние между точкой бросания и точкой падения тела на плоскость.

124.

Мальчик в состоянии сообщить мячу начальную скорость \(v_{0} = 20\,\text{м/с}\). Какова максимальная дальность полета мяча в спортивном зале, высота которого \(h = 5\,\text{м}\)?

125.

Шарик бросают под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту с начальной скоростью \(v_{0} = 14\,\text{м/с}\). На расстоянии \(S = 11\,\text{м}\) от точки бросания шарик упруго ударяется о вертикальную стенку. На каком расстоянии \(L\) от стенки шарик упадет на землю?

126.

На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом \(45^{\circ}\) к вертикали со скоростью \(v\): одно вверх, другое вниз. Определите разность высот \(H\), на которых будут тела через время \(t\). Тела движутся в одной плоскости.

127.

Необходимо с земли перебросить мяч через вертикальную стенку высоты \(h\), находящуюся на расстоянии \(S\) от места броска. При какой наименьшей начальной скорости \(v_{0}\) это возможно? Под каким углом \(\alpha\) к горизонту должна быть в этом/случае направлена начальная скорость мяча?

128.

Камень, брошенный с поверхности земли под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту, дважды побывал на одной и той же высоте \(h\)спустя время \(t_{1} = 3\,\text{с}\) и \(t_{2} = 5\) с после начала движения. Найдите начальную скорость камня \(v_{0}\). Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

129.

Два камня брошены из одной точки под различными углами к горизонту со скоростями \(v_{1}\) и \(v_{2}\), как показано на рисунке. Во сколько раз отличаются горизонтальные дальности их полета? Сопротивлением воздуха пренебречь.

130.

Тело брошено со скоростью \(v_{0} = 150\,\text{м/с}\) под углом \(\alpha = 70,5^0\) к горизонту. За полетом тела наблюдают в оптическую трубу, установленную в точке бросания, при этом ось трубы в любой момент направлена на движущееся тело. Через какое время вектор скорости тела будет перпендикулярен оси трубы? Считать сопротивление воздуха пренебрежимо малым, \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

131.

Теннисный мяч ударяют ракеткой у самой поверхности Земли, сообщая ему начальную скорость \(v = 20\,\text{м/с}\), направленную под утлом \(\alpha = 45^{\circ}\) к горизонту. Мяч летит к вертикальной стене, двигаясь в плоскости, перпендикулярной к этой стене, и испытывает со стеной абсолютно упругое соударение. Стена находится от места удара на расстоянии \(l = 15\,\text{м}\). На каком расстоянии \(x\) от места удара мяч упадет на Землю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

132.

Зенитное орудие может производить выстрелы во всевозможных направлениях. Определить границу области, которая простреливается из этого орудия, если модуль начальной скорости снаряда равен \(v_{0}\).

133.

Шарик, брошенный из точки \(A\) под углом \(\alpha\) к горизонту, в точке \(B\), лежащей на одной горизонтали с точкой \(A\), ударяется о гладкую площадку, наклоненную к горизонту. После упругого удара шарик возвращается в исходную точку \(A\), затратив на полет в \(k = \sqrt{3}\) раз меньшее время. Найти угол \(\alpha\), под которым тело было брошено из точки \(A\).

134.

Маленький шарик падает с высоты \(H = 2\,\text{м}\) без начальной скорости. На высоте \(h = 0{,}5\,\text{м}\) над землей шарик испытывает абсолютно упругий удар о гладкую закрепленную площадку, наклоненную под углом \(45^{\circ}\) к горизонту. Найти дальность полета шарика \(L\).

135.

Шарик бросают с башни высотой \(h = 4{,}9\,\text{м}\) под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту со скоростью \(v_{0} = 7\,\text{м/с}\). При падении на землю шарик упруго ударяется о наклонную плоскость и возвращается в точку бросания по той же траектории. Какой угол \(\beta\) составляет наклонная плоскость с горизонтом? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

136.

Мальчик бросает мяч в направлении вертикальной стены так, чтобы мяч, отскочив от стены, упал точно к его ногам. Какова должна быть начальная скорость мяча \(v_{0}\), если бросок производится с высоты \(h = 1{,}5\,\text{м}\) под углом \(\alpha = 45\)\(^{0}\) к горизонту? Расстояние от мальчика до стены \(l = 6\,\text{м}\). Удар мяча о стену считать абсолютно упругим, ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

137.

Лестница состоит из трех одинаковых гладких ступенек ширины \(а = 30\,\text{см}\) и такой же высоты. На верхней ступеньке расположена в плоскости рисунка невесомая пружина жесткостью \(k = 30\,\text{Н/м}\), правым концом прикрепленная к неподвижной стенке, а левым – упирающаяся в лежащий на ступеньке маленький шарик массой \(m = 100\,\text{г}\). Шарик сдвигают вправо, сжимая пружину, после чего отпускают без начальной скорости. До какой максимальной величины \(\Delta\)\(l_{max}\) можно сжать пружину, чтобы выпущенный шарик по одному разу коснулся средней и нижней ступенек? Удар шарика о ступеньку считать абсолютно упругим, трение и сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

138.

Мяч брошен с поверхности земли под углом \(\alpha = 45^{\circ}\) к горизонту с начальной скоростью \(v = 10\,\text{м/с}\) в направлении вертикальной стенки, расстояние до которой \(l = 7\,\text{м}\). На какой высоте \(h\) мяч ударится о стенку? Сопротивлением воздуха пренебречь.

139.

В конической лунке с вертикальной осью симметрии и углом раствора 2\(\alpha\) прыгает шарик, ударяясь о противоположные точки \(A\) к \(B\), расположенные на одной горизонтали, через одно и то же время \(T\) (рис.). Ускорение свободного падения \(g\). Найдите максимальную и минимальную скорости движущегося шарика.

140.

Человек бросает камень через забор высотой \(H = 2{,}5\,\text{м}\). На какое максимальное расстояние \(S\) он может отойти от забора, если бросок производится с высоты \(h = 2\,\text{м}\) от поверхности земли со скоростью \(v_{0} = 5\,\text{м/с}\) под углом \(\alpha = 45^{\circ}\)к горизонту? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

141.

Под каким углом \(\alpha\) к горизонту нужно бросить камень, чтобы отношение максимальной высоты подъема камня к дальности его полета составило \(n = \frac{\sqrt{3}}{4}\)?

142.

Скорость снаряда при вылете из ствола пушки равна \(v_{0} = 500\,\text{м/с}\). На какой максимальной высоте \(h\) снаряд может поразить цель, если расстояние от пушки до цели по горизонтали составляет \(l = 1\,\text{км}\)? Ускорение свободного падения \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\). Сопротивление воздуха не учитывать. При решении задачи в общем виде считать, что \(v_0 > \sqrt{gl}\).

143.

Снаряд, вылетевший из пушки под углом \(\alpha\)\(_ {1} = 15^{\circ}\) к горизонту, падает на расстоянии \(L_{1} = 5\,\text{км}\). Какой будет дальность полета снаряда \(L_{2}\) при угле вылета \(\alpha\)\(_ {2} = 45^{\circ}\)? Сопротивлением воздуха пренебречь.

144.

Пушка делает два выстрела с интервалом \(\tau = 10\,\text{с}\). Каким будет расстояние \(l\) между снарядами спустя время \(t = \tau\) после второго выстрела? Скорость снаряда при выстреле \(v_{0} = 300\,\text{м/с}\), ствол пушки направлен под углом \(\alpha = 60^{\circ}\) к горизонту. Ускорение свободного падения принять \(g = 9{,}8\,\text{м/с}\)\(^{2}\), силу сопротивления воздуха при движении снарядов не учитывать.

145.

Тело после броска с поверхности земли через время \(t_{1}\) упруго отскакивает от вертикальной стенки и падает на землю еще через время \(t_{2}\). Найдите высоту точки удара.

146.

Баскетболист бросает мяч в кольцо. Скорость мяча сразу после броска равна \(v_{0} = 8\,\text{м/с}\) и составляет угол \(\alpha = 60\)\(^{\circ}\) с горизонтом. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если он долетел до него за одну секунду? Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения принять равным \(10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

147.

Брусок соскальзывает без трения с наклонной плоскости высотой \(h = 1\,\text{м}\) и с углом при основании \(\alpha = 45^{\circ}\),а затем свободно падает на пол с высоты \(H = 1\,\text{м}\). Найти угол \(\beta\) между направлением скорости и вертикалью в момент удара бруска о пол. Сопротивлением воздуха пренебречь.

148.

С вершины холма бросили камень под углом к горизонту со скоростью \(v_{0} = 10\,\text{м/с}\). В момент падения камня на склон холма величина угла между направлением/скорости камня и горизонтом/составила \(\beta = 60^{\circ}\), а разность высот точек бросания и падения \(\Delta\)\(h = 5\,\text{м}\). Найти угол а между направлением начальной скорости камня \(v_{0}\) и горизонтом. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

149.

Маленький шарик падает с высоты \(h = 50\,\text{см}\) на наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha = 45^{\circ}\) с горизонтом. Найти расстояние \(S\) между точками первого и второго соударений шарика с наклонной плоскостью. Соударения считать абсолютно упругими, сопротивлением воздуха пренебречь.

150.

Дождевальная установка разбрызгивает воду, направляя водяные капли во все стороны с одинаковой скоростью. Какова площадь \(S\) орошаемого ею участка, если максимальная высота подъема капель \(h = 1\,\text{м}\)? Считать, что капли воды начинают движение непосредственно от поверхности земли. Сопротивление воздуха не учитывать.

151.

Скорость снаряда при вылете из ствола пушки равна \(v_{0} = 500\,\text{м/с}\). На какой максимальной высоте \(h\) снаряд может поразить цель, если расстояние от пушки до цели по горизонтали составляет \(l = 1\,\text{км}\)? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\). Сопротивление воздуха не учитывать. При решении задачи в общем виде считать, что.

152.

Преследуя добычу со скоростью \(v\)\( = \)108 км/ч, гепард движется по прямой горизонтальной тропе прыжками длиной \(l = 8\,\text{м}\). Внезапно на пути гепарда встречается овраг глубиной \(H = 4\)/\(3\,\text{м}\). Отталкиваясь от края оврага точно так же, как и при движении по тропе, гепард прыгает в овраг. Найдите горизонтальное перемещение гепарда \(L\)при этом прыжке. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\), сопротивление воздуха не учитывать, дно оврага считать горизонтальным.

153.

Небольшой сосуд со сжатым газом, находившийся на полу комнаты, разорвался на мелкие осколки, которые оставили на потолке метки внутри круга радиуса \(R\). Высота потолка также равна \(R\). Найти начальную скорость осколков. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\)\(.\)

154.

Граната, брошенная под углом к горизонту, разрывается в верхней точке траектории на два одинаковых осколка. Один из осколков упал на землю через время \(t_{1}\) после разрыва гранаты. Через какое время \(t_{2}\) после разрыва окажется на земле второй осколок, упавший позднее первого, если разрыв гранаты произошел на высоте \(h\) над поверхностью земли? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\).

155.

При поливе садового участка наконечник водопроводного шланга расположили на высоте \(h = 0{,}8\,\text{м}\) над поверхностью земли, направив струю воды вверх под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к горизонту. Найти массу \(m\) воды, содержащейся в отрезке струи от наконечника шланга до поверхности земли. Скорость воды, бьющей из шланга, \(v_{0} = 6\,\text{м/с}\), внутреннее сечение наконечника шланга \(S = 3\,\text{см}\)\(^{2}\), плотность воды \(\rho = 10\)\(^{3}\) кг/м\(^{3}\). Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\).

156.

Диск катится без проскальзывания со скоростью \(v\) по горизонтальной дороге (рис.). Найдите скорость \(v_{B}\) точки \(B\) – конца горизонтального диаметра диска.

157.

Груз поднимается с помощью лебедки с постоянной скоростью \(v = 0,9\,\text{м/с}\) (рис.). С какой угловой скоростью \(\omega\) вращается барабан лебедки, если его диаметр \(D = 18\) см?

158.

Стержень длиной \(2L\) движется в горизонтальной плоскости таким образом, что в некоторый момент времени скорость одного конца стержня равна \(v_{1}\) и направлена под углом \(\alpha\) к стержню, скорость второго конца \(v_{2}\). Определите угловую скорость \(\omega\) вращения стержня относительно его центра.

159.

Ведущая шестерня радиусом \(R\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\Omega\) и приводит во вращение шестерню радиусом \(r\). В некоторый момент времени метки \(A\) и \(B\),выбитые на шестернях, совпадают (рис.). Через какой наименьший промежуток времени \(t_{0}\)относительная скорость меток станет равной нулю? Оси вращения шестерен неподвижны.

160.

Две шестерни с радиусами \(R_{1} = 8\,\text{см}\) и \(R_{2} = 3\,\text{см}\) находятся в зацеплении друг с другом (рис.). Большая из них вращается с угловой скоростью \(\omega\)\(_ {1} = 20\,\text{рад/с}\). \(а\)) Найдите угловую скорость \(\omega\)\(_ {2}\) второй шестерни. \(б\)) В некоторый момент времени метки \(A\) и \(B\), поставленные на шестернях, совпадают. Определите минимальное время \(\tau\), через которое метки опять совпадут.

161.

По направлению к бегущей прямолинейно с постоянной скоростью \(v_{л} = 45\,\text{км/ч}\) лисе бежит собака. Скорость собаки все время направлена на лису и равна \(v_{с} = 55\,\text{км/ч}\). В некоторый момент времени оказалось, что вектор скорости собаки образует угол \(\alpha = 45\)\(^{\circ}\) с прямой, вдоль которой движется лиса, а расстояние между собакой и лисой равно \(L = 150\) м. Найдите ускорение собаки в этот момент времени.

162.

Мальчик, сидящий на вращающейся в горизонтальной плоскости с частотой \(n = 6\,\text{об/мин}\) карусели на расстоянии \(r = 4\,\text{м}\) от оси вращения, стреляет из пружинного пистолета, направив его ствол под углом \(\alpha = 60^{\circ}\) к горизонту. Оказалось, что пулька относительно земли движется прямолинейно. С какой скоростью \(v\) относительно пистолета вылетела пулька?

163.

Крылатая ракета, атакуя корабль противника, совершает горизонтальный полет на низкой высоте с постоянной по величине скоростью \(v_{1} = 400\,\text{м/с}\). Система наведения ракеты устроена так, что вектор ее скорости все время направлен на цель. На расстоянии \(L = 800\,\text{м}\) от корабля векторы скоростей ракеты и корабля оказались взаимно перпендикулярными (рис.). Определите ускорение \(a\) ракеты в этот момент, если скорость корабля \(v_{2} = 72\,\text{км/ч}\).

164.

Точка \(A\) является точкой пересечения прямой, движущейся поступательно и равномерно со скоростью \(v_{0}\), и луча, вращающегося в плоскости чертежа с угловой скоростью \(\omega\) по часовой стрелке вокруг точки \(O\). Какова скорость точки \(A\) в момент времени, когда угол между лучом и прямой равен \(\alpha\), а расстояние от точки \(O\) до прямой равно \(L\).

165.

Два луча вращаются в плоскости чертежа вокруг точек \(O_{1}\) и \(O_{2}\) соответственно с угловой скоростью \(\omega\) по часовой стрелке оба. Расстояние \(O_{1}\)\(O_{2}\) равно \(2l\). Какова скорость точки пересечения лучей \(A\) в момент времени, когда она лежит на оси симметрии и лучи составляют углы, равные \(\alpha\) с отрезком \(O_{1}\)\(O_{2}\)?

166.

Две пересекающие прямые одновременно начинают равноускоренное поступательное движение в разные стороны с ускорениями \(a_{1}\) и \(a_{2}\), перпендикулярными соответствующим прямым. Угол между прямыми равен \(\alpha\). Определите ускорение точки пересечения прямых \(A\).

167.

Два луча вращаются в плоскости чертежа вокруг точек \(O_{1}\) и \(O_{2}\) соответственно с угловой скоростью \(\omega\) в противоположных направлениях. Расстояние между точками \(O_{1}\) и \(O_{2}\) равно \(2l\). Какова скорость точки пересечения лучей \(A\), движущейся вдоль оси симметрии, в момент времени, когда лучи составляют углы равные \(\alpha\) с отрезком \(O_{1}\)\(O_{2}\)?

168.

Диск начинает движения из состояния покоя и вращается вокруг собственной оси равноускоренно. Каким будет угол между вектором/скорости и вектором ускорения произвольной точки диска, когда он сделает один оборот?

169.

Диск начинает движения из состояния покоя и вращается вокруг собственной оси равноускоренно. Каким будет угол между радиусом, проведенным к центру диска и вектором ускорения произвольной точки диска, когда он повернется из начального положения на угол \(\varphi = 45\)\(^{\circ}\)?

170.

Черный диск с одним узким белым/сектором приводится во вращение. При освещении диска периодически вспыхивающей лампой видны три неподвижных белых сектора, расположенных через \(120^{\circ}\). Найти угловую скорость вращения диска по наблюдаемой картине при известной частоте вспышек ν освещающей лампы.

171.

Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью \(v\). С верхней точки обода колеса срывается камешек. Через какое время колесо наедет на этот камешек? Радиус колеса \(R\), ускорение свободного падения \(g\).

172.

Гладкий диск радиуса \(R\)\(,\)плоскость которого горизонтальна, вращается вокруг своей оси. От поверхности диска отрывается небольшое тело, которое затем без трения скользит по диску. На каком расстоянии от оси оторвалось тело, если за время пока оно соскользнуло с диска, диск сделал полный оборот?

173.

Гладкий диск радиуса \(R\),плоскость которого горизонтальна, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \(\omega = 40\,\text{об/мин}\). От поверхности диска на расстоянии \(R/2\) от оси отрывается небольшое тело, которое затем без трения скользит по диску. Через какое время оно соскользнет с диска?

174.

Горизонтальный диск вращается вокруг своей оси, делая \(5\,\text{об/мин}\)\(.\)Человек идет вдоль радиуса диска с постоянной скоростью \(v = 1{,}5\,\text{м/с}\) относительно диска. Нарисуйте качественно, как меняется модуль скорости человека относительно Земли в зависимости от расстояния от оси диска. Чему равна величина этой скорости на расстоянии \(R = 3\) м от оси?

175.

Цилиндр радиуса \(R = 20\) см вращается вокруг своей оси, делая 20 оборотов в минуту. Вдоль образующей цилиндра движется тело с постоянной скоростью \(v = 30\,\text{см}\)\(/\)с относительно поверхности цилиндра. Определите полную скорость и ускорение этого тела.

176.

Стержень длиной \(l = 0{,}85\,\text{м}\) движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны \(v_{1} = 1\,\text{м/с}\) и \(v_{2} = 1{,}5\,\text{м/с}\), причем/скорость первого из них направлена под углом \(\alpha = 30^{\circ}\) к стержню. Какова угловая скорость \(\omega\) вращения стержня вокруг его центра?

177.

Четыре одинаковых жестких стержня длиной \(L\) каждый, концы которых шарнирно соединены, образуют ромб, диагональ которого \(BD\) больше диагонали \(AC\) (рис.). Ромб лежит на столе. В некоторый момент вершины \(A\) и \(C\) начинают двигать по столу в противоположные стороны вдоль прямой \(AC\) с одинаковыми по величине скоростями \(v\). Найдите ускорение вершины \(B\) относительно стола в тот момент, когда ромб превращается в квадрат.

178.

Самолет летит по дуге окружности радиуса \(R = 1\,\text{км}\), сохраняя одну и ту же высоту \(h\) = 1, \(5\,\text{км}\). С интервалом времени \(\tau = 10\), \(5\,\text{с}\) = 10\(\pi\)/\(3\,\text{с}\)) с него сбрасывают два мешка. На каком расстоянии \(S\) друг от друга упадут на землю эти мешки, если скорость самолета \(v = 100\,\text{м/с}\)? Ускорение свободного падения принять \(g = 10\,\text{м/с}\)\(^{2}\), сопротивлением воздуха пренебречь.

179.

Плоский обруч движется так, что в некоторый момент времени скорости концов диаметра \(AB\) лежат в плоскости обруча и перпендикулярны этому диаметру (рис.). Скорость точки \(A\) равна \(v_{A}\), а скорость точки \(B\) равна \(v_{B}\). Определите скорости концов диаметра \(CD\), перпендикулярного \(AB\), в этот же момент времени, считай, что эти скорости также лежат в плоскости обруча.

180.

Колесо катится без проскальзывания по ленте транспортера, движущейся горизонтально со скоростью \(v_{0} = 1\,\text{м/с}\), в направлении движения ленты. Известно, что относительно неподвижного наблюдателя скорость \(v_{B}\) точки \(В\), находящейся на ободе колеса на его горизонтальном диаметре, составляет с горизонтом угол \(\alpha = 30^{\circ}\). Найти скорость \(v\) центра колеса относительно неподвижного наблюдателя.

181.

Стержень, поперечное сечение которого показано на рисунке, движется по плоскости так, что в некоторый момент скорости его точек \(A\) и \(B\) параллельны плоскости и перпендикулярны оси стержня, а их величины равны \(v_{A}\) и \(v_{B}\). Найти величину скорости точки \(C\) в этот момент времени, если, и все указанные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси стержня.

182.

Стержень катится по плоскости без проскальзывания. Найдите отношение скоростей точек \(A\) и \(B\), находящихся от оси стержня на расстоянии в \(n\) раз меньше его радиуса, в тот момент, когда они занимают положения, указанные на рисунке.

183.

У мальчика, сидящего на вращающейся с угловой скоростью \(\omega\) карусели на расстоянии \(R\) от ее оси, выпали из кармана с интервалом \(t\) два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна \(h\)?

184.

Катушку, лежащую на горизонтальной плоскости, тянут за намотанную на ее среднюю часть легкую нерастяжимую нить так, что ее конец \(A\) движется со скоростью \(v\) под углом \(\alpha = 30\)\(^{\circ}\) к горизонту (рис.). При этом катушка катится без проскальзывания, а ее ось не изменяет своей ориентации. Найдите скорость движения оси катушки, если радиус \(r\) средней части катушки в \(n = 2\) раза меньше радиуса \(R\) ее щек.

185.

Катер, движущийся со скоростью \(v_{1} = 30\,\text{км/ч}\), буксирует спортсмена на водных лыжах. Трос, за который держится спортсмен, составляет с направлением движения катера угол \(\alpha = 150^{\circ}\). Направление движения спортсмена образует с тросом угол \(\beta = 60^{\circ}\). Чему равна величина скорости спортсмена в этот момент времени?

186.

Стержень \(AB\) движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент скорость его центра составляет угол \(\alpha = 30^{\circ}\) с направлением стержня, величина скорости точки \(B\) равна \(v_{B} = 2\,\text{м/с}\), а скорость точки \(A\) перпендикулярна к скорости точки \(B\). Найдите величину скорости \(v_{0}\), с которой движется центр стержня в этот момент времени.

187.

Равносторонний треугольник \(ABC\) скользит по горизонтальному столу. Известно, что в некоторый момент времени точка \(А\) имеет скорость \(v_{1} = 2{,}45\,\text{м/с}\), точка \(B\) имеет скорость \(v_{2} = 1{,}5\,\text{м/с}\), а скорость центра треугольника направлена параллельно стороне \(CB\). Какова величина скорости \(v_{0}\) центра треугольника в этот момент времени?

188.

По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина \(ABCD\). В некоторый момент скорости вершин \(A\) и \(B\)оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины \(C\) была равна \(v\) и составила с вектором \(\vec{CD}\) угол, тангенс которого равен \(0,5\). Найдите скорость точки \(M\), являющейся серединой отрезка \(AB\),в этот момент времени.

189.

Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединенных двумя полуокружностями. Ширина дорожки \(d = 1\,\text{м}\). Линия старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость \(v_{0} = 8\,\text{м/с}\), одинаковую для обоих бегунов, с которой и пробегают оставшуюся часть дистанции. На сколько отличаются времена разгона бегунов, если, двигаясь каждый по середине своей дорожки, они финишируют одновременно?

190.

Беговые дорожки легкоатлетического стадиона состоят из двух прямолинейных участков, соединенных двумя полуокружностями. Ширина дорожки \(d = 1\,\text{м}\). Линия старта проведена перпендикулярно прямолинейному участку дорожек и совпадает с линией финиша. Два бегуна, находящиеся на первой (внутренней) и второй дорожках, одновременно принимают старт и пробегают до финиша один круг. Они разгоняются равноускоренно, пока не наберут максимальную скорость \(v_{0} = 8\,\text{м/с}\), одинаковую для обоих бегунов, с которой и пробегают каждый по середине своей дорожки оставшуюся часть дистанции, финишируя одновременно. Чему равно отношение \(n\) времени разгона второго бегуна ко времени разгона первого, если полная длина первой дорожки \(S_{1} = 400\,\text{м}\), а время, за которое спортсмены пробегают всю дистанцию, \(\tau = 52\,\text{с}\)?

191.

На средние части двух одинаковых катушек, лежащих на горизонтальной плоскости, намотана тонкая нерастяжимая нить (рис.). Точку \(A\) этой нити, находящуюся на равных расстояниях от осей катушек, начинают перемещать вертикально вверх. При этом катушки начинают катиться без проскальзывания так, что их оси не изменяют своего направления, нить не скользит по катушкам, а ее отрезки, не лежащие на катушках, находятся в вертикальной плоскости, перпендикулярной осям катушек. Найдите модуль скорости сближения катушек в тот момент, когда скорость точки \(A\)равна \(v\), а угол \(2\alpha = 120^{\circ}\). Радиус средней части катушки в \(n = 2\) раза меньше радиуса ее щек.