Гидравлический удар. Свойства жидкостей | FizPortal
Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 4 гостя.

Гидравлический удар.

 На рис. показана модель водопровода. Из поднятого на некоторую высоту h резервуара, играющего роль водонапорной башни, выходит магистральная труба постоянного сечения S и длины l. Эта труба заканчивается узкой загнутой вверх трубкой сечения S1 с краном, при открывании которого из трубки бьет фонтан.


 С какой скоростью бьет вода из фонтана и на какую максимальную высоту она поднимается?
 С какой скоростью движется вода в магистральной трубе и каково там давление?
 Какое давление будет в магистральной трубе при мгновенном перекрывании крана?
 Как будет зависеть от времени давление в том случае, когда кран закрывается постепенно в течение промежутка времени τ?
 При решении этой задачи будем считать воду идеальной жидкостью, т.е. будем пренебрегать ее вязкостью. В этом случае полная механическая энергия жидкости сохраняется, и для описания ее движения можно использовать уравнение Бернулли, которое и выражает закон сохранения энергии для движущейся идеальной жидкости. При стационарном течении это уравнение имеет вид
p + ρgh + ρv2/2 = const, (1)

где p − давление, которое показывает неподвижный относительно жидкости манометр, ρ − плотность жидкости, v − скорость жидкости в данной точке и h − высота этой точки над некоторым уровнем.
 Уравнение (1) говорит о том, что сумма трех слагаемых в левой части имеет одно и то же значение независимо от того, в какой точке она вычисляется. Для удобства мы в дальнейшем не будем явно выписывать одинаковое во всех точках атмосферное давление po, понимая под p в (1) превышение давления в жидкости над атмосферным.
 Предположим, что кран открыт и установилось стационарное течение жидкости. Изменением уровня воды в резервуаре будем пренебрегать, считая его объем достаточно большим. Тогда уравнение Бернулли (1) позволяет ответить на все относящиеся к этому случаю вопросы. Скорость струи v1, бьющей из фонтанчика, определяется только высотой уровня воды h в резервуаре над отверстием трубки;
v1 = √{2gh}. (2)

 Это известная формула Торричелли, которая может быть получена как непосредственно из закона сохранения энергии, так и из уравнения Бернулли, если приравнять левые части (1), записанные для точки А на уровне воды в резервуаре, где скорость практически равна нулю, и для точки В, находящейся в отверстии трубки:
ρgh = ρv2/2.

 Вылетающие из отверстия со скоростью v1 = √{2gh} частицы воды могут подняться до уровня воды в резервуаре, если в отверстии трубки их скорость направлена вертикально вверх.
 Скорость движения воды v в магистральной трубе легко найти, учитывая несжимаемость жидкости и используя уравнение неразрывности:
Sv = S1v1, (3)

откуда с учетом (2) имеем
v = v1S1/S = √{2gh}S1/S. (4)

Если S1 << S, то скорость воды в магистральной трубе много меньше скорости струи, бьющей из отверстия. Отметим, что скорость v одинакова в любом месте магистральной трубы, как непосредственно перед краном, так и в начале трубы сразу после резервуара. А вот давление p воды в магистральной трубе будет разным на разной высоте. Так как скорость воды в трубе уже известна, то найти давление можно с помощью уравнения Бернулли.
 Возьмем произвольную точку C в трубе, находящуюся на высоте Н. Тогда, приравнивая левые части (1) для точек С и А, получим
p + ρgH + ρv2/2 = ρgh. (5)

Отсюда для давления воды p на высоте Н имеем
p = ρg(h − H) − ρv2/2. (6)

 Из формулы (6) видно, что давление воды в трубе меньше гидростатического, т.е. того, которое было бы при закрытом кране, на величину ρv2/2. Чем больше скорость воды в магистральной трубе, тем меньше в ней давление. Это отличие давления воды от гидростатического проявляется уже в самом начале трубы, там, где она выходит из резервуара: скорость воды в этом месте скачком возрастает от нуля, а давление также скачком падает.
 Давление воды в магистральной трубе перед краном, там, где H = 0,
p = ρgh(1 − S12/S2). (7)

 Это выражение получается из формулы (6) при подстановке в нее значения скорости v из (4).
Из формулы (7) видно, что отличие давления p от гидростатического определяется соотношением между площадями сечений магистральной трубы S и отверстия в трубке S1 Чем меньше расход воды, тем ближе значение давления к гидростатическому.
 Теперь рассмотрим, что происходит в трубе при перекрывании крана. Вначале предположим, что отверстие в кране перекрывается мгновенно. В этом случае происходит так называемый гидравлический удар, при котором давление резко возрастает.
 Движущаяся по трубе жидкость обладает импульсом. При мгновенном перекрывании крана вода в трубе вынуждена затормозиться. Абсолютно несжимаемая жидкость остановилась бы при этом вся сразу. А это, в свою очередь, привело бы к бесконечно большой силе давления на преграду. Поэтому представление об абсолютно несжимаемой жидкости в таких условиях неприменимо.
 Выясним, как происходит торможение жидкости при учете ее сжимаемости. Теперь при внезапном появлении преграды жидкость останавливается постепенно, так что за некоторое время Δt остановится только та ее часть, до которой успеет дойти волна сжатия, распространяющаяся в жидкости от закрытого крана навстречу потоку. Если деформациями стенок трубы при повышении давления можно пренебречь, то волна сжатия распространяется со скоростью, равной скорости звука u в воде.
Силу F, действующую на заслонку мгновенно перекрытого крана, можно рассчитать с помощью закона сохранения импульса. Так как до перекрывания крана вода имела скорость v, то импульс остановившейся за время Δt воды был равен ρSuΔtv. Поэтому
FΔt = ρSuΔtv, (8)

откуда для возникающего при гидравлическом ударе дополнительного давления pуд = F/S получаем
pуд = ρuv.

 Разумеется, в силу закона Паскаля (жидкость-то остановилась!) такое давление действует и на заслонку крана, и на стенки магистральной трубы. Увеличение давления при гидравлическом ударе может во много раз превышать величину ρv2/2, характеризующую согласно формуле (6) уменьшение давления при стационарном движении жидкости. В самом деле, скорость звука в воде u, равная примерно 1,5 км/с, значительно больше, чем скорость воды в трубе v, которая обычно не превышает нескольких десятков метров в секунду. Возникшее при мгновенном перекрывании крана давление будет существовать до тех пор, пока распространяющаяся со скоростью звука волна сжатия не достигнет резервуара и от него не придет обратная волна, снимающая сжатие воды в магистральной трубе.
Перейдем к случаю, когда кран перекрывается постепенно, в течение времени τ. Теперь добавочное давление гидравлического удара возникает не скачком, а будет нарастать постепенно. Здесь будут получаться разные результаты в зависимости от соотношения между временем τ и временем распространения волны сжатия воды по всей длине магистральной трубы.
 Рассмотрим сначала бесконечно длинную магистральную трубу, перекрывание которой происходит за время τ. Допустим для простоты, что площадь отверстия крана уменьшается так, что давление нарастает со временем по линейному закону (рис.).

 К концу промежутка времени τ, когда отверстие в кране окажется полностью перекрытым и скорость воды в трубе обратится в нуль, давление гидравлического удара достигнет максимального значения, равного тому же самому значению ρuv, до которого давление возрастает скачком при τ = 0. Поэтому в промежутке 0 < t < τ давление при гидравлическом ударе будет меняться по закону
pуд(t) = ρuvt/τ. (9)

 Все это, конечно, справедливо, если расход воды за время τ через закрываемый кран будет значительно меньше объема воды в трубе, останавливающейся за это же время. А расходом воды можно пренебречь при v << u, в чем легко убедиться с помощью уравнения неразрывности (3).
 Выясним теперь, до какого значения будет нарастать давление в трубе конечной длины l. Как только кран начинают перекрывать, образующееся у крана повышение давления распространяется против течения жидкости и через время l/u достигает резервуара. Здесь давление падает, однако жидкость у крана остается сжатой, пока до нее не дойдет от резервуара обратная волна, снимающая сжатие воды. Эта волна также распространяется со скоростью звука в воде u, и ее фронт достигает крана спустя промежуток времени Т = 2l/u после начала закрывания крана. Поэтому при τ < T давление у крана успеет вырасти до максимального значения ρuv, как и в бесконечной трубе. Если же кран закрывается настолько медленно, что τ > T, то, как видно из формулы (9), максимальное значение давления при гидравлическом ударе меньше ρuv:
pуд = ρuvT/τ = 2ρvl/τ. (10)

 Резкое повышение давления в трубопроводе при быстром закрывании крана может вызвать разрыв стенок труб или их повреждение. Формула (10) показывает, каким способом можно снизить возникающее при гидравлическом ударе давление. Этого можно добиться либо увеличением времени перекрывания τ, либо уменьшением длины трубы L подверженной ударам. Для этого к магистральному трубопроводу присоединяют ответвления в виде водяных колонн или пневматических резервуаров.
 Основы теории гидравлического удара были заложены выдающимся русским ученым Н. Е. Жуковским.


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.