Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 7 гостей.

Векторные и скалярные величины.

Вектор − чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.
Вектор − направленный отрезок прямой.
 В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин − скалярными и векторными.
Скалярными величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l, масса − m, путь − s, время − t, температура − T, электрический заряд − q, энергия − W, координаты и т.д.
 К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.).

Пример 1.
 Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q1 = 2 нКл, q2 = −7 нКл, q3 = 3 нКл.
Полный заряд системы

q = q1 + q2 + q3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10−9 Кл.

Пример 2.
 Для квадратного уравнения вида

ax2 + bx + с = 0;

x1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √{b2 − 4ac}).

Векторными величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v, сила F, импульс p, напряженность электрического поля E, магнитная индукция B и др.
 Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками r = |r|.
 Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1),


длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора.
Два вектора равны, если совпадают их модули и направления.
 Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).
 Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.
 Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор
с = a + b

равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b. Модуль его
с = √{a2 + b2 − 2abcosα} (рис. 2).


При α = 90°, с = √{a2 + b2} − теорема Пифагора.

 Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора a отложить вектор b. Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a и конец вектора b) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a и b).
 Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3).


Пример 3.
 Сложить две силы F1 = 3 Н и F2 = 4 Н, векторы F1 и F2 составляют с горизонтом углы α1 = 10° и α2 = 40°, соответственно
F = F1 + F2 (рис. 4).

 Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F1 и F2, как сторонах, и по модулю равен ее длине.
 Модуль вектора F находим по теореме косинусов
F = √{F12 + F22 + 2F1F2cos(α2 − α1)},

F = √{32 + 42 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.

Если
2 − α1) = 90°, то F = √{F12 + F22}.

 Угол, который вектор F составляет с осью Ox, находим по формуле

α = arctg((F1sinα1 + F2sinα2)/(F1cosα1 + F2cosα2)),

α = arctg((3•0,17 + 4•0,64)/(3•0,98 + 4•0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

 Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора a и оси Ox (Oy). (рис. 5)


 Проекции вектора a на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)

 Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)

 Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный
a − b = a + (−b) = d (рис. 8).


 Пусть надо из вектора a вычесть вектор b, их разность − d. Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a прибавить вектор (−b), то есть вектором d = a − b будет вектор, направленный от начала вектора a к концу вектора (−b) (рис. 9).

 В параллелограмме, построенном на векторах a и b как сторонах, одна диагональ c имеет смысл суммы, а другая d − разности векторов a и b (рис. 9).
 Произведение вектора a на скаляр k равно вектору b = ka, модуль которого в k раз больше модуля вектора a, а направление совпадает с направлением a при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.

Пример 4.
 Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10)


Импульс тела p = mv; p = 2 кг•м/с = 10 кг•м/с и направлен в сторону скорости v.

Пример 5.
 Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

 Сила равна F = qE. Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E. (рис. 11)


Деление вектора a на скаляр k равнозначно умножению a на 1/k.
Скалярным произведением векторов a и b называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
(a•b) = (b•a) = c,

с = ab•cosα (рис. 12)


Пример 6.
 Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°.

 Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения

A = (F•S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.

Векторным произведением векторов a и b называют вектор c, численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:

с = a × b = [a, b],

с = ab × sinα.

 Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b, причем его направление связано с направлением векторов a и b правилом правого винта (рис. 13).

Пример 7.
 Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.

 Сила Ампера

dF = I[dl, B] = Idl × B или F = I(l)∫{dl × B},

F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

Рассмотрите решение задач.
 1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√{2}; д) a√{3}?

Решение.
 а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю.


 б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a.

 в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:

a2 + a2 + 2aacosα = a2,

cosα = −1/2 и α = 120°.

 г) Два вектора направлены под углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен
a2 + a2 + 2aacosα = 2a2,

cosα = 0 и α = 90°.


 д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен
a2 + a2 + 2aacosα = 3a2,

cosα = 1/2 и α = 60°.

Ответ: Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.

 2. Если a = a1 + a2 ориентации векторов, то, что можно сказать о взаимной ориентации векторов a1 и a2, если: а) a = a1 + a2; б) a2 = a12 + a22; в) a1 + a2 = a1 − a2?

Решение.
 а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу a1||a2.
 б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма

a12 + a22 + 2a1a2cosα = a2,

cosα = 0 и α = 90°.

вектора перпендикулярны друг другу a1 ⊥ a2.
 в) Условие a1 + a2 = a1 − a2 может выполниться, в случае если a2 − нулевой вектор, тогда a1 + a2 = a1.
Ответы. а) a1||a2; б) a1 ⊥ a2; в) a2 − нулевой вектор.

 3. Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?

 Решение.
 По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил:

F12 + F12 + 2F1F1cosα = F2,

для второй пары сил, соответственно
F22 + F22 + 2F2F2cosβ = F2.

Приравняв левые части уравнений
F12 + F12 + 2F1F1cosα = F22 + F22 + 2F2F2cosβ.

Найдем искомый угол β между векторами
cosβ = (F12 + F12 + 2F1F1cosα − F22 − F22)/(2F2F2).

После вычислений,
cosβ = (2•1,422 + 2•1,422•cos60° − 2•1,752)/(2•1,752) = −0,0124,

β ≈ 90,7°.

Второй способ решения.
 Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.).


 Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим
2F1cos(α/2) = 2F2cos(β/2),

откуда
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) и β ≈ 90,7°.

 4. Вектор a = 3i − 4j. Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |ca| = 7,5?
Решение.

ca = c(3i − 4j) = 7,5

Модуль вектора a будет равен
a2 = 32 + 42, и a = ±5,

тогда из
c•(±5) = 7,5,

найдем, что
c = ±1,5.

 5. Векторы a1 и a2 выходят из начала координат и имеют декартовы координаты концов {6, 0} и {1, 4}, соответственно. Найдите вектор a3 такой, что: а) a1 + a2 + a3 = 0; б) a1a2 + a3 = 0.

Решение.
 Изобразим векторы в декартовой системе координат (рис.)


 а) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
ax = 6 + 1 = 7.

Результирующий вектор вдоль оси Oy равен
ay = 4 + 0 = 4.

Чтобы сумма векторов была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось условие
a1 + a2 = −a3.

Вектор a3 по модулю будет равен суммарному вектору a1 + a2, но направлен в противоположную ему сторону. Координата конца вектора a3 равна {−7, −4}, а модуль
a3 = √{72 + 42} = 8,1.

 б) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен

ax = 6 − 1 = 5,

а результирующий вектор вдоль оси Oy
ay = 4 − 0 = 4.

При выполнении условия
a1a2 = −a3,

вектор a3 будет иметь координаты конца вектора ax = –5 и ay = −4, а модуль его равен
a3 = √{52 + 42} = 6,4.

 6. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?

Решение.
 Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.).


Конец вектора OA имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен
L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.

Модуль вектора перемещения найдем по формуле
S = √{(x − xo)2 + (y − yo)2 + (z − zo)2},

где xo = 0, yo = 0, zo = 0.
S = √{252 + 182 + 362} = 47,4 (м).

Ответ: L = 103 м, S = 47,4 м.

 7. Угол α между двумя векторами a и b равен 60°. Определите длину вектора с = a + b и угол β между векторами a и c. Величины векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.

Решение.
 Длину вектора, равного сумме векторов a и b определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).


с = √{a2 + b2 + 2abcosα}.

После подстановки
с = √{32 + 22 + 2•3•2•cos60°} = 4,4.

Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).

При этом следует знать, что
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.

 Решая простое тригонометрическое уравнение, приходим к выражению
tgβ = bsinα/(a + bcosα),

следовательно,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),

β = arctg(2•sin60/(3 + 2•cos60)) ≈ 23°.

 Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:
a2 + c2 − 2ac•cosβ = b2,

откуда
cosβ = (a2 + c2 − b2)/(2ac)

и
β = arccos((a2 + c2 − b2)/(2ac)) = arccos((32 + 4,42 − 22)/(2•3•4,4)) = 23°.

Ответ: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

Решите задачи.
 8. Для векторов a и b, определенных в примере 7, найдите длину вектора d = a − b угол γ между a и d.

 9. Найдите проекцию вектора a = 4,0i + 7,0j на прямую, направление которой составляет угол α = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.

 10. Вектор a составляет угол α = 30° с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор b (b = √{3}), чтобы вектор с = a + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора c.

 11. Заданы три вектора: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Найдите а) a + b; б) a + c; в) (a, b); г) (a, c)b − (a, b)c.

 12. Угол между векторами a и b равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b − a/2.

 13. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны, если a = {2, 1, −5} и b = {5, −5, 1}.

 14. Найдите угол α между векторами a и b, если a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.

 15. Вектор a составляет с осью Ox угол α = 30°, проекция этого вектора на ось Oy равна ay = 2,0. Вектор b перпендикулярен вектору a и b = 3,0 (см. рис.).


Вектор с = a + b. Найдите: a) проекции вектора b на оси Ox и Oy; б) величину c и угол β между вектором c и осью Ox; в) (a, b); г) (a, c).

Ответы:
 9. a1 = axcosα + aysinα ≈ 7,0.
 10. β = 300°; c = 3,5.
 11. а) 5i + j; б) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.
 12. c = 2,6; d = 1,7.
 14. α = 44,4°.
 15. а) bx = −1,5; by = 2,6; б) с = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
 Изучая физику, Вы имеете большие возможности продолжить свое образование в техническом ВУЗе. Для этого потребуется параллельное углубление знаний по математике, химии, языку, реже другие предметы. Победитель республиканской олимпиады, Савич Егор, заканчивает один из факультетов МФТИ, на котором, большие требования предъявляются к знаниям по химии. Если требуется помощь в ГИА по химии, то обращайтесь к профессионалам, Вам точно окажут квалифицированную и своевременную помощь.


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.