• Предыдущая задача

   10(МГУ 1996). Давление моля идеального одноатомного газа уменьшают с увеличением объема по линейному закону так, что в конечном состоянии его давление уменьшилось в n раз, а объем увеличился в k раз. Найти отношение суммарного количества переданного газу тепла к приращению его температуры при переходе газа из исходного состояния в конечное.

   Решение:
   Абсолютная температура T моля идеального газа, заполняющего объем V под давлением p, согласно уравнению Клапейрона – Менделеева равна T = pV/R, где R – газовая постоянная. Поэтому разность температур газа в конечном и начальном состояниях должна быть равна

ΔT = (p_нV_н/R)(k/n − 1),
где p_н и V_н — давление и объем газа в исходном состоянии. Поскольку внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа равна W = (3/2)RT, то ее изменение при рассматриваемом процессе равно ΔW = (3/2)RΔT. Количество теплоты ΔQ, переданное газу при изменении его состояния, согласно первому закону термодинамики превышает изменение его внутренней энергии на величину совершенной газом работы, которую можно найти с помощью pV-диаграммы данного процесса, показанного на рисунке.

Действительно, силы, действующие на стенки сосуда со стороны газа при квазиравновесном изменении его состояния, направлены перпендикулярно стенкам. Поэтому работа газа при изменении его объема на величину ΔV при постоянном давлении p равна ΔA = pΔV. На основании этого можно утверждать, что работа газа при квазиравновесном изменении давления определяется площадью pV-диаграммы, ограниченной графиком p(V), перпендикулярами, восстановленными к оси V в точках, соответствующих начальному и конечному объему газа, и осью V. Используя формулу для вычисления площади трапеции, получим
A = p_нV_н(k − 1)(n + 1)/(2n).
Таким образом, искомое отношение
ΔQ/ΔT = {(k − 1)(n + 1)/(2(k − n)) + 1,5}R.
   Отметим, что искомое отношение можно рассматривать как среднюю молярную теплоемкость газа. Если температуры газа в начальном и конечном состояниях одинаковы (что будет иметь место при n = k), то, как следует из полученного выражения, средняя теплоемкость получается равной бесконечности, как и теплоемкость тела при изотермическом нагревании.

   Ответ: ΔQ/ΔT = {(k − 1)(n + 1)/(2(k − n)) + 1,5}R.

• Следующая задача