Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 3 гостя.

Готовимся к олимпиаде по физике. 9 класс.

Минимум и максимум.

Задача. Мальчик подошел к последнему вагону электрички в тот момент, когда электричка тронулась и начала двигаться с постоянным ускорением а. Единственная открытая дверь электрички оказалась от мальчика на расстоянии S. Какую наименьшую постоянную скорость должен развить мальчик, чтобы успеть сесть в поезд?

Решение.
1-й способ.
 Выберем систему отсчета так, чтобы начало координат совпадало с начальным положением мальчика, а ось x была направлена вдоль платформы.


Пусть мальчик бежал со скоростью v и запрыгнул в вагон через время t. Так как мальчик запрыгнул в эту дверь, то можно записать
vt = s + at2/2. (1)

Из уравнения (1) выразим v.
v = s/t + at/2. (2)

 По условию задачи скорость должна быть минимально возможной.
Воспользуемся математическим соотношением
x + 1/x ≥ 2

причем равенство будет только при х = 1.
 За х можно обозначить любую величину. Например, можно написать, что
v = √{as/2} × ((1/t)√{2s/a} + t√{a/(2s)}).

Теперь положим
x = (1/t)√{2s/a} = 1

и получим
t = √{2s/a}, v = √{2as}.

2-й способ.
 Чем медленнее мальчик будет бежать, тем больше времени он затратит. А при какой-то скорости он вообще не догонит эту дверь. Выразим время из уравнения (1):

t = (v ± √{v2 − 2as})/a.

При v2 < 2as решения не существует, так как выражение под корнем меньше нуля! Значит, минимально возможная скорость определяется равенством
v2 = 2as,

и
v = √{2as},

а время
t = v/a = √{2as}/a = √{2s/a}.

3-й способ.
 Построим графики зависимости координат мальчика и двери от времени. В тот момент, когда они пересекутся, мальчик и догонит дверь поезда.


 Чем меньше наклон графика координаты мальчика, тем медленнее он бежит. Наименьшая скорость, при которой он может добежать до двери, соответствует нижней прямой. А она касается графика координаты двери. Это значит, что для такого случая скорости мальчика и двери в момент запрыгивания одинаковы! Скорость двери мы легко найдем:
vд = at,

откуда
t = vд/a.

Подставим это время в уравнение (1)
v2/a = s + v2/(2a),

v2/(2a) = s, и v = √{2as}.

Тогда время
t = v/a = √{2as}/a = √{2s/a}.

4-й способ.
 Возьмем производную по времени от выражения (2) и приравняем ее к нулю

v/ = −s/t2 + a/2 = 0.

Отсюда
s/t2 = a/2, и t = √{2s/a}.

Подставляя время в формулу (2),
v = s/√{2s/a} + a√{2s/a}/2

v = √{as/2} + √{sa/2} = 2√{as/2} = √{2as}.

5-й способ.
 Перейдем в систему отсчета, которая связана с мальчиком. В этой системе начальная скорость открытой двери равна −v, ее начальная координата s, ускорение a, и поэтому зависимость координаты открытой двери х1 от времени имеет вид

x1 = s − vt + at2/2. (3)

Условием того, что мальчик добежит до двери, будет равенство
x1 = 0,

т.е. в этот момент парабола (3) пересечет ось абсцисс на координатной плоскости (х1, t).
 Наименьшая скорость соответствует случаю, когда парабола коснется оси t. Вам остается только найти выражение для координат вершины параболы и приравнять х1 к нулю. Проделайте это самостоятельно, и сравните с ответами полученными способами выше.

Для самостоятельной работы. Решите задачу и сверьте свое решение с предложенным ниже.
50. С какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы равномерно перемещать сани массой m = 10 кг по горизонтальному асфальту, если коэффициент трения скольжения μ = 0,7? [решение]


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.