Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 5 гостей.

Теоретический тур

   Задание 10-1. «Калейдоскоп»
   1.1 «Масленица» Мальчик медленно втаскивает небольшие санки массой m = 5,0 кг на горки 1, 2 и 3 (рис.)

одинаковой высоты h = 10 м, но различных профилей. В каком из случаев сила тяжести совершит максимальную работу Amax? Чему она равна?
   Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.

   1.2 «Паровой клапан» Для вывода «избыточного» пара из скороварки применяется клапан в виде шарика радиуса R = 1,0 см, перекрывающего отверстие радиуса r = 7,0 мм (рис.).


Давление пара в скороварке постоянно и равно p = 2,5po, где po = 1,0 × 105 Па × нормальное атмосферное давление. Найдите минимальную силу Fmin, с помощью которой можно открыть (вдавить) клапан для выхода избыточного пара из скороварки. Изменится ли ответ, если клапан будет иметь форму, отличную от сферической?

   1.3 «Дождевое сопротивление»
   Оцените силу сопротивления, которую оказывает дождь на движущийся автомобиль, показанный на фотографии рядом с водителем. Считайте, что капли дождя падают вертикально, интенсивность дождя 30 мм/ч, скорость автомобиля 60 км/ч, рост водителя − h = 180 см.

   1.4 «Магнитный ограничитель тока» Для размыкания электрической цепи при увеличении силы тока применяется подвижное тонкое полукольцо OA (рис.)


массы m = 3,0 г радиуса R = 1,0 см, которое может свободно (без трения) вращаться в вертикальной плоскости относительно точки O. Система находится в однородном горизонтальном магнитном поле индукции B = 1,5 мТл, перпендикулярном плоскости рисунка. Найдите максимальную силу тока Imax, при которой ограничитель разомкнет цепь. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.

   1.5 «Магнитный толкатель» На горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный диск массы m = 3,0 г радиуса R = 3,5 см, коэффициент трения которого о плоскость − μ = 0,20. К боковой поверхности диска припаяны гибкие легкие контакты A (+) и B (−), так, что угол (рис.).


Система находится в однородном вертикальном магнитном поле индукции B = 1,5 мТл. При какой минимальной силе тока Imax через контакты диск сдвинется с места? В каком направлении это произойдет? Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.

   Задача 10-2 «Смещение и затухание»
   Небольшой шарик массой m, прикрепленный с помощью пружины жесткостью k к упору, может скользить без трения по горизонтальной направляющей.
   Собственная частота колебаний незаряженного шарика равна μo = 10 Гц.


   2.1. Выразите частоту μo колебаний шарика через массу шарика и жесткость пружины.
   На расстоянии zo от положения равновесия шарика размещают проводящий диск, радиус которого r (r < < zo), а толщина h (h < < r).

Ось диска совпадает с направляющей. Затем шарику сообщают электрический заряд q. Удельное электрическое сопротивление материала диска равно ρ = 10 Ом × м.
   Для описания движения шарика вдоль направляющей введем ось OX, начало отсчета которой совместим с положением равновесия незаряженного шарика.

   2.2. Получите выражение для силы Fe(z), действующей на неподвижный шарик со стороны диска, как функцию его расстояния до центра диска z (для z > > r).
   2.3. Получите формулу для определения максимального заряда шарика, при котором он может совершать колебательное движение.

   Для дальнейшего описания поведения системы введем безразмерный параметр γ, равный отношению силы электрического взаимодействия Fe(z) на расстоянии zo к силе упругости пружины, растянутой до диска kzo: γ = Fe(z)/(kzo).
   Шарику сообщили такой электрический заряд , что введенный параметр оказался равным γ = 1,0 × 10−2. После зарядки шарика, сместилось его положения равновесия, и изменилась частота его колебаний.
   2.4. Чему равно относительное смещение положения равновесия шарика ξ = x/zo?
   2.5. Чему равно относительно изменение частоты колебаний шарика Δν/νo?
   2.6. Оцените, за сколько периодов колебаний заряженного шарика их амплитуда уменьшится η = 1,0 %. Трением, сопротивлением воздуха, изменением заряда шарика, электромагнитным излучением пренебречь.
   2.7. Оцените, при каком удельном электрическом сопротивлении материала диска затухание колебаний шарика будет максимальным.
   2.8. Качественно опишите, какие именно свойства индуцированных зарядов (и их изменения) обеспечивают появление сил, действующих на шарик, приводящих к

  • а) смещению положения равновесия;
  • б) изменению частоты колебаний;
  • в) затуханию колебаний.

   При решении задачи можно широко использовать приближенную формулу

(1 + ξ)α ≈ 1 + αξ,

справедливую при малых ξ и любых α.
   Электрическая постоянная εo 8,85 × 10−12 Ф/м.

   Задача 10.3 «На автопилоте»
   В данной задаче вам предстоит проанализировать различные аспекты управления автомобилем.
   В качестве типичных взяты характеристики автомобиля «ВАЗ-21063»
   − масса снаряженного автомобиля m = 1,1 т;
   − максимальная мощность двигателя Pmax = 65 л.с.;
   − максимальная скорость по горизонтальной асфальтированной дороге vmax = 100 км/ч.
   Для справки: 1 л.с. ≈ 0,74 кВт; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 т = 1000 кг.
   Будем считать, что во время движения на автомобиль действуют
   − сила сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости автомобиля

Fconp = βv2; (1)

− постоянная сила трения (которая включает в себя не только силу трения качения об асфальт, но силы трения внутренних деталей автомобиля) − Fo.
Водитель по своему усмотрению может регулировать мощность двигателя P в пределах от нуля до максимального значения («полный газ»).

   Часть I. «Ручное управление»
   3.1. Запишите уравнения, описывающие ускорение автомобиля a = Δv/Δt и скорость изменения его кинетической энергии ΔE/Δt.
   3.2. Для изучения характеристик автомобиля был поставлен следующий эксперимент: автомобиль разгонялся до скорости vo, после чего отключался двигатель и измерялся путь S автомобиля до полной остановки (без включения тормоза за отсутствием такового). Результаты эксперимента представлены в таблице и на графике, где нанесены как экспериментальные точки, так и аппроксимирующая кривая.


 vo, м/с  2,0  4,0  6,0  8,0  10,0  12,0  14,0
 S, м  6,3  21,8  52,8  92,0  136,7  182,8  202,9


   Используя приведенные данные, определите характеристики сил сопротивления: постоянную силу Fo и коэффициент сопротивления β.
   Рассчитайте отношение силы сопротивления воздуха при максимальной скорости автомобиля к силе постоянного трения γ = βvmax2/Fo.
   Независимо от полученного вами значения в дальнейших расчетах считайте, что γ = 3,5.
   3.3. Если двигатель работает с постоянной скоростью, то по прошествии некоторого времени автомобиль движется с постоянной скоростью, которую далее мы будем называть установившейся скоростью.
   Постройте график зависимости установившейся скорости автомобиля при движении по горизонтальной дороге от мощности двигателя. По осям координат отложите относительные величины: отношение скорости автомобиля к его максимальной скорости η = v/vmax и отношение мощности двигателя к его максимальной мощности k = P/Pmax.
   3.4. Используя полученный график, найдите скорость установившегося движения при постоянной мощности P = 0,75Pmax, когда автомобиль поднимается по склону, образующему угол α = 5,0° с горизонтом.
   Определите также скорость установившегося движения автомобиля по горизонтальной дороге, если на его крыше помещен багажник, который увеличивает силу сопротивления воздуха на 20 %.
   3.5. Рассмотрим старт автомобиля. Пусть водитель, нажимая на педаль газа, равномерно увеличивает мощность автомобиля от нуля до максимального значения за время τ.
   С каким ускорением начинает двигаться автомобиль?
Рассчитайте численные значения этого ускорения для τ = 10 c и τ = 1,0 c.

   3.6. Пусть автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью v = ηvmax, затем водитель «дает полный газ».
   Оцените характерное время разгона автомобиля до максимальной скорости.
   Рассчитайте численное значение этого времени для η = 0,75.

   Часть II. «Автоматическое управление»
   Для поддержания постоянной скорости автомобиля u (конечно, меньшей максимальной) в автомобиле установлен «автопилот», регулирующий скорость изменения мощности двигателя в зависимости от требуемой скорости u и текущей скорости v. «Закон управления» мощностью предельно прост:

ΔP/Δt = C(u − v). (2)

   3.7. Покажите, что при таком управлении скорость автомобиля будет стремиться к требуемой скорости u, как при случайном изменении скорости автомобиля, так и при изменении его характеристик − силы постоянного трения, коэффициента сопротивления воздуха, движении по наклонной дороге и т.д. При каких значениях постоянного параметра управления C такое управление возможно? По каким критериям следует выбирать оптимальное значение этого параметра?
   3.8. Пусть автомобиль движется с постоянной скоростью u, а затем его скорость резко уменьшилась (мощность двигателя за время изменения скорости измениться не успела). Постройте схематические графики изменения мощности двигателя и скорости автомобиля от времени после скачкообразного изменения скорости. Рассмотрите несколько различных случаев, отличающихся значением параметра управления C.