Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 14 гостей.

Почему радуга круглая?

 Радуга образуется из-за преломления солнечных (или иных) лучей света в круглых каплях воды, имеющихся в воздухе во время и после дождя или от иных источников капель (например, от поливочного шланга).


 Принципиальное значение имеет то, что капли круглые (сферические). Нетрудно показать, что все лучи, параллельно приходящие от солнца и падающие на сферическую каплю, испытывают преломление на её поверхности и полное внутреннее отражение (то есть отражение от внутренней поверхности капли), и по законам геометрической оптики получают отклонение в пространстве на один и тот же определённый угол. Таким образом, каждая из капель, освещаемых одним и тем же источником света, преломляет все падающие на неё лучи и отражает их обратно, подобно катафоту, таким образом, что они расходятся от капли в пространстве вдоль поверхности конуса с определённым углом раскрыва. При наблюдении массива из многих капель, свободно распределённых в воздухе, мы сможем увидеть отражённые лучи света от тех из них, которые сами расположены под тем же углом относительно нас и источника света (солнца). Очевидно, что такие капли, светящие в нашу сторону, сами также будут располагаться в пространстве на поверхности конуса с тем же углом раскрыва, что и отражённый свет от каждой капли. Для наблюдателя (то есть для нас) конус светящихся капель будет виден как круг, проецирующийся на более тёмное небо или другой фон.
Поскольку свет при отражении от капли дважды проходит границу сред (воздух − вода − воздух), то в силу преломления света, которое имеет различную величину для разных цветов (т. е. для разных длин волн света), разные цвета отклоняются каплями воды на несколько разные углы. Красный свет отклоняется на 137° 30/, а фиолетовый на 139°20/. Соответственно, если мы посмотрим в противоположную от солнца сторону, то в круге, отстоящем от условного центра («противосолнца») на 42°30/ мы увидим капли, светящиеся красным светом, а в круге, отстоящем на 40°40/ − фиолетовым. Все прочие цвета расположатся между ними, и мы увидим собственно радугу, − т. е. светящийся круг (или дугу), в котором снаружи внутрь идут цвета: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. На фото, взятого с сайта clubs.ya.ru, хорошо видна дуга радуги.
 Понятно, что поскольку чаще всего мы видим радугу от Солнца, которое при этом всегда выше горизонта, то «противосолнце» находится несколько ниже горизонта, и радуга получается только в виде части полной окружности, т. е. в виде дуги. Для того, чтобы увидеть круглую радугу, необходимо иметь освещённые капли воды ниже себя. Это можно сделать либо с помощью шланга, либо с помощью самолёта, глядя на дождь сверху. В крайнем случае можно расположить ниже себя источник света, но тогда уже, разумеется, не Солнце.
 Если капли будут не вполне круглые (например, вытянутые при крупном дожде) или будут сильно неоднородны по своим размерам, то радуга будет получаться бледной и неоднородной по цветам, т. е. не такой красивой, как иногда бывает.
 Если организовать капли не из воды, а из какой-либо другой жидкости, то изменится угол преломления света, соответственно, изменится угловой размер видимой радуги.
 Среди других красивых атмосферных явлений можно отметить т. н. «гало», которые образуются на ледяных кристалликах и иногда видны вокруг Луны или Солнца.
Теперь немного геометрической оптики.
 Пусть на дождевую каплю радиусом R падает пучок параллельных световых лучей. Назовем прицельным параметром луча отношение
ξ = ρ/R,

где ρ расстояние от данного луча до параллельной ему прямой, проходящей через центр капли.
 Будем сначала полагать, что все световые лучи имеют одну и ту же длину волны, т. е. будем рассматривать преломление и отражение света в капле без учета его дисперсии.
 Капля имеет форму шара. Сферическая симметрия капли приводит к тому, что все лучи с одинаковым прицельным параметром (эти лучи показаны на рисунке)

будут описывать внутри капли аналогичные траектории и будут выходить из капли под одним и тем же углом к первоначальному направлению. Траектория каждого луча лежит в плоскости, проходящей через исходное положение данного луча и параллельную ему прямую, проведенную через центр капли. Поэтому будем рассматривать двумерную задачу, изображая ход световых лучей в упомянутой плоскости.
 На рисунке показан ход луча,

имеющего прицельный параметр ρ/R.
Легко видеть, что
ρ/R = sinα,

где α − угол падения луча на поверхность капли.
 Так как треугольники АОВ и ВОС равнобедренные, то
<OAB = <ABO

и
<ОВС = <ВСО.

Угол падения равен углу отражения, поэтому
<ABO = <OBC.

 Обозначим все эти углы через β (см. рисунок).
Картина хода луча симметрична относительно прямой OO/. В точках А и С световой луч, преломляясь, поворачивается на угол α − β (в каждой из этих точек).
 В точке В световой луч поворачивается на угол 180° − 2β. Таким образом, выходящий из капли луч СС1 оказывается повернутым относительно исходного направления на угол
2(α − β) + (180 − 2β) = 180 + 2α − 4β.

Это есть угол 180° − γ.
Отсюда следует, что
γ = 4β − 2α. (1)

Заметим, что на рисунке не показаны лучи, отраженные в А и С, а также луч, преломленный в В. Эти лучи не представляют интереса в данном случае.
 Выразим угол γ через прицельный параметр луча, падающего на каплю. Закон преломления в точке А имеет вид:
sinα/sinβ = n,

где n − показатель преломления воды.
Используя (1), получаем
sin((γ + 2α)/4) = sinα/n (2)

или, иначе,
(γ + 2α)/4 = arcsin(sinα/n).

Итак,
γ = 4arcsin(sinα/n) − 2α (3)

или, с учетом того, что
sinα = ρ/R = ξ,

γ = 4arcsin(ξ/n) − 2arcsinξ.

 Вспоминая замечание Ньютона, что размеры капли несущественны и она может «считаться за точку», отметим: соотношения (2) и (3), являющиеся основными для дальнейшего рассмотрения, содержат только углы (углы γ и α) и, разумеется, показатель преломления n.
 На рисунке представлена для желтых лучей зависимость угла γ от прицельного параметра ξ.

 На дождевую каплю падают лучи со всевозможными (от 0 до 1) прицельными параметрами. Они выходят из капли под разными углами γ. Естественно, что наблюдатель увидит более яркими те лучи, которые будут иметь меньшую расходимость. Такими являются лучи, попадающие в район максимума кривой, изображенной на рисунке, т. е. лучи, для которых γ = 42°.
 По выражению Ньютона, именно эти лучи «более сгущены». Сгущение выходящих из капли лучей вблизи угла γ = 42° хорошо демонстрирует следующий рисунок,

на котором показаны рассчитанные траектории световых лучей, характеризующихся разными прицельными параметрами (траектории получены для n = 4/3).
Теперь легко понять, почему радуга имеет вид дуги, наблюдаемой под углом 42° к прямой линии, проходящей через наблюдателя и солнце. Для простоты будем полагать, что солнце находится у самой линии горизонта и что завеса дождя имеет вид отвесной стены, плоскость которой перпендикулярна к направлению солнечных лучей. На рисунке дан разрез плоскостью, совпадающей с плоскостью поверхности, на которой стоит наблюдатель:

MN − завеса дождя, О наблюдатель, О1 − противосолнечная точка. На рисунке заштрихована область, в пределах которой в глаз наблюдателя попадают лучи, каждый из которых испытал в какойто капле дождя отражение и двукратное преломление; вне этой области такие лучи к данному наблюдателю не попадают. Лучи, приходящие к наблюдателю от дождевых капель, находящихся справа от С и слева от D, заметно ослаблены из-за относительно большой расходимости. Наиболее яркими будут лучи, приходящие к наблюдателю от границы заштрихованной области, т. е. от капель вблизи точек С и D, поскольку расходимость этих лучей минимальна. Итак, если бы в спектре солнца была представлена лишь одна длина волны, наблюдатель увидел бы радугу в образе узкой светящейся дуги. При этом небо под дугой будет представляться наблюдателю несколько более светлым, чем небо над дугой.
 Капли дождя, конечно, не висят в воздухе неподвижно, а довольно быстро падают вниз. Поэтому та или иная капля участвует в формировании изображения радуги лишь в течение очень короткого промежутка времени − тогда, когда направление на нее от наблюдателя составляет с направлением OO1 угол, близкий к 42°. Затем капля выходит из игры, но на смену ей приходят новые и новые капли. Капли сменяют друг друга быстро, так что глаз наблюдателя не улавливает происходящей смены; в результате наблюдатель видит неподвижное изображение радуги.
 Аналогичным образом мы видим какое-либо неподвижное изображение на экране кино, несмотря на то, что каждую секунду совершается смена 24 кадров. В этом смысле радугу можно назвать своеобразным «небесным кино».

Смотрите еще