Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 5 гостей.

Готовимся к олимпиаде. Шар в жидкости.

40(Задача 10). Лежащий в сосуде шар из материала плотностью ρ1 имеет герметичную сферическую полость, радиус которой вдвое меньше радиуса R шара. Центр полости находится на расстоянии R/2 от центра шара. К точкам на поверхности шара, находящимся на концах диаметра, проходящего через центры шара и полости, приклеены две одинаковые невесомые нерастяжимые нити, длина каждой из которых больше R. Расстояние между точками крепления других концов нитей к горизонтальному дну сосуда равно 2R. В сосуд наливают жидкость плотностью ρ до тех пор, пока шар не окажется полностью погруженным в жидкость. При этом обе нити оказываются натянутыми. При каких значениях отношения ρ/ρ1 возможна такая ситуация?

Решение.
 Будем считать сосуд с его содержимым покоящимися относительно лабораторной системы отсчета, а ее, в свою очередь, будем считать инерциальной. На шар действуют силы: силы натяжения нитей T1 и T2, сила Архимеда F1, действующая на шар со стороны жидкости, сила тяжести F3, которая должна была бы действовать на шар, если бы он не имел полости, и сила F2, противоположная силе тяжести, которая должна была бы действовать на вещество шара, изъятое из него. При выборе направлений сил T1 и T2 было учтено, что, по условию задачи, обе нити натянуты. Следовательно, указанные силы должны быть направлены вертикально вниз, поскольку шар покоится относительно инерциальной системы отсчета, действующие на шар сила тяжести и сила Архимеда направлены по вертикали, расстояние между точками крепления нитей ко дну сосуда равно диаметру шара, а нить может оказывать силовое действие только тогда, когда она испытывает действие сил, стремящихся увеличить длину нити.
 Поскольку шар покоится относительно инерциальной системы отсчета, то, во-первых, ускорение его центра масс должно быть равно нулю, а во-вторых, должно быть равно нулю и его угловое ускорение.
 Первое условие означает, что сумма всех сил, действующих на шар, равна нулю. Если записать это условие в проекции на ось Oy, направление которой совпадает с направлением ускорения свободного падения g, то оно будет иметь вид:


где символами Ti и Fi обозначены модули соответствующих сил.
 Второе условие сводится к требованию, чтобы была равна нулю сумма моментов всех действующих на шар сил относительно любой оси. Поскольку все силы, действующие на шар, лежат в вертикальной плоскости, в которой лежат точки крепления нитей к шару, то с учетом выполнения соотношения (1) второе требование эквивалентно требованию равенства нулю суммы моментов всех действующих на шар сил относительно любой горизонтальной оси, перпендикулярной ранее указанной вертикальной плоскости. Выберем из всех подобных возможных осей ту, которая проходит через точку крепления первой нити к шару. Тогда, вспоминая, что момент силы относительно оси равен произведению плеча силы относительно этой оси на величину силы, и считая моменты сил, стремящихся вызвать вращение шара по часовой стрелке, положительными, получим:

 Поскольку объем шара радиусом r равен, V(r) = (4/3)πr3, модули сил F1, F2 и F3 должны удовлетворять соотношениям:

Из этих соотношений и уравнений (1) и (2) следует, что

 На основании последних соотношений можно утверждать, что обе нити будут натянуты, если отношение плотности жидкости к плотности материала шара будет больше 15/16, т.к. отношение модулей не равных нулю векторов должно быть положительной величиной.


В банк задач абитуриента
В банк задач олимпиадника