on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 26 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

Преобразования Лоренца. Правило сложения скоростей

 В начале мы записали классическое преобразование координат и времени Галилея. Перепишем их для случая, когда скорость v К/-системы параллельна осям x и х/ (рис.):


x = x/ + v•t/; y = y/; z = z/; t = t/. (1)

 Убедимся в том, что эти преобразования «не работают» в релятивистском случае.
Пусть источник света находится в начале координат K-системы. В момент времени t = 0 происходит вспышка света. Тогда можно записать уравнение сферического светового фронта (рис.):

x2 + y2 + z2 = c2t2. (2)

Здесь ct = r − текущий радиус сферы, увеличивающейся со скоростью с. Очевидно, что при этом ΔS = 0, где ΔS? − интервал между двумя событиями − излучением светового сигнала и прихода света в текущую точку (x, y, z, t).
 Пусть «штрихованная» К/-система, движущаяся со скоростью v, направленной вдоль осей x и х/ (здесь они совпадают), в момент излучения полностью совпадала с К-системой. При этом отсчёт времени в К/-системе мы начнём с момента излучения, когда t/ = 0. Тогда в штрихованной системе отсчёта в силу инвариантности интервала ΔS/ = 0, т.е. сферический световой фронт остаётся сферическим (рис.):
x/2 + y/2 + z/2 = c2t/2. (3)

Если в (2) подставить преобразования координат и времени (1), то совершенно очевидно, что мы никогда не получим сферической формы волнового фронта (3). Это говорит о том, что в данном случае эти преобразования «не работают».
Какими же должны быть эти новые преобразования? Во-первых, в силу того, что все инерциальные системы отсчёта равноправны, то переход от одной ИСО к другой должен описываться одинаковыми формулами со своими значениями V. Кроме того, при обратном переходе (замене +V на −V), мы должны возвращаться в исходную систему отсчёта. Это говорит о том, что преобразования должны быть линейными по x и t, т. е. должны иметь вид:
x = Ax/ + Bt/; y = y/; z = z/; t = Ex/ + Ft/,

где A, B, E, F − некоторые величины, не зависящие от х/ и t/ (но могут зависеть от V).
 Не останавливаясь на довольно простых выкладках, запишем требуемые преобразования, носящие имя нидерландского физика Хендрика Лоренца:
x = (x/ + Vt/)/√{1 − v2/c2}; y = y/; z = z/; t = (t/ + Vx//c2)/√{1 − v2/c2}. (4)

 Легко убедиться в том, что эти преобразования «работают». Достаточно (4) подставить в (2) и получается уравнение сферического фронта (3) (проверьте!). Кроме того, заметим, что при V << с (V/c → 0) уравнения переходят в классические преобразования (1).

Читать еще:
Принцип относительности Галилея.
Постулаты специальной теории относительности.
Лоренцево сокращение длин.
Лоренцево сокращение времени. Собственное время.
Преобразования Лоренца. Правило сложения скоростей.
Эффект Доплера.
Основы релятивистской динамики.