Практикум абитуриента. Динамика криволинейного движения

Практикум абитуриента. Динамика криволинейного движения

Задача 1. Камень брошен со скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Найдите радиус $R$ кривизны траектории в окрестности точки старта. Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача 2. Определите вес $P$ тела массой $m$ на географической широте $\varphi$. Ускорение, сообщаемое силой тяжести, равно $g$. Землю считайте однородным шаром радиусом $R$.

Задача 3. Расстояние от Земли до двойной звезды в созвездии Центавра равно $L = 2,62 \cdot 10^5$ а.е. Наблюдаемое угловое расстояние между звездами периодически изменяется с периодом $T = 80$ лет и достигает наибольшего значения $\varphi = 0,85 \cdot 10^{-5}$ рад. Определите суммарную массу $M$ звезд. Постоянная всемирного тяготения $G = 6,67 \cdot 10^{-11} (Н \cdot м^2/кг^2)$, $1 а.е. = 1,5 \cdot 10^{11}$ м. Орбиты звезд считайте круговыми.

Задача 4. На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис.). В сосуде закреплен тонкий стержень $AB$, наклоненный к горизонту под углом $\alpha$. Однородный шарик радиусом $R$ может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика $\rho_0$, плотность воды $\rho$, $\rho_0 < \rho$. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец $A$ стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии $L$ от этого конца, С какой по величине силой $F$ шарик действует на стержень? Какова угловая скорость $\omega$ вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости $\omega_{min}$ шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?

Задача 5. Однородную цепочку длиной $L$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают, С каким по величине ускорением $a_{\tau}$ будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки $\rho$. Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача 6. Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии $\frac{R}{2}$ от оси, где $R$ - радиус колеса. При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость $v_1$ паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги. Коэффициент трения скольжения ящика по штанге $\mu = 0,4$, радиус колеса $R = 0,8$ м, ускорение свободного падения $g = 10$ м/с2.

Задача 7. Гладкий желоб состоит из горизонтальной части $АВ$ и дуги окружности $BD$ радиусом $R = 5$ м. Шайба скользит по горизонтальной части со скоростью $v_0 = 10$ м/с. Определите величину ускорения шайбы в точке $С$ и угол $\beta$, который вектор $\vec{a}$ ускорения шайбы в этот момент составляет с нитью. Радиус $ОС$ образует с вертикалью угол $\alpha = 60^0$. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с2.

Задача 8. По гладкой проволочной винтовой линии радиусом $R$ с шагом $h$, ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой $m$. За какое время $T$ бусинка опустится по вертикали на $Н$? С какой по величине силой $F$ бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения равно $g$.

Задача 9. Сферический воздушный шар радиусом $R = 5$ м удерживается вертикальной веревкой, его центр находится на высоте $H = 6$ м над горизонтальной поверхностью. С этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью $v_0$ следует бросать камень и на каком расстоянии $s$ от центра шара будет находиться в этом случае точка бросания? Указание: ускорение свободного падения у поверхности Земли в этой и последующих задачах равно $g = 10$ м/с2.

Задача 10. Известно, что спутник, находящийся на орбите, высота которой $h = 3,6 \cdot 10^4$ км, обращается вокруг Земли за одни сутки и может «висеть» над одной и той же точкой экватора. Допустим, что обсуждается вопрос о запуске на такую же высоту спутника, который будет «висеть» над Санкт-Петербургом. Какую по величине и направлению силу тяги $F$ должен развивать двигатель спутника, чтобы удерживать его на заданной орбите? Масса спутника $m = 10^3$ кг , Санкт-Петербург находится на широте $\varphi = 60^0$, радиус Земли $R = 6,4 \cdot 10^3$ км.

Задача 11. По гладкому столу движутся два тела с массами $m_1$ и $m_2$, соединенные легкой нерастяжимой нитью длиной $L$. В некоторый момент первое тело останавливается, а скорость второго равна $v$ и перпендикулярна нити. Найдите силу натяжения нити $T$.

Задача 12. Однородную цепочку массой $m$ и длиной $L$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом $R = 4L$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. Найдите наибольшую величину $T_{max}$ силы натяжения цепочки сразу после ее освобождения. Указание: для рассматриваемых в задаче углов считайте $sin\alpha \approx \alpha, cos\alpha \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$.

Задача 13. В задаче 6 найдите скорость $v_2$, при которой ящик начнет подпрыгивать.

Задача 14. Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом $R$. При движении по такой дороге вектор скорости автомобиля составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью. Найдите направление и величину суммы сил, действующих на автомобиль массой $m$, движущийся по такой дороге с постоянной по величине скоростью $v$. Ось винтовой линии вертикальна.