Нарисуйте графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния r от центра шара

Практикум абитуриента. Напряженность, напряжение, потенциал

Задача 2. Шар радиуса $R$ равномерно заряжен по всему объему. Полный заряд тара $Q$. Нарисуйте графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния $r$ от центра шара.

Решение.

Такой шар можно представить себе состоящим из большого числа тонких заряженных сфер, вложенных одна в другую. Каждая сфера внутри себя поля не создает, а вне создает поле такое же, как точечный заряд, помещенный в ее центр. Поэтому вне шара, при $r > R$, напряженность такая же, как напряженность поля точечного заряда $Q$, помещенного в центр шара:

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r^2}$

Внутри шара, на расстоянии $r < R$, поле создают только сферы с радиусами от $0$ до $r$ (для сфер большего радиуса рассматриваемая точка находится внутри них). Следовательно, напряженность на расстоянии $r$ от центра шара такая же, как напряженность поля точечного заряда $Q_r$. помещенного в центр шара, где $Q_r$ – суммарный заряд всех сфер с радиусами от $0$ до $r$, то есть заряд шара радиуса $r$. Если на шар радиуса $R$ приходится заряд $Q$, то на шар радиуса $r$ будет приходиться заряд

$Q_r = Q\frac{r^3}{R^3}$.

Таким образом, внутри шара напряженность поля

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot R^3} \cdot r$

она линейно растет с расстоянием.

На поверхности шара, в точке $r = R$, напряженность скачка не испытывает. Это находится в соответствии с общим правилом, так как поверхностная плотность заряда в данном случае равна нулю: шар заряжен однородно, и на бесконечно тонкий поверхностный слой приходится бесконечно малый заряд.

График зависимости $E$ от $r$ показан на рисунке.

Нарисуем теперь график потенциала. Производная от потенциала

$\varphi^/ (r) = -E(r)$

всегда отрицательна ($E \geq 0$). Поэтому с увеличением $r$ потенциал должен монотонно убывать. В точке $r = 0$ производная потенциала равна нулю. Следовательно, касательная к графику в этой точке горизонтальна: в точке $r = 0$ потенциал имеет максимум. В точке $r = R$ ни потенциал, ни его производная скачков не испытывают. Первое следует из общего правила для потенциала, о втором мы уже говорили выше. Поэтому кривые, изображающие зависимость потенциала от расстояния при $r < R$ и $r > R$, в точке $r = R$ должны сопрягаться – гладко без излома переходить одна в другую. При $r \to \infty$ потенциал $\varphi \to \infty$. График зависимости $\varphi$ от $r$ представлен на рисунке.