Найти зависимость напряженности и потенциала от расстояния от центра сферы

Практикум абитуриента. Напряженность, напряжение, потенциал

Задача 1. Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Найти зависимость напряженности и потенциала от расстояния $r$ от центра сферы. Нарисовать графики.

Решение.

Найдем вначале напряженность поля.

Внутри сферы электрического поля нет: при $r < R, E = 0$.

Вне сферы напряженность поля такая же, как у точечного заряда $Q$, помешенного в центр сферы: при $r > R$ проекция напряженности на выбранное направление от центра

$E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r^2}$,

где $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

На поверхности сферы, при $r = R$, электрическое поле испытывает скачок

$\Delta E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot R^2}$.

Зависимость $E$ от $r$ графически показана на рисунке.

Величину скачка $\Delta E$ можно выразить через поверхностную плотность заряда

$\sigma = \frac{Q}{4\pi \cdot R^2}$

равную заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности сферы:

$\Delta E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.

Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности его проекция на направление нормали всегда испытывает скачок

$\Delta E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,

независимо от формы поверхности.

Выясним теперь, как меняется потенциал $\varphi$ в зависимости от $r$. Мы знаем, что в любой точке тангенс угла наклона касательной к графику потенциала должен совпадать со значением проекции напряженности (взятой с противоположным знаком). При $0 < r < R$, $E = 0$, и, следовательно, во всех этих точках касательная к графику потенциала должна быть горизонтальной. Это означает, что на участке $0 < r < R$ потенциал не меняется:

$\varphi = const$.

Вне сферы, при $r > R$, производная

$\varphi^/ (r) = -E(r)$

отрицательна и величина ее убывает с расстоянием $r$. Поэтому и потенциал должен убывать с расстоянием, стремясь к нулю при $r \to \infty$. Действительно, чем дальше расположена точка, в которой мы ищем потенциал, тем меньшую работу надо совершать при перемещении единицы заряда из этой точки в бесконечность. Величина потенциала $\varphi$ при $r > R$ такая же, как у точечного заряда, помещенного в центр сферы:

$\varphi = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 \cdot r}$

Может ли потенциал испытать скачок на поверхности сферы, то есть при $r = R$? Очевидно, что нет. Скачок потенциала означал бы, что при перемещении единичного заряда между двумя очень близкими точками 1 и 2 электрическое поле совершало бы конечную работу:

$\varphi_1 - \varphi_2 = E(R) \cdot (r_2 – r_1)$

должно оставаться конечным при $(r_2 – r_1) \to \infty$, что невозможно. Таким образом, потенциал не испытывает скачков.

График зависимости $\varphi$ от $r$ изображен на рисунке.