on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 19 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

Переправы.

   Рассмотрите решение задач.
   Задача 1. Минимальное время, которое необходимо, чтобы переплыть в лодке реку, равно to. Ширина русла реки равна H. Скорость течения реки постоянна в любом месте русла u в β раз больше скорости лодки (β > 1), плывущей в стоячей воде.

  1. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
  2. На какое расстояние снесет лодку за минимальное время переправы?
  3. Определите наименьшее расстояние, на которое может снести лодку за время переправы.
  4. Найдите время переправы лодки в том случае, когда ее сносит на минимальное расстояние.

   1. Минимальное расстояние между берегами − это ширина реки. Если направить лодку перпендикулярно берегу, то время ее движения будет минимальным t = H/vo, так как H − минимально, а vЛ − максимальна, тогда

vЛ = H/to. (1)

   2. Так как вектор скорости лодки направлен перпендикулярно берегу, то снос лодки зависит только от скорости течения. Скорость течения реки vT = βvЛ; за время переправы лодку снесет на расстояние

L = vTto = βvЛto = βHto/to = βH.

Снос лодки (за минимальное время движения) составит
L = βH. (2)


   3. Снос лодки во время переправы будет зависеть от двух факторов: скорости лодки в направлении течения и скорости лодки в направлении перпендикулярном берегу. Необходимо определиться с углом вектора скорости лодки. Относительно простым способом нахождения угла является графический метод. Скорость лодки относительно системы координат, связанной с берегом, равна векторной сумме скоростей течения и лодки (рис.). Из рисунка видно, что минимальное расстояние Lmin сноса лодки соответствует случаю, когда относительная скорость лодки направлена по касательной к окружности радиуса vЛ. Из подобия треугольников скоростей и расстояний, имеющих общий угол α, получим
Lmin/H = v/vЛ,

и так как v ⊥ vo, находим
Lmin = Hv/vЛ = H√{vT2 − vЛ2} = H√{β2(H/to)2 − (H/to)2} = H√{β2 − 1}. (3)

   4. Время переправы лодки, когда ее сносит на минимальное расстояние, зависит от проекции скорости лодки на ось Oy.
   Проекция скорости лодки на Oy равна

vy = vЛcosα.

   С другой стороны
cosα = Lmin/√{Lmin2 + H2} = H√{β2 − 1}/√{H22 − 1) + H2} = √{β2 − 1}/β.

   Время переправы в этом случае
t = Hβ/(vЛ√{β2 − 1}) = βto/√{β2 − 1}. (4)

   Замечание 1. Минимальное время переправы лодки через реку будет в случае движения лодки перпендикулярной берегу.
   Замечание 2. Минимальный снос лодки будет в случае, когда вектор скорости лодки будет перпендикулярен вектору относительной скорости лодки.
   Замечание 3. Определение угла между вектором скорости лодки и (например) вертикалью, для минимального сноса при переправе через реку возможно следующими способами:
   Через исследование функции. При переправе на другой берег

H = vЛcosα × t и L = (vT − vЛsinα)t.

   Составим уравнение траектории L(H)
L = (vT − vЛsinα)H/(vЛcosα) = vTH/(vЛcosα) − Htgα.

   Окончательно, L = vTH/(vЛcosα) − Htgα.

   Продифференцировав последнее уравнение по углу α и, приравняв к нулю производную, найдем, при каких значениях угла α расстояние L будет минимальным.

(vTH/(vЛcosα) − Htgα)/ = vTHsinα/(vЛcos2α − H/cos2α), sinα = vЛ/vT = 1/β.

   Через тригонометрическую единицу
sin2α + cos2α = 1, найдем cosα = √{β2 − 1}/β.

   Методом дискриминанта. Уравнение траектории перепишем в виде

L = vTH/(vЛcosα − Hsinα/cosα)

или
Lcosα = βH − Hsinα.

   Возведем уравнение в квадрат
L2cos2α = β2H2 + H2sin2α − 2βH2sinα.

   Воспользовавшись тригонометрической единицей
sin2α + cos2α = 1.

Тогда
L2(1 − sin2α) = β2H2 + H2sin2α − 2βH2sinα.

   Мы получили квадратное уравнение относительно искомого угла α. Преобразуем его к «нормальному» (удобному виду).
(L2 + H2)sin2α − 2βH2sinα − (L2 − (βH)2) = 0.

   Решение квадратного уравнения имеет вид:
sinα1,2 = (βH2 ± √{(βH2)2) − (β2H2 − L2)(L2 + H2)})/(L2 + H2).

   При этом D ≥ 0:
β2H4) − (β2H2 − L2)(L2 + H2) = L2(L2 − β2H2 + H2) ≥ 0.

   При уменьшении L уменьшается дискриминант. Минимальное значение D = 0. Тогда,
L2 = β2H2 − H2, и L = H√{β2 − 1},

что соответствует минимальному сносу.
   Из рисунка видно, что
cosα = Lmin/√{Lmin2 + H2} = H√{β2 − 1}/√{H22 − 1) + H2} = √{β2 − 1}/β.

   Замечание 4. Если скорость течения меньше скорости лодки, то минимальный снос возможен только при движении лодки за минимальное время (см. решение 1).

   Задачи для самостоятельного решения.
   1. Катер, переправляясь через реку шириной 800 м, двигался со скоростью 4 м/с так, что время его переправы оказалось минимальным. На сколько будет снесен катер течением, если скорость течения реки равна 1,5 м/с? [300]

   2. При переправе через реку шириной 60 м надо попасть в точку, лежащую на 80 м ниже по течению, чем точка старта. Лодочник управляет моторной лодкой так, что она движется точно к цели со скоростью 8 м/с относительно берега. Какова при этом скорость лодки относительно воды, если скорость течения реки 2,8 м/с? [6]

   3. Под каким углом к берегу должна идти моторная лодка, чтобы пересечь реку шириной 300 м за минимальное время, если скорость лодки относительно воды 18 км/ч, а скорость течения 2 м/с? На сколько при этом сместится лодка вдоль берега? [90°; 120]

   4. На лодке переплывают реку, отправляясь из пункта A. Ско-рость лодки в стоячей воде 5 м/с, скорость течения реки 3 м/с, ширина реки 200 м. а) В какой точке лодка пристанет к противоположному берегу, если держать курс перпендикулярно берегам? б) Какой курс следует держать, чтобы попасть в точку B, находящуюся на противоположном берегу напротив точки A? Для обоих случаев найдите время переправы. [S = 120м; α = 37°; t = 50 с]

   5. Пловец хочет переплыть реку шириной h. Под каким углом α к направлению течения реки он должен плыть, чтобы переправиться за наименьшее время? Какой путь он проплывет? Скорость течения реки u, скорость пловца относительно воды v. За какое время он переплывет реку по наикратчайшему пути? [α = 90°; l = h√(u2 + v2)/v]

   6. Два катера вышли одновременно из пунктов A и B находящихся на разных берегах, причем пункт B ниже по течению. Оба катера движутся по прямой AB, длина которой равна l = 1 км. Прямая AB образует угол α = 60° с направлением скорости течения, которая равна v = 2 м/с. Катера встретились через 3 мин после отхода от причалов. На каком расстоянии от пункта B произошла встреча? [S = l/2 = 320 м]

   7. Турист, сплавлявшийся на байдарке по реке, заметил, что поток несет его к середине упавшего и перегородившего ему путь дерева в тот момент, когда расстояние от носа байдарки до дерева было S = 30 м. Оценить, под каким углом к скорости течения он должен направить байдарку, чтобы обойти преграду. Скорость течения реки u = 3 км/ч, скорость байдарки относительно воды 6 км/ч, длина дерева l = 20 м. [α = 31°]

   8. Скорость течения реки 5 м/с, ее ширина 32 м. Переправляясь через реку на лодке, скорость которой относительно воды 4 м/с, рулевой обеспечил наименьший возможный снос лодки течением. Чему равен этот снос? [24]

   9. Из пункта A, расположенного на берегу реки, необходимо попасть в пункт в пункт B, находящийся на противоположном берегу, выше по течению на расстоянии 2 км от перпендикуляра, проведенного из точки A к противоположному берегу. Ширина реки 1 км, максимальная скорость лодки относительно воды 5 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Сможет ли лодка переплыть за 30 мин на другой берег, двигаясь по прямой AB. [t ≈ 43 мин, нет]

   10. Две моторные лодки, расположенные друг против друга на противоположных берегах прямолинейного участка шириной H = 200 м, совершают переправу так, что время переправы одной лодки и перемещение другой лодки за время ее переправы минимальны. Скорость v = 5 м/с каждой лодки относительно воды в n = 2 раза больше скорости течения. Найти минимальное расстояние между лодками и время T их движения для сближения на это расстояние, если лодки начинают переправу одновременно. Скорость течения и скорость движения каждой лодки в течение переправы считать постоянными. [52; 20]


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.