Практикум абитуриента: движения со связями | FizPortal
Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 1 гость.

Движения со связями.

   Рассмотрите решение задач.
   Задача 1. Палочка движется по плоскости. В некоторый момент скорость одного конца палочки направлена вдоль палочки и равна 25 см/с, а скорость второго конца направлена под углом 60° к линии палочки. Чему равна в этот момент скорость (в см/с) второго конца?

   Палочка движется по плоскости. Скорость одного конца палочки имеет известное значение и направление. Хотя с направлением возможны варианты (их два). Приступим к рисунку задачи. Изобразим палочку (вид сверху) и выберем направление вектора скорости одного конца палочки (вдоль палочки), пусть это будет точка A (рис. 5.1).


Теперь перейдем ко второму концу палочки. Известно, что вектор скорости второго конца палочки направлен под углом 60° к линии палочки. Будем рассуждать логически. Палочка твердое тело и при движении все точки палочки в направлении палочки должны иметь одинаковые скорости. В противном случае палочка будет деформироваться. Тогда направление вектора скорости второго конца предопределено (рис. 5.2).

Тогда решение задачи очевидно
vBcosα = vA, откуда vB = vA/cosα = 25/ cos60° = 50 см/с.

   Замечание 1. В задачах со связями необходимо учитывать, что палочка, нить, фигура и т. д. являются твердыми, жесткими, нерастяжимыми и недеформируемыми.
   Замечание 2. Решим данную задачу используя метод мгновенной оси вращения. Если посмотреть на рисунок 5.2, то видно, что палочка кроме поступательного движения вдоль палочки еще и вращается (можно определить мгновенную ось вращения). Проведем перпендикуляры к векторам скоростей концов палочки (вектор скорости перпендикулярен радиусу). Точка пересечения этих перпендикуляров и даст нам мгновенный центр вращения т. О(рис. 5.3).


Палочка, в данный момент, вращается относительно т. О с угловой скоростью равной
ω = vA/r = vB/R.

Откуда
vB = vA(R/r) = vA/sinα = vA/cosβ = 25/cos60° = 50 см/с.

   Задача 2. Пластинка в виде равностороннего треугольника ABC движется по плоскости. В некоторый момент скорость точки A направлена параллельно AC, а скорость точки B направлена параллельно BC и равна 15 см/с. Чему равна в этом момент скорость (в см/с) точки C?

   Решение.
   1 способ. Так пластинка жесткая, то проекция скоростей вершин на направление сторон должны быть равны друг другу (рис. 5.4):


vAcos60° = vBcos60°, откуда vA = vB.

vB = vCcosα, vA = vB = vCcosα = vCcos(120° – α).

Последнее уравнение перепишем в виде:
cosα, = cos120°cosα + sin120°sinα.

Решаем это простое тригонометрическое уравнение и находим α = 60°.
Тогда из уравнения vB = vCcosα находим vC = vB/cosα. После подстановки vC = vB/cos60° = 2vB = 30 см/с.
   2-й способ. Воспользуемся методом мгновенной оси вращения пластинки (рис. 5.5).

Для этого проведем радиусы кривизны к векторам скоростей точек A и B. Точка пересечения двух радиусов дает точку мгновенной оси вращения. Точка C в этот момент тоже вращается относительно этой точки вращения, ее скорость перпендикулярно радиусу, проведенному из точки C к этому центру.
   Тогда справедливо следующее утверждение (треугольник жесткая система)
vB/r = vC/R.

   Радиус кривизны точки C в этот момент найдем из следующих соображений
R = r/sinβ.

   Угол β, очевидно, равен 30°, так как радиус R является биссектрисой угла равностороннего треугольника.
   Окончательно,
vB/r = vCsinα/r.

Откуда
vC = vB/sin30° = 2vB = 30 см/с.

   Замечание. Доказать что угол α равен 60° можно проще. Проекция вектора скорости т. C на сторону треугольника AC равна vCcosγ = vA, а проекция на сторону BC равна vCcosα = vB (см. рис.). Так как

vA = vB, то cosα = cosγ

и, следовательно, α = γ. На угол α и γ приходится 120°, следовательно, α = γ = 60°.

Решите задачу самостоятельно и сверьте свое решение с авторским.
66. Палка длиной 1 м лежит на земле. Один конец палки начинают поднимать с постоянной скоростью 1,2 м/с вертикально вверх. С какой скоростью (в см/с) будет скользить по земле нижний конец палки в тот момент, когда верхний окажется на высоте 80 см? [решение]

Для закрепления вопроса решите задачи из темы движение со связями.


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.