Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 7 гостей.

Задачи аналогии.

   Рассмотрим решение следующих задач.
   Задача 1. По прямому шоссе движется автобус со скоростью v1 = 16 м/с. Впереди по ходу автобуса в поле на расстоянии d = 60 м от шоссе и S = 400 м от автобуса находится человек, который может бежать со скоростью v2 = 4 м/с (рис. 4.1). В каком направлений он должен бежать, чтобы успеть «перехватить» автобус? При какой наименьшей скорости человека это возможно? В каком направлении следует бежать с такой скоростью?


   Решение.
   Пусть автобус находится в точке A, человек в точке B. Определим, под каким углом β к линии AB может бежать человек (он должен попасть в точку C одновременно с автобусом или раньше его); время движения автобуса t1 = AC/v1, время движения человека t2 = BC/v2 ≤ t1. Отсюда v1/v2. Применяя теорему синусов к треугольнику ABC: AC/BC = sinβ/sinα и учитывая, что sinα = d/S, получаем: sinβ ≥ v1d/(v2S).
   Тогда arcsin{v1d/(v2S)} ≤ β ≤ 180° – arcsin{v1d/(v2S)}; 37° ≤ β ≤ 143°.
   Хотелось обратить внимание на то, что в этой задаче самым трудным является удачный выбор неизвестной величины β.
   Поскольку sinβ ≥ v1d/(v2S), условием разрешимости задачи является v1d/(v2S ≤ 1 или v2 ≥ v1d/S. Значит,
v2min ≥ v1d/S = 2,4 м/с.

   При такой скорости sinβ = 1, β = 90° – т. е. бежать следует под прямым углом к направлению на автобус (а не к дороге).
   Замечание 1. Интерес, разумеется, представляет только случай когда скорость человека меньше скорости автобуса (v < u), так как при v > u человек может убежать от автобуса на любое расстояние.
   Замечание 2. Перейдем в систему отсчета, в которой автобус покоится. Эта система отсчета движется относительно земли в левую сторону со скоростью автобуса v1. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость v1, направленную влево (рис. 4.2).

Вектор полной скорости человека в новой системе отсчета v равен векторной сумме v1 и скорости человека относительно земли v2.
   Эта задача эквивалентна задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе отсчета автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора определяется таким же построением (см. задачу о сносе лодки). Траектория человека в системе отсчета, где автобус неподвижен, – это прямая AB. Траектория же в системе отсчета, связанной с землей, – прямая BC. Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом α к нему, причем sinα = v2/v1.
   Замечание 3. Воспользуемся аналогией с «движением» светового луча (принцип Ферма). Тогда угол β определяется как предельный угол полного отражения (рис. 4.3):

sinβ/sin90° = n2/n1 = (c/v1)/(c/v2) = v2/v1,

откуда следует, что β = arcsin(v2/v1).

   Задача 2. Два тела одновременно начинают движение из точки, удаленной на 1 м от стенки: первое – от стенки под углом 30° к ней, второе – к стенке под углом падения 30° и после упругого отражения сталкивается с первым. Какой путь пройдет первое тело до удара со вторым, если его скорость в √3 раз меньше скорости второго тела?

   Решение 1. Геометрическое решение задачи (рис. 4.4).


Угол между векторами скоростей равен 90° (α + (90° – α) = 90°). Расстояние пройденное вторым телом до удара ос стенку равно S1 = l/cosα. Тогда отношение катетов L/S1 = tg2α (угол падения равен углу отражения).
L = S1tg2α.

Или
L = (l/cos&lapha;)•tg2α = (1/cos30° •tg(2•30°)) = 2.

Следовательно, путь первого тела до удара со вторым равен 2 м.

   Решение 2. Время движения тел до встречи будет одинаковым.

t = L/v1, t1 = l/(v2cosα) и t2 = √{L2 + (l/cosα)2}/v2.

   Сумма времени движения второго тела t1 + t2 = t равно времени движения первого тела.
l/(v2cosα) + √{L2 + (l/cosα)2}/v2 = L/v1.

   По условию задачи v2/v1 = √3, тогда
l/(v2cosα) + √{L2 + (l/cosα)2}/v2 = √3L/v2.

и
l/cosα + √{L2 + (l/cosα)2} = √3L.

   Осталось решить последнее уравнение относительно искомого расстояния L.
L2 + (l/cosα)2 = 3L2 – 2lL√3/cosα + (l/cosα)2 L = l√3/cosα = 2 м.

   Решение оказалось более длинное, но привело, все же, к желаемому результату.

   Решение 3. Воспользуемся «методом зеркальных отражений» (рис. 4.5).


Движение точки из A в C и B, аналогично движению этой же точки и A/B по прямой. Угол между прямой A/B и A/A равен α. Воспользуемся теоремой косинусов для ΔAA/B.
(AB)2 = (A/B)2 + (2l)2 – 2A/B•2l•cosα. (1)

   По условию задачи v2/v1 = √3, а, значит и v2t/v1t = A/B/AB = √3 или A/B = √3AB. С учетом этого (1)
(AB)2 = (AB√3)2 + (2l)2 – 2AB•√3•2l•cosα.

   После упрощения (AB = L) имеем L2 – 3Ll + 2l2 = 0. Решая квадратное уравнение, находим корни L1 = 2 м и L2 = 1 м. По смыслу задачи выбираем корень L1 = 2 м, а L2 = 1 м не подходит по смыслу задачи (интересно почему?).

   Решение 4. «Находясь» в точке A/ изменим систему отсчета, связав ее с первым телом «остановив» его. Тогда к остановленному телу будет приближаться второе тело с относительной скоростью

vom = √{v1√3 + v12 + 2v1•v1√3•cos(90o + α)}.

   И пройдет расстояние 2l за время: t = 2l/vom. За это время первое тело удалится (в системе отсчета связанной с землей) на расстояние
2v1l/vom = 2l/√{v1√3 + v12 + 2v1•v1√3•cos(90o + α)} = 2 (м).

 Задав вопрос учащимся − какой предмет, на ваш взгляд является самым сложным в школе, в 95 случаях из 100 получаем ответ − физика. Мало понять, предложенный метод, надо самостоятельно прорешать разобранные задачи, далее решить задачи для самостоятельной работы. После этого надо объяснить их своему товарищу. Когда объясняете, Вы учите не своего товарища, а самого себя. Ниже Вам предлагаются задачи для самостоятельной работы. Обязательно добивайтесь конечного результата.

Для закрепления материала решите задачи.
1. Автомобиль, находящийся на расстоянии l от длинной бетонной стены и движущейся от нее со скоростью v так, как показано на рисунке, посылает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до встречи с отраженным сигналом? Скорость звука u. [x = 2lv(vsinα + {u2 − v2coa2α})/(u2 − v2)]


   2. Человек находится на берегу озера в точке A и хочет в кратчайшее время попасть в точку B, находящуюся на озере. Скорость движения человека в воде v1, а по берегу v2. По какой траектории следует двигаться человеку, если v2 > v1? [Бежать по суше расстояние S − x, не добежав до точки C расстояние x = dv1/√{v22 − v12}, и, далее − по воде]

   3. Два человека стоят на расстоянии h1 и h2 от стенки и l − друг от друга. Один из них сказал слово, другой услышал конец слова, совпавшее с началом эха этого же слова. Скорость звука c. Определите длительность звучания слова. [t = (√{l2 + 4h1h2} − l)/c]


Смотрите еще:
Практикум абитуриента, школьника, олимпиадника.
Подготовка олимпиадника.
Подготовка абитуриента.