Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 17 гостей.

Задание 9. 7, 8, 9 класс.

   3. Кипятильник представляет собой резистор длиной l, сопротивление единицы длины постоянно и равно λ. Кипятильник медленно, со скоростью v, погружают вертикально на глубину h в стакан воды, причем h > l, а затем с такой же скоростью вынимают. Кипятильник включен в сеть с постоянным напряжением U, теплоемкость стакана вместе с водой C. Пренебрегая тепловыми потерями и вязкостью жидкости, найти изменение температуры воды в результате такого нагревания.

   Решение.
   За малое время Δt кипятильник передаст воде теплоту

ΔQ = I2r(t)Δt,

где r(t) − сопротивление погруженной части кипятильника, которое меняется в процессе погружения, а I = U/(λl) − постоянный во времени ток через кипятильник.
   В задаче, фактически, требуется просуммировать величины ΔQ на всех промежутках времени. При этом величину I2 можно вынести из суммы как общий множитель. Таким образом, требуется просуммировать величины r(t)Δt.
   Найдем зависимость r(t) и построим ее график. Кипятильник проводит в воде время to = 2h/v. Начальный промежуток времени t1 = l/v он погружен полностью, сопротивление погруженной части равномерно увеличивается до rmax = λl, затем в течение времени to − 2t1, сопротивление погруженной части не меняется, и, наконец, конечный промежуток времени t1 сопротивление равномерно уменьшается (рис.).

   Можно понять, что искомая сумма величина r(t)Δt соответствует площади под графиком r(t). Действительно, разбив график на узкие прямоугольники высотой r(t) и шириной Δt, замечаем, что площадь каждого такого прямоугольника как раз равна одному слагаемому искомой величины. Чем меньше величина Δt, тем лучше сумма площадей прямоугольников приближается к площади под графиком.
Итак, полная переданная теплота
Q = SU2/(λ2l2),

где S − площадь трапеции под графиком. Основание трапеции to и to − 2t1, ее высота rmax, поэтому
S = (2h − l) × λl/v.

   Изменение температуры системы составит ΔT = Q/C.
   Температура воды увеличится на
ΔT = U2(2h − l)/(Cλvl).