Задание 8. 7, 8, 9 класс.
   Задача 6. Мальчик поднимается в гору со скоростью 1 м/c. Когда до вершины остается идти 100 м, мальчик отпускает собаку, и она начинает бегать между мальчиком и вершиной горы. Собака бежит к вершине со скоростью 3 м/c, а возвращается к мальчику со скоростью 5 м/c. Какой путь успеет пробежать собака до того, как мальчик достигнет вершины?

   Решение.
   Пусть скорость мальчика равна v, скорость собаки вверх − v₁, вниз − v₂.
   Отношение пути S_c, который пробегает собака в течение одного своего пробега туда и обратно, к пути S, который за это время проходит мальчик, постоянно (зависит только от скоростей). (Это можно получить как из последующих вычислений, так и из графических соображений).
   Путь, который пробегает собака за один такой пробег, уменьшается до нуля по мере подхода мальчика к вершине. Поэтому искомый полный путь собаки равен

100 м × S_c/S,
т.к. полный путь мальчика 100 м.
   Пусть в момент очередной встречи собаки с мальчиком их отделяет от вершины расстояние L, τ − время до следующей встречи. Время, за которое собака добегает до вершины равно L/v₁. Следовательно, собака возвращается от вершины до мальчика за время
τ − L/v₁.
   Собака бежит до вершины расстояние L, затем возвращается на расстояние
v₂(τ − L/v₁.
Мальчик при этом проходит расстояние vτ.
vτ = L − v₂(τ − L/v₁.
Отсюда
τ = L(1 + v₂/v₁)/(v + v₂) = 4L/9.
S_c/S = (L + v₂(τ − L/v₁))/(vτ) = 7/2.
   Ответ: S_c = 350 м.