Задание 4. 7, 8, 9 класс.
   Задача 3. В железной водопроводной трубе l = 100 м, проложенной под Землей, во время сильного мороза замерзла вода на участке l₁ = 5 м. Для предотвращения ледяной пробки к концам трубы подключили источник постоянного тока с силой тока 1000 A.
   3.1. Сколько времени понадобится для устранения ледяной пробки, если температура всей системы равна 0 °С.
   3.2. Определите напряжение на источнике тока.
   3.3. Как изменится время устранения ледяной пробки, если вода замерзнет во всей трубе?
   Технические данные: внутренний диаметр трубы 20 мм, наружный – 26 мм, плотность железа 7800 кг/м³, удельная теплоемкость железа 460 Дж/(кг × °С), удельной сопротивление 0,1 Ом × мм²/м. Плотность льда 900 кг/м³, удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг × °С), удельная теплота плавления льда 3,4 × 10⁵ Дж/кг.
   Примечание: Для упрощения решения можно считать, что снаружи трубы находится также замерзшая вода.

   Решение.
   3.1. Теплота, подводимая к трубе расходуется на: Q₁ – потери вне трубы, Q₂ – теплота идущая во внутрь трубы, Q₃ – теплота идущая на нагревание трубы.
Теплота Q₁ и Q₂ отличаются друг от друга как

Q₁/Q₂ = ~lπD₁/~lπD₁ = D₁/D₁ = 26/20 = 1,3,
то есть
Q₁ = 1,3Q₂.
   Составим уравнение теплового баланса
Q = 1,3Q₂ + Q₂ = 2,3Q₂. (1)
   Здесь потерями на нагревание трубы пренебрегаем, так как температура всей системы равна 0 ^oС.
   Во внутрь от трубы передается теплота Q₂ и часть ее идет на плавление льда
Q₂/Q₂^/ = ~lπD₁/~l₁πD₂ = l/l₁
и
Q₂ = (l/l₁) × Q₂^/,
где
Q₂^/ = λm.
   Перепишем уравнение (1) в виде
I²Rt = 2,3(l/l₁) × λm,
где
R = ρ_жl/S = ρ_ж4l/(π(D₁² − D₂²))
сопротивление железной трубы,
m = ρ_лπD₂²l₁/4
масса ледяной пробки.
I²ρ_ж4lt/(π(D₁² − D₂²)) = 2,3(l/l₁)λρ_лπ D₂²l₁/4. (2)
   Отсюда выразим искомое время
t = 2,3λρ_лπ²D₂²(D₁² − D₂²)/(16ρ_жI²). (3)
   После вычислений получаем t = 7,98 мин ≈ 480 с.
   3.2. Напряжение определим из закона Ома для участка цепи
U = IR = I × 4ρ_жl/(π(D₁² − D₂²)) = 46 B.
   3.3. Как следует из формулы (2) − (3) время размораживания льда в трубе не зависит от количества замерзшей воды в трубе, следовательно, время размораживания останется прежним.