Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 30 гостей.

Занятие 11.

Задача 6.Подземная река упрятана в русло, образованное полуцилиндрическим бетонным куполом радиусом R = 2,0 м и горизонтальной поверхностью AOC (рис.). Найдите силу давления воды F на левую половинку купола, а также угол α, который образует вектор силы F с горизонтом. Длина русла (за чертеж) – L = 10 м. Плотность воды ρ = 1,0 × 103 кг/м3. Ускорение свободного падения g = м/с2.

Решение.
 Обозначим проекции искомой силы давления F жидкости на горизонтальную ось − Fx, на вертикальную − Fy (рис.).


Тогда из соответствующего прямоугольного треугольника сил имеем
F = √{Fx2 + Fy2}, tga = Fy/Fx. (1)

 Сила горизонтального давления Fx на половинку BC купола равна по модулю (и противоположна по направлению) силе давления на вертикальное сечение OB системы. Это следует из условия равновесия каждой из половинок купола. Атмосферное давление можно не учитывать, т.к. оно оказывает действие с обеих сторон купола.
Поскольку гидростатическое давление с глубиной возрастает линейно, а элементарные площадки имеют одинаковую длину L, то среднее давление для этого сечения (см. рис.)
pcp = ρgh/2 = ρgR/2.

 Учитывая, что площадь всего прямоугольного сечения SBO = LR, окончательно получим
Fx = ρgRLR/2 = ρgLR2/2. (2)

 Для нахождения Fy воспользуемся т.н. «гидростатическим парадоксом». Сила вертикального давления на дно (сечение OC) с одной стороны может быть найдена по определению как произведение постоянного давления p = ρgR на площадь дна SOC
FOC = pSOC = ρgLR2, (3)

а с другой − как сумма силы тяжести воды на рис. и Fy. Действительно, по III закону Ньютона, бетонный купол «прижимает» воду ко дну тоже с силой Fy. Таким образом,
ρgLR2 = Fy + ρgπR2L/4. (4)

Из (4) находим
Fy = (4 − π)ρgLR2/4. (5)

Окончательно, с учетом (1), (2) и (5) получаем
F = (ρgLR2/4) √{4 + (4 − π)2} = 2,1 × 105 H. (6)

tgα = (4 − π)/2 = 0,43, α = 23°. (7)

 Как видим из (6), сила давления воды достаточно велика − крепления половинок русла должны быть надежными! Кроме того, из (7) следует, что значение угла α на рис. преувеличено примерно в 2 раза, т.е. вода значительно больше «толкает» половинку горизонтально, чем «приподнимает».