Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 9 гостей.

Задание 10..

   Задача 3. При изучении физических явлений, особенно плохо знакомых, полезно построить правдоподобную, пусть и примитивную модель. Сейчас вам предстоит в рамках модели подобного типа объяснить закон Ома.
   Носителями электрического тока в металлах являются электроны (элементарные частицы, масса которых равна m, а электрический заряд e). Концентрация электронов (число электронов в единице объема) зависит от рода металла. Пусть в нашем случае она известна и равна n. Внутри проводника в течение некоторого промежутка времени τ (которое считайте постоянным и известным) электрон движется свободно под действием сил электрического поля, а затем сталкивается с ионом кристаллической решетки и полностью теряет свою скорость. Рассмотрим цилиндрический проводник длиной L и площадью поперечного сечения S, к концам которого приложено постоянное электрическое напряжение U.

  1. Чему равна электрическая сила, действующая на отдельный электрон?
  2. Чему равна средняя скорость направленного движения электронов?
  3. Покажите, что в рамках данной модели выполняется закон Ома для участка цепи.
  4. Найдите силу тока в цепи.
  5. Выразите удельное электрическое сопротивление металла через его характеристик (концентрацию электронов n, время свободного движения электронов τ) и характеристики электрона.

Решение.
1. График зависимости скорости частицы от времени представляет собой набор прямолинейных отрезков,


коэффициент наклона которых к оси времени равен ускорению частицы a.
 Зависимость координаты от времени изображается в виде набора парабол,

каждая из которых описывается функцией
x = xo + at2/2. (1)

 Средняя скорость движения частицы за большой промежуток времени равна средней скорости на временном интервале равноускоренного движения, т.е.
vcp = aτ/2. (2)

2. Время движения частицы на одном интервале равноускоренного движения определим из уравнения
l = aτ2/2, τ = √{2l/a}. (3)

 Тогда средняя скорость движения будет равна
vcp = l/τ = √{al/2}. (4)

3. Как известно, электрическое напряжение равно работе электрических сил по перемещению единичного заряда, поэтому
U = FL/e, F = eU/L. (5)

4. Ускорение электрона между столкновениями определяется по второму закону Ньютона
a = F/m, a = eU/(mL). (6)

Так как в течение промежутка времени τ электрон движется с постоянным ускорением, а затем полностью теряет свою скорость, его средняя скорость равна (см. (2))
vcp = aτ/2 = eUτ/(2mL). (7)

5. Сила электрического тока равна заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени. Так как концентрация электронов в проводнике постоянна, то сила тока пропорциональна средней скорости движения электронов. Так как средняя скорость пропорциональна приложенному напряжению, то сила тока пропорциональна приложенному напряжению, что и соответствует закону Ома.
6. Через поперечное сечение проводника за время t пройдут те электроны, которые находятся от рассматриваемого сечения на расстояниях меньших, чем vcpt, то есть в объеме проводника vcptS, умножая этот объем на концентрацию электронов, получим число электронов в этом объеме vcptSn, для вычисления суммарного заряда необходимо умножить число электронов на заряд одного электрона. Таким образом, за время t через поперечное сечения проводника протечет заряд q = vcptSne. Следовательно, сила тока в цепи
I = q/t = vcpSne = e2τSnU/(2mL). (8)

7. Запишем закон Ома в «традиционной» форме и выразим сопротивление проводника через его размеры и удельное электрическое сопротивление
I = U/R = US/(ρL). (9)

 Сравнивая данное выражение с полученной ранее формулой (8), находим удельное электрическое сопротивление материала проводника
ρ = 2m/(e2τn).