Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 10 гостей.

Задача 6. «Упругая цепочка»

   Бесконечная цепочка состоит из одинаковых шариков (масса каждого m), соединенных одинаковыми легкими пружинами (жесткость каждой γ). В положении равновесия расстояния между шариками равны l, пружины немного растянуты так, что сила натяжения каждой равна To.

Часть 1. Продольные волны.

   Допустим, что каждый шарик может двигаться только в направлении вдоль цепочки.

  1. Найдите собственную частоту колебаний одного из шариков ωo, если два соседних закреплены.
  2. По цепочке распространяется продольная волна. Найдите сдвиг фаз между колебаниями двух соседних шариков при частоте волн w.
  3. При каких частотах колебаний ω по цепочке могут распространяться бегущие волны?
  4. Найдите скорость распространения продольной волны по цепочке. Постройте примерный график этой зависимости.
  5. Найдите скорость распространения продольной волны при частотах ω << ωo. Покажите, что полученное выражение можно считать аналогом формулы для скорости звука в упругой среде с = √(E/ρ), где E − модуль Юнга, ρ − плотность среды.
  6. В цепочке неподвижно закрепили неподвижно два шарика так, что между ними оказалось n шариков. Определите все частоты собственных колебаний этого участка цепочки, соответствующие различным модам стоячих волн.

Часть 2. Поперечные волны.

   Пусть шарики способны перемещаться только в направлении перпендикулярном цепочке, причем их смещения малы (Δx << l).

  1. Определите частоту поперечных колебаний одного шарика, если два соседних закреплены.
  2. Найдите скорость распространения поперечной волны по цепочке.
  3. Найдите скорость распространения поперечной волны при частотах ω << ωo. Покажите, что полученное выражение можно считать аналогом формулы для скорости поперечных волн в упругой среде с = √(G/ρ), где G − модуль сдвига, ρ − плотность среды.
  4. Найдите минимально возможную длину волны, которая может распространяться по цепочке.
  5. На основании качественных рассуждений определите, как зависит скорость распространения поперечной волны от ее амплитуды, когда смещение шариков сравнимо с расстоянием между ними.