Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 7 гостей.

Длинные олимпиадные задачи.

Задание 3. Полупроводник.

 В данном задании вам предстоит теоретически описать электрическую проводимость чистого (без примесей) полупроводника и ее зависимость от температуры и освещенности. Рассматриваемые ниже явления находят широчайшее применение в современных электронных приборах, в частности терморезисторах и фоторезисторах. В качестве примера полупроводника используется кристаллический кремний (c-Si), модель его кристаллической решетки показана на рисунке. Для численных расчетов используются характеристики именного этого вещества. В задаче используются традиционные обозначения, принятые в физике полупроводников.

1.Введение − напоминание.
 Для описания протекания электрического тока внутри вещества удобно пользоваться такой характеристикой, как плотность электрического тока j. Плотность тока определяется как количество электрического заряда, протекающего через площадку единичной площади, перпендикулярной направлению движения зарядов в единицу времени (или как сила электрического тока, протекающего через площадку единичной площади):
j = Δq/(ΔS•Δt) = ΔI/Δt. (1)

 Плотность тока является векторной величиной, ее направление совпадает с направлением движения положительно заряженных частиц.
  1.1 Пусть электрический ток равномерно протекает вдоль однородного цилиндра. Используя закон Ома для участка цепи, покажите, что плотность электрического тока внутри цилиндра рассчитывается по формуле
j = σE, (2)

где E − напряженность электрического поля внутри цилиндра, σ − удельная проводимость материала цилиндра (величина обратная удельному электрическому сопротивлению σ = 1/ρ).

  1.2 Пусть одинаковые частицы (заряд каждой равен q) движутся с одинаковыми скоростями v. Концентрация частиц в потоке равна n. Чему равна плотность электрического тока в данном потоке частиц?

  1.3 Покажите, что средняя скорость направленного движения электронов в металле при протекании постоянного электрического тока пропорциональна напряженности электрического поля в металле
vcp = μE. (3)

где коэффициент пропорциональности μ называется подвижностью электронов. Выразите удельную проводимость металла через подвижность электронов и их концентрацию в металле.

2. Терморезистор.
 Энергетические состояния электронов в кристалле состоят из нескольких зон. Верхняя заполненная зона называется валентной зоной, а следующая за ней зона возможных состояний − зоной проводимости. Между ними располагается запрещенная зона − электроны в кристалле не могут иметь такие значения энергии! Разность энергий между верхним краем валентной зоны и нижним краем зоны проводимости называется шириной запрещенной зоны и обозначается Eg.


 Электроны, находящиеся в валентной зоне, «привязаны» к своим атомам и не могут перемещаться по кристаллу, следовательно, не могут быть носителями электрического тока. Электроны, находящиеся в зоне проводимости являются свободными, поэтому служат носителями электрического тока.
 В рассматриваемом кристаллическом кремнии при температуре абсолютного нуля все электроны находятся в валентной зоне, зона проводимости пуста, поэтому в этом состоянии полупроводник является изолятором. При повышении температуры вследствие теплового движения некоторые электроны могут переходить из валентной зоны в зону проводимости. В этом случае в зоне проводимости появляется свободный электрон, а в валентной зоне дырка. Скорость генерации GT электронно-дырочных пар (число рождающихся в единице объема в единицу времени электронно-дырочных пар) в заданном полупроводнике зависит только от температуры.
 Таким образом, носителями электрического тока в полупроводниках являются свободные электроны и дырки. Причем дырки можно рассматривать как частицы с положительным зарядом равным элементарному заряду. Концентрация свободных электронов в полупроводнике обозначается ni, концентрация дырок pi. Однако в чистом полупроводнике (таком, как рассматривается в данной задаче) концентрации электронов и дырок одинаковы, поэтому используйте единое обозначение для их концентрации ni = pi = n. Возможен и процесс, обратный рождению электронно-дырочной пары − электрон может перейти из зоны проводимости в валентную зону, при этом пара электрон-дырка исчезает. Такой процесс называется рекомбинацией. Очевидно, что скорость рекомбинации R (число исчезающих в единице объема в единицу времени электронно-дырочных пар) пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок.
 При постоянной температуре полупроводника устанавливается динамическое равновесие − среднее число рождающихся электронно-дырочных пара становится равным числу пар, исчезающих вследствие рекомбинации:
GT = R.

 Концентрация свободных электронов в этом случае называется равновесной концентрацией, ее обозначим ncp. Равновесная концентрация свободных электронов зависит только от абсолютной температуры T и определяется формулой
ncp(T) = AT3/2exp(−Eg/(kT)), (4)

где k − постоянная Больцмана; A − постоянная для данного вещества величина; exp(x) = ex − экспоненциальная функция.
  2.1 Используя физические характеристики кристаллического кремния, вычислите его удельную электрическую проводимость при комнатной температуре σo.
  2.2 При малом изменении температуры ΔT можно считать, что проводимость кремния изменяется по линейному закону
σ = σo(1 + γΔT). (5)

 Рассчитайте температурный коэффициент проводимости γ для кристаллического кремния при комнатной температуре. Изменением подвижностей электронов и дырок при изменении температуры можно пренебречь.

3. Фоторезистор.
 Электроны могут переходить в зону проводимости и при поглощении кванта света, в этом случае также образуется пара носителей тока «свободный электрон − дырка». Это явление называется внутренним фотоэффектом. На этом принципе работают полупроводниковые приборы для измерения интенсивности света (в том числе инфракрасного диапазона) − фоторезисторы.


 Если энергия фотона превышает энергетическую ширину запрещенной зоны, то он может поглотиться, в некоторых случаях поглощения фотона образуется электронно-дырочная пара. Отношение числа рожденных пар к числу поглощенных фотонов называется квантовым выходом фотоэффекта (обозначим эту величину η).
Поглощение света характеризуется коэффициентом поглощения α. Величина αΔx (при αΔx << 1) равна отношению числа фотонов, поглощенных в тонком слое вещества толщиной Δx, к числу фотонов падающих на этот слой.
 Для кристаллического кремния зависимость коэффициента поглощения от частоты падающего света описывается приближенной формулой
α(v) = B(hv − Eg)2, (6)

где hv − энергия фотона (в электрон-вольтах), B = 3,9 × 103 см−1•эВ−2 − эмпирическая постоянная.
 Фоторезистор представляет собой тонкий кристаллический кремниевый слой. К краям слоя подведены металлические токопроводящие контакты с внешними выводами. Пластинка полностью освещается светом, падающим на нее нормально сверху. Толщина полупроводникового слоя h достаточно мала, так что в рассматриваемом далее спектральном диапазоне выполняется условие αh << 1. Температуру пластинки с полупроводниковым слоем можно считать постоянной и равной комнатной.

  3.1.1 Вычислите длину волны красной границы фотоэффекта λкр.
  3.1.2 Для упрощения дальнейших расчетов выразите коэффициент поглощения кремния как функцию от величины λ/λкр (где λ − длина волны падающего света):
α = F(λ/λкр).

  3.1.3 Вычислите скорость генерации электронно-дырочных пар посредством фотоэффекта Gr. Выразите данную величину через характеристики падающего света (длину волны λ, интенсивность Io − энергию, падающую в единицу времени на площадку единичной площади) и необходимые вам характеристики кремния, приведенные в справочной таблице.
  3.2.1 Запишите уравнение, описывающее скорость изменения концентрации свободных электронов Δn/Δt в полупроводнике, освещаемом светом. Учтите, что электронно-дырочные пары появляются не только под действием теплового движения, но и вследствие фотоэффекта.
  3.2.2 Пусть в результате кратковременного светового импульса концентрация свободных электронов превысила термодинамическую равновесную концентрацию ncp на малую величину n1 (то есть n = ncp + n1, причем ncp >> n1). Покажите, что изменение этого отклонения Δn1 за малый промежуток времени Δt подчиняется уравнению
Δn1 = −n1Δt/τ, (7)

где τ − некоторая постоянная, называемая временем жизни электронно-дырочной пары (ее численное значение для кристаллического кремния приведено в Справочной таблице).
  3.2.3 Выразите скорость тепловой генерации GT и скорость рекомбинации R через концентрацию носителей тока и известные параметры кремния, приведенные в Справочной таблице.
  3.2.4 Пусть фоторезистор непрерывно освещается светом, в этом случае концентрация носителей достигает некоторого стационарного значения. Найдите отношение этой концентрации к равновесной концентрации n/ncp, как функцию длины волны (лучше λ/λкр) и интенсивности падающего излучения Io.

3.3 Измерение интенсивности света.
 Фоторезистор подключают к источнику постоянного напряжения и измеряют силу тока через него. При отсутствии освещения сила тока в цепи равна io (темновой ток).
  3.3.1 Найдите зависимость силы тока в цепи от характеристик падающего излучения (длины волны и интенсивности).
  3.3.2 Постройте примерный график зависимости отношения силы тока в цепи к темновому току i/io от интенсивности падающего света (в диапазоне от нуля до 0,1 Вт/см2) с длиной волны

λ = 0,90λкр.

  3.3.3. Постройте примерный график зависимости i/io от длины волны падающего света в диапазоне от λ1 = 0,8 мкм до λ2 = 1,1 мкм. Считайте, что интенсивность падающего излучения постоянна и равна Io = 1,0 × 10−2 Вт/см2.

Справочная таблица.

 Комнатная температура − To = 300 K
 Заряд электрона − e = 1,60 × 10−19 Кл
 Скорость света в вакууме − 3,00 × 108 м/с
 Постоянная Больцмана − k = 1,38 × 10−23 Дж•K−1
 Постоянная Планка − h = 6,63 × 10−34 Дж•c

Характеристики кристаллического кремния

 Ширина запрещенной зоны − Eg = 1,12 эВ
 Равновесная концентрация свободных электронов при комнатной температуре − ncp = 1,0 × 1010 см−3
 Подвижность свободных электронов − μn = 1,4 × 103 см2•B−1•c−1
 Подвижность дырок − μp = 0,45 × 103 см2•B−1•c−1
 Квантовый выход внутреннего фотоэффекта − η = 0,10
 Время жизни электронно-дырочной пары − τ = 3,0 × 10−3 c.