Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 2 гостя.

Длинные олимпиадные задачи. Задание 2. Электрические качели

 В этой задаче мы предлагаем Вам рассмотреть колебания в LC-контуре с переменной емкостью. При непрерывном изменении емкости конденсатора, описание колебаний в контуре − очень большая проблема. Поэтому в данной задаче емкость будет изменяться только в определенные моменты времени и на определенную величину, что существенно облегчит изучение такой системы.
 Колебательный контур состоит из конденсатора, емкость которого можно изменять, увеличивая или уменьшая расстояние между пластинами, и катушки с индуктивностью L, сопротивлением которой можно пренебречь (рис.).

Часть первая. Толчок.
 В начальный момент времени емкость конденсатора равна Co, а расстояние между пластинами равно d. В контуре возбуждают колебания. В момент времен, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, расстояние между пластинами мгновенно увеличивают на некоторую малую величину Δx. Обозначим относительное увеличение расстояния между пластинами δ = Δx/d.

  1.1 Покажите, что при таком изменении расстояния емкость конденсатора уменьшается на ту же относительную величину, т.е. что ΔC/C = −δ.
  1.2 Определите относительное изменение напряжения на пластинах U, полной энергии колебательного контура W и периода колебаний T при таком перемещении.
 Если изменения некоторых двух величин (Δx и Δy) и их абсолютные значения (x и y) удовлетворяют уравнению Δy/Δx= ky/x, то из этого можно сделать вывод, что y ~ xk.
  1.3 Покажите, что отношение максимального напряжения на конденсаторе к полной энергии контура остается постоянным при увеличении расстояния между пластинами.
  1.4 Покажите, что произведение квадрата периода колебаний на полную энергию также не изменяется в таком процессе.

Часть 2. Раскачка.
 В этой части задачи расстояние между пластинами будем изменять неоднократно. По-прежнему будем увеличивать расстояние между пластинами на Δx (δ = Δx/d) в моменты времени, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, но в моменты, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, пластины снова сдвигают так, что расстояние между ними становится прежним.
  2.1 Пусть δ = 0,01. Определите, сколько времени понадобится для увеличения полной энергии в контуре в 10 раз. Выразите это время в полных периодах колебаний To.
  2.2 Предположим, что индуктивность обладает небольшим сопротивлением R. Оцените, каким должно быть значение δ, чтобы колебания в контуре не затухали.

Часть 3. Сбой по согласованию.
 Предположим, что операция, производимая во второй части задачи, осуществляется с частотой немного меньшей, чем удвоенная частота колебаний контура, т.е. промежуток времени между двумя последовательными увеличениями (или уменьшениями) расстояния между пластинами τ = To/2 + Δt. Причем Δt << To. Качественно опишите зависимость максимального напряжения на конденсаторе от времени и определите промежуток времени между двумя последовательными максимумами напряжения. Сопротивление катушки равно нулю.