Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 6 гостей.

Задача 38. Длинные олимпиадные задачи

Задание 2. «Гальваномагнитные явления»
 В предложенной задаче вам предстоит разобраться с двумя явлениями, связанными с действием магнитного поля на электрические свойства проводников: эффект Холла и магнетосопротивление.
Эффект Холла − возникновение в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, электрического поля в направлении, перпендикулярном и вектору плотности тока и вектору индукции магнитного поля.
Магнетосопротивление − изменение удельной проводимости проводника во внешнем магнитном поле.
 Как известно, в металлах носителями тока являются свободные электроны (заряд e, масса m). В отсутствие каких либо направленных сил, действующих на электроны, все направления движения последних равновероятны. Т.е. электроны находятся в беспорядочном движении подобно молекулам газа. Соответственно для свободных электронов можно ввести понятие средней длины свободного пробега, средней скорости хаотического движения и среднего времени свободного пробега τ.
 Под действием направленной силы на беспорядочное движение электронов накладывается систематическое (дрейфовое) движение. В классическом рассмотрении предполагается, что при наличии внешней силы электрон ускоряется в направлении действия силы в течение времени τ, а затем, испытав соударение (рассеяние), совершенно «забывает» о своей направленной скорости. Это приводит к тому, что электрон медленно двигается в направлении действующей силы с некоторой средней скоростью дрейфа v.
Примечание. Для упрощения рассуждений будем считать, что электрон обладает положительным зарядом.
1. Пусть внутри проводника создано постоянное электрическое поле Ex. Определите среднюю скорость дрейфа электронов vx.
 При рассмотрении электрических токов в проводниках удобно пользоваться понятием подвижности. Под действием силы F электрон начинает двигаться со скоростью v = μF/e. Коэффициент μ называется подвижностью.
2. Выразите μ через заряд, массу электрона (e и m) и время свободного пробега τ.
3. Считая, что концентрация электронов в металле равна n, определите связь между удельной проводимостью σo и подвижностью электронов μ.
 Перейдём к непосредственному изучению гальваномагнитных явлений. Пусть в проводнике создано поле Ex. При помещении его в магнитное поле Bz электроны уже не будут двигаться строго в направлении оси OX. Мы рассмотрим лишь случай слабого поля, когда это отклонение невелико. Движение зарядов в направлении оси OY приведёт к тому, что на границе проводника будут собираться электроны, что в свою очередь вызовет появление поля Ey(эффект Холла) (см. рис.)

 Электроны считаются положительными). Т.к. магнитное поле слабое, то и напряжённость поля Ey также будет небольшой по сравнению с полем Ex.
4. Пусть vx и vy − проекции дрейфовой скорости электрона на оси OX и OY. Выразите эти проекции через подвижность μ и составляющие полей Ex, Ey и Bz.
 Предположим, что каким-либо образом удаётся избежать накопления зарядов на границах образца (например, образец бесконечен вдоль оси OY, либо вдоль этой оси приложено внешнее поле, полностью компенсирующее поле Ey). В этом случае удельная проводимость образца уменьшится. Это и есть магнетосопротивление, которое принято характеризовать относительным изменением удельной проводимости
o − σ)/σo = Δσ/σo.

5. В нашей модели проводника магнетосопротивление приводит к относительному уменьшению удельной проводимости Δσ/σo ≈ (μBz)γM. Определите γ.
Примечание. В дальнейшем следует пренебрегать величиной (μBz) в степени большей чем γ.
6. Под каким углом α к оси OX будет направлена дрейфовая скорость электронов?
 Если позволить зарядам накапливаться на границах образца, то очень быстро установится равновесное значение поля Ey, при котором прекратится ток вдоль оси OY. Будем, для простоты, характеризовать эффект Холла безразмерной постоянной H, которая определяется из соотношения:
Ey = HμBzEx.

7. Определите постоянную H в данной модели проводника.
8. Покажите, что возникающее в результате эффекта Холла поле Ey полностью «уничтожает» магнетосопротивление.
 Таким образом, при анализе простейшей модели проводника магнетосопротивление наблюдается только при определённых (искусственных) условиях. Если не компенсировать поле Ey, то эффект Холла приводит к исчезновению магнетосопротивления.
 Однако в реальных проводниках, помещённых в магнитное поле, эти два эффекта существуют одновременно. Для более точного расчета необходимо учитывать распределение электронов по скоростям. Скорость беспорядочного движения не одинакова у всех электронов, т.е. не одинаково время свободного пробега, а значит и различна подвижность.
 Подробное описание этих явлений крайне проблематично осуществить ученику 11 класса. Однако в самом простейшем случае различие в подвижностях можно учесть следующим образом. Пусть в проводнике существует два типа электронов. Их концентрация одинакова (n1 = n2 = n), а подвижность одних в два раза больше подвижности других (μ1 = μ; μ2 = 2μ1; = 2μ).
9. Определите удельную проводимость σo в такой модели в отсутствие магнитного поля.
 В проводнике создается поле Ex. Проводник помещается в магнитное поле Bz.
10. Определите возникающую в результате эффекта Холла напряженность Ey. Определите также постоянную H.
11. Покажите, что в такой модели магнетосопротивление присутствует и Δσ/σo ≈ σ•(μBz, где γ имеет значение, уже полученное вами в пункте 5. Определите значение постоянной δ.
12. Качественно опишите, как будут двигаться электроны каждого сорта в проводнике. Под какими углами α1 и α2 к оси OX будут направлены их дрейфовые скорости?