Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 7 гостей.

Задача 26. «Суперпозиция»

   С поверхности бесконечной пластины с начальной скоростью vo, направленной перпендикулярно пластине, вылетает электрон. Определите, на какое максимальное расстояние от пластины удалится электрон, если
   а) над пластиной создано однородное электрическое поле, напряженности E, направленной перпендикулярно пластине;
   б) над пластиной создано однородное магнитное поле, индукции B, направленной параллельно пластине;
   в) над пластиной созданы однородное электрическое поле, напряженности E, направленной перпендикулярно пластине, и однородное магнитное поле, индукции B, направленной параллельно пластине.

   Решение:
   1) По мере удаления электрона от пластины возрастает его потенциальная энергия в электростатическом поле пластины.


В точке максимального подъема кинетическая энергия (и скорость) обратится в нуль. По закону сохранения энергии
mvo2/2 + 0 = 0 + eEh1,

где mo – масса электрона, e – его заряд.
Тогда
h1 = movo2/(2eE).

   2) В магнитном поле на заряд будет действовать сила Лоренца, вследствие которой он будет двигаться по дуге окружности (пролетит пол-окружности и ударится о плоскость).


   По второму закону Ньютона:
movo2/R = evoB

и
R = movo/(eB).

Из рисунка ясно, что максимальное расстояние от электрона до пластины – радиус окружности:
h2 = R = movo/(eB).

   3) Рассмотрим электрон в некоторой точке A (рис.),

его скорость vn. На него действуют силы:
Fk = Ee и FL = e(vn × B) (векторное произведение) .
На ось Ox может иметь только проекцию только FL.
   Запишем второй закон Ньютона для этой проекции:
   Ox: moax = FLcosα = evnBcosα,
но vncosα = vnsin(90° − α) = vny – проекция скорости на ось Y.
   Получаем: moax = eBvny, вспомним смысл ускорения и скорости:
modvx/dt = eBdy/dt, modvx = eBdy.

   Взяв за начало координат точку запуска электрона, и с учетом того, что в начале движения vx = 0, проинтегрируем:
0vxmodvx = 0yeBdy, movx = eBy. (1)

   В процессе полета электрона, Fk и FL только уменьшают его проекцию скорости на ось Oy (vy) (Fk всегда направлена вниз, а FL поворачивает ее, тем самым уменьшая проекцию). Можно утверждать, что в точке максимального удаления от пластины vy = 0 (дальше будет становиться отрицательной и электрон начнет приближаться к пластине). Поэтому в точке максимального удаления v = vx, и уравнение (1) для этой точки:

mov = eBh3, v = eBh3/mo.

   Закон сохранения энергии в момент вылета и в точке максимального подъема:
movo2/2 + 0 = mov2/2 + eEh3,

movo2/2 = moe2B2h32/(2mo2) + eEh3,

выразим h3:

h32 × e2B2/(2mo) + h3eE − movo2/2 = 0,

h3 = [−moE ± mo√{E2 + B2vo2}]/(eB2),

h3 ≥ 0, поэтому один корень отбрасываем:

h3 = (mo/(eB2)) × (√{E2 + B2vo2} − E).