Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 13 гостей.

Задача 25. Загрузка вагона

   Открытый сверху вагон, катящийся по рельсам без трения, заезжает на загрузку песка. Начальная скорость вагона vo, масса пустого вагона mo, масса загруженного песка m1. Подача песка осуществляется равномерно так, что оно покрывает пол вагона слоем постоянной высоты. Найдите время загрузки Т вагона.
   Примечание: форма вагона представляет собой параллелепипед.

   Решение:
   Введем одномерную систему координат Ox, совпадающей с рельсом (любым). Начало координат – передняя часть вагона перед началом засыпания песка; направление – вдоль скорости вагона. Координата x – положение передней стенки вагона (xo = 0).


   Координата x меняется со временем, когда весь вагон загрузится песком (через время T), она будет равна длине вагона: x(T) = L.
   Так же, как видно из рисунка, такое положение начала координат позволяет заявить, что длина насыпанной части песка в момент времени t равна x(t).
   Основа решения: закон сохранения импульса. Рассмотрим его проекцию на ось Ox (здесь не будем учитывать импульс падающего песка):
movo = const = m(t)v(t).

   Так как масса с насыпанием песка увеличивается, то скорость вагона уменьшается.
   Рассмотрим момент времени t (начало отсчета времени – начало засыпания песка). Найдем массу песка:
mn = ρV = ρbhx, mn(t) = ρbh × x(t),

где ρ – плотность песка, b – толщина вагона, h – высота слоя песка, x – координата.
   Мы знаем, что
mn(T) = m1; x(t) = L; m1 = ρbhL,

отсюда
ρbh = (m1/L),

и
mn(t) = (m1/L) × x(t).

   Вернемся к закону сохранения импульса:
movo = m(t)v(t) = {(m1/L)x(t) + mo}v(t), movo = m(t)v(t) = {(m1/L)x(t) + mo}x/(t). (1)

   Получили дифференциальное уравнение, но решить его несложно, можно даже до конца его не решать. Перепишем (1) в другом виде:

movo = {(m1/L)x(t) + mo}dx/dt,

или
movo = {(m1/L)x(t)dx/dt + modx/dt

и
movodt = {(m1/L)x(t)dx + modx.

   Проинтегрируем от начала отсчета времени (начало координат) до времени t (когда координата x):

0tmovodt = 0x(m1/L)dx + 0xmodx,

movot = (m1/L)x2/2 + mox.

Получаем:
mox(t) +[m1/(2L)]x2(t) = movot.

   В принципе, отсюда, решая квадратное уравнение можно получить функцию x(t), но нам для решения это не понадобиться. Зная, что x(T) = L, найдем T:
moL + m1/(2L) × L2 = movoT,

   Откуда
T = (mo + m1/2)L/(movo).