Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 11 гостей.

Задача 24. Перебросить через трубу.

   На горизонтальной плоскости находится цилиндрическая труба, радиусом R. Какую минимальную скорость необходимо сообщить телу, находящемуся на горизонтальной плоскости, чтобы перебросить его через цилиндрическую трубу?

   Решение:
   Траектория тела − это парабола, которая касается цилиндра в симметрично расположенных точках B и B/ на двух сторонах ствола (рис.).


   Тело удаляется от точки бросания с начальной скоростью v1 под углом α к горизонту. В точках касания B и B/ скорость тела v2 составляет угол β с горизонталью.
   Выберем угол β в качестве независимой переменной задачи. Тогда в точке B вертикальная составляющая скорости равна
v2sinβ = gt2,

где t2 − время полета на участке BC траектории (C − максимальная точка подъема, максимум параболы). Соответствующее горизонтальное перемещение BF равно

v2t2cosβ = Rsinβ.

После перемножения этих двух уравнений получаем

v22 = gR/cosβ.

   Закон сохранения энергии при полете между точками A и B дает

mv12/2 = mv22/2 + mg(R + Rcosβ),

или

v12 = v22 + 2gR(1 + cosβ) = gR/cosβ + 2gR(1 + cosβ).

   Мы получили выражение для начальной скорости в виде

v12 = 2gR(1 + cosβ + 1/(2cosβ))

и можем вычислить минимальное значение v 1, используя дифференциальное исчисление. Приравняв производную

d(1 + cosβ + 1/(2cosβ))/dβ.

к нулю, получаем cos2β = 1/2. Таким образом, минимальный угол, который дает минимум начальной скорости, равен 45°.
   Имеется и другой метод, который использует неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. В нашем случае можно записать
(1/2)(cosβ + 1/(2cosβ)) ≥ √{cosβ/(2cosβ)} = √2/2,

так что минимальное значение суммы cosβ + 1/(2cosβ) равно √2, откуда следует, что β = 45°.
   Это и есть угол, под которым тело касается цилиндра при полете в оптимальном случае. Если допустить β = 0 (точка E), то потребуется большая начальная скорость, так как cosβ + 1/(2cosβ) = 1,5 > √2. Из этого следует, что траектория с минимальной начальной скоростью не касается ствола в его самой высокой точке (точка E). Гравитационная потенциальная энергия тела больше на пике параболы, чем в высшей точке цилиндра, но его кинетическая энергия и полная энергия меньше, чем они были бы для траектории, касающейся вершины.
   Таким образом, минимальная начальная скорость тела равна

v1min = √{2gR(1 + √2)} = √{4,83gR}.

   Примечания.
   а) Можно показать, что часть параболической траектории над точкой B не пересекает цилиндр.
   б) Довольно легко определить также угол начального броска и расстояния AD. Расчеты дают
α ≥ 3π/8 = 67,5°, AD = R(1 + √2/2).

   в) Обратите внимание на то, что точка F является фокусом параболы.
   г) Минимальная скорость тела, если оно, перелетая цилиндр, все же касается в верхней точке траектории вершины может быть найдена из следующих соображений.
   Воспользуемся законом сохранения энергии для точки E
mv12/2 = mvx2/2 + mg2R.

   Нормальное ускорение тела в верхней точке траектории

an = vx2/R1 = gcosα1,

где α1 − угол между вектором скорости тела в точке траектории и горизонталью, радиус кривизны в данной точке. Для верхней точки
α1 = 0 и R1 = R, тогда vx2 = gR.

   Сделаем подстановку в закон сохранения для верхней точки
v12 = 5gR и v1 = √{5gR}.

   Как видим v1 > v 1min.