Партнеры
Вход в систему
Яндекс.Метрика
on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 2 гостя.

Задача 16. «Центрированная оптическая система»

   Опишите прохождение световых лучей через центрированную оптическую систему состоящую из сферических преломляющих поверхностей, центры которых лежат на одной прямой, которая называется оптической осью системы. Заметим, что таким системам относятся телескопы, микроскопы, фотоаппараты, диапроекторы, глаза человека и т.д. Такие системы обладают осевой симметрией, поэтому достаточно рассмотреть ход лучей в одной плоскости, содержащей оптическую ось.
   Пусть (см. рис. 1) OO1 – оптическая ось системы, проведем произвольную плоскость P, перпендикулярную оси. Произвольный луч AB, пересекающий плоскость P однозначно определяется двумя параметрами: x – расстоянием от оптической оси до точки пересечения луча и плоскости, α – углом между направлением луча и оптической осью (договоримся отсчитывать этот угол в направлении «против хода часовой стрелки»). Очевидно, что параметры луча (x, α) могут быть как положительными так и отрицательными. Кроме того, будем полагать их малыми настолько, что везде, где это необходимо, будем считать синус и тангенс угла α равным величине самого угла, естественно, измеренному в радианах. Такое приближение называется параксиальным (близким к оси). В данном приближении в любой центрированной системе связь между параметрами одного и того же луча в разных плоскостях линейна, сколько бы преломляющих поверхностей не находилось между ними. Рассмотрите изменение этих параметров, когда луч проходит через следующие простые элементы оптической системы.

   1. Участок пустого пространства. Пусть между двумя плоскостями Po (входной) и P1 (выходной), находящихся на расстоянии d друг от друга, преломляющих поверхностей нет (рис. 2). Установите связь между выходными (x1, α1) и входными (xo, αo) параметрами луча.

   2 Сферическая преломляющая поверхность. Луч преломляется на сферической поверхности радиуса R, за которой находится среда с относительным (второй среды относительно первой) показателем преломления n. Установите связь между выходными (x1, α1) и входными (xo, αo) параметрами луча.
   3. Тонкая линза. Линза представляет собой две сферические поверхности, она считается «тонкой», если можно пренебречь горизонтальным смещением луча в самой линзе, иными словами, если ее толщина значительно меньше радиусов кривизны ее поверхностей. Покажите, что связь между выходными (x1, α1) и входными (xo, αo) параметрами луча, прошедшего через тонкую линзу, с радиусами кривизны поверхностей R1, R2 и показателем преломления n, выражается формулами
x1 = xo

α1 = −(n − 1) × (1/R1 + 1/R2) × xo + αo.

   4. Используя результаты п. 3, получите формулу для фокусного расстояния F тонкой линзы.
   5. Получите «формулу тонкой линзы», связывающую расстояние от предмета до линзы a с расстоянием от линзы до изображения b:
1/a + 1/b = 1/F.

   6. Рассмотрите оптическую систему состоящую из двух сферических зеркал, повернутых навстречу друг другу (рис. 3). Обозначим радиусы кривизны одного зеркала R1 (его центр точка O1); другого – R2 (центр – O2); расстояния между зеркалами – d. Цель исследования – выяснить при каких параметрах системы произвольный световой луч AB не будет покидать данную оптическую систему.

   Рассматриваемая нами система является оптическим резонатором, повсеместно используемым в оптических квантовых генераторах (лазерах). Если для него выполняется условие задачи, то такой резонатор называется устойчивым, в противном случае неустойчивым.
   Заменим систему зеркал на бесконечную цепочку линз (рис. 4), фокусные расстояния которых равны фокусным расстояниям зеркал, которые, в свою очередь, известны:
F1 = R1/2; F2 = R2/2.

   Понятно, что такая система полностью эквивалентна резонатору.

   6.1. Используя линейные преобразования, полученные ранее, запишите формулы преобразований для произвольного луча за полный проход резонатора. Выразите формулы этих преобразований через безразмерные параметры, определяющие геометрию оптической системы
ξ1 = 1 − d/R1; ξ2 = 1 − d/R2.

   6.2. В некоторых случаях явные выражения для параметров луча могут быть представлены в виде xn = A × γn; yn = B × γn, где γ – некоторая постоянная. Выразите возможные значения этого параметра параметры системы ξ1, ξ2.
   При каком соотношении между параметрами ξ1, ξ2, резонатор будет устойчивым? Изобразите область устойчивости на диаграмме (ξ1, ξ2).