Банк задач олимпиадника. 3. Колебания и волны. 3.1. Малые отклонения от равновесия​​​

          

Банк задач олимпиадника. 3. Колебания и волны. 3.1. Малые отклонения от равновесия​​​

3.1.1. Посередине натянутой струны длины $2l$ закреплен шар. Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, 
если поперечное смещение его из положения равновесия $x << l$, а сила натяжения струны $F$ не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать зависимость силы, действующей на шар, от $x$ линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия шара от малого смещения $x$. Какова скорость шара при прохождении им положения равновесия, если его максимальное смещение равно $x_0$? Масса шара $m$.

3.1.2. Груз массы $m$ подвешен на пружине жесткости $k$. Как зависит суммарная сила, действующая на груз, от смещения его на $x$ из положения равновесия? Найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения $x$.

3.1.3. а. Тело массы $m$, подвешенное на пружине, совершает колебания так, что наибольшее значение скорости равно $v_0$, а наибольшее отклонение от положения равновесия равно $x_0$. Определите жесткость пружины. 
б. Скорость тела массы $m$, подвешенного на пружине и совершающего колебания, зависит от координаты тела $x$ по закону $v = v_0\sqrt{1 - (\frac{x}{x_0})^2}$. Найдите зависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела от координаты $x$. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляющей тело двигаться по приведенному закону?