Банк задач олимпиадника. 1. Кинематика. 1.1. Движение с постоянной скоростью

          

Банк задач олимпиадника. 1. Кинематика. 1.1. Движение с постоянной скоростью

1.1.1. На рисунке приведена «смазанная фотография» летящего  реактивного самолета. Длина самолета $30$ м, длина его носовой части $10$ м. Определите по этой «фотографии» скорость самолета. Время выдержки затвора $0,1$ с. Форма самолета изображена на рисунке штриховой линией.

1.1.2. Радиолокатор определяет координаты летящего самолета, измеряя угол между направлением на Северный полюс и направлением на самолет и расстояние от радиолокатора до самолета. В некоторый момент времени положение самолета определялось координатами: угол $\alpha_1 = 44^0$, расстояние $R_1 = 100$ км. Через промежуток времени $5$ с после этого момента координаты самолета на радиолокаторе: угол $\alpha_2 = 46^0$, расстояние $R_2 = 100$ км. Изобразите в декартовой системе координат с осью $y$, направленной на север, и с радиолокатором в начале координат положение самолета в оба момента времени; определите модуль и направление его скорости. Угол отсчитывайте по часовой стрелке.

1.1.3. Через открытое окно в комнату влетел жук. Расстояние от жука до потолка менялось со скоростью $1$ м/с, расстояние до стены, противоположной окну, менялось со скоростью $2$ м/с, до боковой стены — со скоростью $2$ м/с. Через $1$ с полета жук попал в угол между потолком и боковой стеной комнаты.  Определите скорость полета жука и место в окне, через которое он влетел в комнату. Высота комнаты $2,5$ м, ширина $4$ м, длина $4$ м.

1.1.4. Счетчики $A$ и $B$, регистрирующие момент прихода $\gamma$-кванта, расположены на расстоянии $2$ м друг от друга. В некоторой точке между ними произошел распад $\pi^0$-мезона на два $\gamma$-кванта. Найдите положение этой точки, если счетчик $A$ зарегистрировал $\gamma$-квант на $10^{-9}$ с позднее, чем счетчик $B$. Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.

1.1.5*. Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках $A$, $B$, $C$, зарегистрировали последовательно в моменты времени $t_A > t_B > t_c$ звук от взрыва, который произошел в точке $O$, лежащей на отрезке $AC$. Найдите отрезок $AO$, если $AB = BC = L$. В какой момент времени произошел взрыв?

1.1.6. Спортсмены бегут колонной длины $l$ со скоростью $v$. Навстречу бежит тренер со скоростью $u < v$. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью $v$. Какова будет длина колоны, когда все спортсмены развернуться.

1.1.7. С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые импульсы длительности $\tau_0$. Длительность приема отраженного от дна импульса $\tau$. Скорость звука в воде $c$. С какой скоростью погружается подводная лодка?

1.1.8. Лента транспортера имеет скорость w. Над лентой движется автомат, выбрасывающий $\nu$ шариков в единицу времени. Шарики прилипают к ленте. Счетчик шариков с фотоэлементом считает только шарики, прошедшие непосредственно под ним. Сколько шариков сосчитает счетчик за единицу времени, если скорость автомата $v < \omega$, скорость счетчика $u < \omega$.

1.1.9. а) Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины $l$. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна $v$, а скорость разлета продуктов взрыва $u$ ($v > u$). Как меняется со временем область, занятая продуктами взрыва? Сделайте рисунок.

б) Из взрывчатого вещества нужно изготовить такую тонкостенную коническую оболочку, чтобы при взрыве ее с вершины конуса продукты взрыва одновременно ударили по горизонтальной плите. Какой угол $\alpha$ между осью конуса и образующей нужно выбрать?

1.1.10. По прямому шоссе едет автобус с постоянной скоростью $v$. Вы заметили автобус, когда он находился в некоторой точке $A$. Из какой области около шоссе вы можете догнать автобус, если скорость вашего бега $u < v$? Нарисуйте эту область для $u = \frac{v}{2}$.

1.1.11*. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально Два микрофона, находящихся на одной вертикали на расстоянии $l$ друг от друга, зарегистрировали приход звука от самолета с запаздыванием времени $\Delta t$. Скорость звука в воздухе $c$. Какова скорость самолета?