on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 33 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика


§ 8. Расчет закона движения

8.1. Вычисление мгновенной скорости и ускорения по известному закону движения

 В предыдущих параграфах мы занимались решением основной задачи механики − искали закон движения материальной точки. Покажем теперь, как, зная закон движения, рассчитать кинематические характеристики движения − мгновенную скорость и ускорение.
 Пусть закон движения имеет вид функции1 x(t). Тогда мгновенную скорость можно вычислить по ее определению:

v(t) = Δx/Δt = (x(t + Δt) − x(t))/Δt.

При этом следует учесть, что величина Δt должна быть малой. Покажем использование этого метода для случая равноускоренного движения, при котором x(t) = xo + vot + at2/2:
v(t) = (x(t + Δt) − x(t))/Δt = {(xo + vo(t + Δt) + a(t + Δt)2/2) − (xo + vot + at2/2)}/Δt = {vo(t + Δt − t) + (a/2)(t2 + 2tΔt + (Δt)2 − t2)}/Δt = {voΔt + atΔt + (a/2) Δt} = vo + at + (a/2)Δt.

 Последнее слагаемое при уменьшении Δt становится пренебрежимо малым, поэтому его можно опустить. Таким образом, мы получим известную функцию зависимости скорости от времени при равноускоренном движении:
v = vo + аt.

Аналогично, в принципе, можно вычислять значения мгновенной скорости при любом законе движения.
 Рассмотрим еще один пример таких вычислений. Пусть закон движения имеет вид х(t) = bt3, где b − некоторая известная постоянная величина. Мгновенную скорость вычисляем посредством следующих преобразований:
v(t) = (x(t + Δt) − x(t))/Δt = (b(t + Δt)3 − bt3)/Δt = {b(t3 + 3t2Δt + 3t(Δt)2 + (Δt)3 − t3)}/Δt = 3bt2 + 3btΔt + (Δt)2.

 В этом случае можно пренебречь двумя последними слагаемыми, которые становятся пренебрежимо малыми при уменьшении Δt. Таким образом, в этом случае зависимость скорости от времени имеет вид v(t) = 3bt2.
По определению ускорения, вычислим:
a = (v(t + Δt) − v(t))/Δt = (3b(t + Δt) − 3bt2)/Δt = 3b(t2 + 2tΔt + (Δt)2 − t2)/Δt = 6bt + 3bΔt.

Пренебрегая последним слагаемым, получим выражение для мгновенного ускорения:
а = 6bt.

 Подобные вычисления, в принципе, можно проводить для любого закона движения. Методика таких преобразований хорошо разработана в высшей математике, и для всех известных функций расчет отношения приращения функции к приращению аргумента выполняется по достаточно простым правилам вычисления так называемых производных.
 Поэтому говорят, что мгновенная скорость является первой производной от зависимости координаты от времени, ускорение первая производная от скорости, или вторая производная от координаты.
 К сожалению, у нас нет возможности использовать аппарат высшей математики в данном курсе (так как вы с ним просто незнакомы), поэтому мы будем ограничиваться примерами, где можно обойтись без высшей математики.

1Эта запись x(t) обозначает координату x в момент времени t.