on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 25 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

69.2 Уравнения, описывающие работу трансформатора.

 Рассмотрим математическое описание процессов, протекающих при работе трансформатора. При этом мы будем пользоваться, как обычно, упрощенной математической моделью. Прежде всего, мы будем считать, что магнитный поток, пересекающий все витки как первичной, так и вторичной обмоток трансформатора одинаковым для всех витков. Обозначим это магнитный поток ф(t). Понятно, что он является функцией времени. В этом случае магнитные потоки через первичную и вторичную обмотки1 выражаются очевидными формулами


где N1, N2 − числа витков в первичной и вторичной обмотках, соответственно.
 Обозначим также I1, I2 − силы переменных токов в первичной и вторичных обмотках. Магнитное поле в сердечнике создается электрическими токами в обеих обмотках, поэтому, считая все витки одинаковыми, магнитный поток через один виток может быть записан в виде

 В этой формуле λ − постоянный коэффициент, зависящий от формы и размеров витка и магнитной проницаемости сердечника. Согласно этой формуле, магнитный поток, создаваемый током в одном витке равен λI, поэтому величина λ может быть названа индуктивностью одного витка.
 В общем случае магнитные потоки через обмотки трансформатора выражаются формулами

в которых постоянные коэффициенты L11, L22 − являются индуктивностями обмоток, а равные коэффициенты L12 = L21 − называются коэффициентами взаимной индукции. В рамках нашей упрощенной модели трансформатора эти коэффициенты выражаются через числа витков

 При изменении магнитного потока2 в обмотках трансформатора возникают ЭДС индукции, которые в соответствии с законом Фарадея равны производным от магнитных потоков

 Для упрощения дальнейшего изложения будем считать, что в первичной и вторичной цепях отсутствуют элементы с емкостным и индуктивным (конечно, кроме самих обмоток) сопротивлениями. Активные сопротивления этих цепей обозначим R1, R2, соответственно. В этом случае уравнения закона Ома для первичной и вторичных цепей будут иметь вид

здесь E − ЭДС источника.
 Таким образом, мы получили систему уравнений, описывающих работу трансформатора, включающую:
− уравнение (3) для магнитного потока в сердечнике (в общем виде уравнения (3а));
− уравнения (4) для ЭДС индукции в обмотках трансформатора;
− уравнения закона Ома (5)-(6) для токов в первичном и вторичном контурах (в общем случае они могут включать также и реактивные сопротивления этих контуров).
 Эта система из пяти уравнений содержит пять неизвестных функций

поэтому может быть решена точно. Заметим, что зависимость ЭДС источника от времени является известной функцией, которую мы будем считать изменяющейся по гармоническому закону

 Проанализируем полученную систему уравнений. Прежде всего, учтем, что магнитный поток через обмотку пропорционален числу витков в ней, поэтому отношение ЭДС индукции при любом режиме работы трансформатора рано отношению числа витков в обмотках

причем это выражение справедливо как для мгновенных, так и амплитудных значений ЭДС. Отношение числа витков вторичной обмотки к числу витков первичной обмотки k = N2/N1 называется коэффициентом трансформации трансформатора, поэтому отношение ЭДС индукции в обмотках равно коэффициенту трансформации.
 Если коэффициент трансформации больше единицы, то трансформатор называется повышающим, в противном случае − понижающим.
 В практических приложениях более важной характеристикой является отношение напряжения на нагрузке к ЭДС источника, эта величина зависит от характеристик первичного и вторичного контуров.
 Напомним, что при непосредственном подключении нагрузки к источнику (рис. 677)

рис. 677

напряжение на нагрузке меньше ЭДС источника. Действительно по закону Ома сила тока в цепи равна

где Rн − сопротивление нагрузки, r − внутренне сопротивление источника, в это сопротивление также можно включить и сопротивление подводящих проводов (линии передачи). В рассматриваемой цепи напряжение на нагрузке равно

что меньше ЭДС источника, и только в том случае, когда сопротивление нагрузки значительно превышает сопротивление источника и подводящих проводов r/Rн → 0 напряжение на нагрузке стремится к ЭДС источника3 . Уменьшение напряжения на нагрузке связано с потерями энергии электрического тока в источнике и линии передачи. КПД рассматриваемой цепи (отношение мощности тока через нагрузку к мощности, развиваемой источником) также меньше единицы:

 Поэтому уменьшение влияния внутреннего сопротивления источника и линии передачи является важной проблемой, связанной с экономий электроэнергии. Далее мы покажем, что использование трансформаторов позволяет частично решить данную проблему.


1Напомним, что часто эти величины называют потокосцеплением, однако этот термин далее мы использовать не будем.
2Конечно, причиной изменения магнитного потока является изменение токов в обмотках, но сами эти токи существенно зависят от ЭДС индукции, поэтому, в очередной раз, разрешить проблему «первичности курицы или яйца» разрешить не удается.
3Часто ЭДС источника, не совсем верно, ассоциируется с напряжением (вспомните надписи на батарейках). Кроме того, отметим, что данные результаты справедливы для цепей как постоянного, так и переменного тока.