on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 36 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

68.9 Вынужденные колебания в контуре.

 Как уже было сказано, в реальном колебательном контуре колебания будут затухающими1 из-за неизбежного выделения теплоты на активном сопротивлении (которым мы пренебрегли). Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в контуре необходим внешний источник энергии, иными словами нам необходимо рассмотреть вынужденные колебания. Один из возможных вариантов осуществления таких колебаний мы уже рассмотрели при изучении темы «Резонанс напряжений», где мы фактически изучили колебания в контуре, внутрь которого включен источник переменной ЭДС, который может считаться аналогом внешней вынуждающей силы.
 Чтобы явным образом показать, что явление резонанса напряжений можно рассматривать как вынужденные колебания, перепишем использованное уравнение закона Ома


 Для чего подставим в него явные выражения для напряжений на элементах цепи

и ЭДС источника


и перепишем его в виде

который полностью совпадает с уравнением вынужденных колебаний

 Рассмотрим теперь возможность возникновения вынужденных колебаний в контуре, когда источник переменной ЭДС находится вне контура2, как показано на рис. 673.

рис. 673

 Расчет данной цепи проведем, используя метод векторных диаграмм (которая также представлена на рис. 673). В данном случае нас, прежде всего, будет интересовать сила тока в колебательном контуре.
 Так как конденсатор и катушка индуктивности соединены параллельно, то мгновенные напряжения (UC, UL) на этих элементах одинаковы. Обозначим это напряжение U1. Построение диаграммы следует начинать с построения вектора, изображающего колебания этого напряжения. Далее построим векторы, изображающие колебания сил токов через конденсатор IC и катушку индуктивности IL − эти векторы перпендикулярны вектору напряжения U1 и противоположны друг другу. Как обычно, колебания токов через конденсатор и через катушку индуктивности происходят в противофазе. Колебательный контур соединен последовательно с резистором, поэтому сумма токов IC и IL (конечно, их мгновенных значений) равна силе тока через резистор IR. Вектор изображающий напряжение на резисторе UR, сонаправлен с вектором суммарного тока. Наконец сумма векторов напряжения на резисторе UR и напряжения на контуре U1 равна ЭДС источника.
 Построенная векторная диаграмма позволяет рассчитать амплитудные значения токов и напряжений на элементах данной цепи. Выразим традиционным образом амплитудные значения сил токов через конденсатор и катушку через амплитуду напряжения на контуре

 Амплитуда силы тока через резистор (и через источник) определяется из векторной диаграммы и равна

 Теперь можно записать выражение для амплитуды напряжения на резисторе

 Далее, глядя на диаграмму напряжений, запишем теорему Пифагора для вектора ЭДС источника

здесь Uo − амплитуда ЭДС источника.
 Из этого уравнения легко определить напряжение на резисторе

 Наконец, с помощью формул (1), (2), (3), запишем выражения для сил токов в рассматриваемой цепи

 Проанализируем зависимость этих величин от частоты источника ЭДС. Во всех формулах под корнем имеется два положительных слагаемых, причем только второе зависит от частоты. При частоте

равной собственной частоте колебательного контура второе слагаемое под корнем обращается в ноль, поэтому можно ожидать, что вблизи этой частоты силы токов через конденсатор и катушку достигают максимального значения. Понятно, что максимумы функций ILo(ω) и ICo(ω) несколько смещены от частоты ωo, потому, что частота источника ω присутствует и вне корня. Однако, если первое слагаемое под корнем (1/R2), мало, то сдвиг максимума от значения будет незначительным. Отметим, также, что при ω = ωo = 1/√{LC} амплитуды токов через конденсатор и катушку оказываются равными. Действительно, в этом случае

 Но самое неожиданное, что при ω = ωo сила тока через резистор обращается в нуль! Соответственно, напряжение на колебательном контуре становится равным ЭДС источника, что также следует и из полученных формул для токов в контуре. Схематические графики зависимостей3 амплитуд токов от частоты источника показаны на рис. 674.

рис. 674

 Понятно, что при ω → 0 и ω → ∞ сопротивление контура стремится к нуля и в этом случае сила тока через резистор стремится к своему предельному значению IRo = Uo/R. При ω → 0 ток не проходит через конденсатор, а сопротивление катушки стремится к нулю. При ω → ∞ наоборот, ток проходит через конденсатор без сопротивления, а индуктивное сопротивление стремится к бесконечности, поэтому ток через катушку не проходит.
 Таким образом, мы показали, что в рассмотренной цепи при частоте источника стремящейся к собственной частоте контура амплитуда силы тока в контуре резко возрастает, наблюдается явление резонанса, следовательно, колебательный контур можно использовать для выделения колебаний требуемой частоты. Интересно, отметить, что острота пика возрастает с ростом сопротивления резистора, находящегося вне контура.
 В заключение данного раздела, обсудим, почему при ω = ωo сила тока во внешней для контура цепи обращается в нуль. Колебания токов через конденсатор IC и через катушку индуктивности происходят в противофазе IL, а в случае ω = ωo амплитуды этих токов сравниваются, в результате чего формально и получается нулевое значение для суммарного тока. Фактически в этом случае электрический ток циркулирует в колебательном контуре, не выходя из него. Подчеркнем, что наш анализ проведен для установившегося режима колебаний − в переходном режиме ток через резистор (и через источник идет) обеспечивая контур энергией. Когда колебания установятся, подкачка энергии становится излишней, так как мы пренебрегли потерями энергии в контуре. Обратите внимание, что при ω = ωo сила тока в контуре не зависит сопротивления внешнего резистора, а полностью определяется параметрами контура.
 Вспомните, что вынужденные колебания механических систем обладают тем же свойством − при точном резонансе и при отсутствии сил сопротивления работа внешней силы также обращается в нуль.
 Если же рассмотреть реальный контур, обладающий активным сопротивлением, то между током в контуре и напряжением на нем разность фаз будет отлична от нуля, поэтому энергия источника будет поступать в контур, компенсируя потери. В этом случае также будет отличен от нуля и ток во внешней цепи.


1Еще одной причиной затухания тока в контуре является излучение электромагнитных волн, но об этом важнейшем явлении мы будем говорить позднее. Сейчас же отметим, что при не слишком высоких частотах, потери энергии на излучения пренебрежимо малы.
2Опять забегая вперед, скажем, что именно такая схема реализуется в приемниках электромагнитных волн, как радио, так и телевизионных. В этих приборах колебательный контур служит избирательным элементом, выделяющим требуемую волну из широкого спектра. Роль источника в этом случае играет антенна.
3График зависимости амплитуды тока через резистор построен как график модуля функции (6), потому что изменение знака этой функции соответствует изменению фазы колебаний этого тока.