on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 33 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

67.2 Автоколебания в системах с «отрицательным трением».

 Хорошо известно, что для большинства трущихся поверхностей коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения скольжения. Увеличение силы трения покоя по сравнению с силой трения скольжения носит название «явление застоя». Это явление приводит к ряду интересных последствий, например, его наличием объясняется скрип дверных петель, звучание струны скрипки и др. Механизм возбуждения колебаний в этих случаях также является автоколебательным.
Рассмотрим его на примере следующей системы (рис. 640).


рис. 640

 На движущуюся с постоянной скоростью vo горизонтальную ленту транспортера помещен брусок, прикрепленный с помощью легко растяжимой пружины (жесткость которой равна k) к неподвижному упору.
 Будем рассматривать движение бруска в системе отсчета, связанной с неподвижным упором (рис. 641). Будем считать, что в точке начала отсчета оси пружина не деформирована.

рис. 641

 Пусть в начальный момент времени брусок находится в точке начала отсчета и покоится относительно ленты (т.е. движется со скоростью ленты в выбранной системе отсчета). В это время сила трения, действующая на брусок, является силой трения покоя, поэтому она максимальна

где μo − коэффициент трения покоя бруска о ленту. Брусок будет двигаться с постоянной скоростью, равной скорости ленты vo, до тех пор, пока увеличивающаяся сила упругости пружинки не превысит силу трения покоя.

рис. 642

 Обозначим координату этой точки x1, ее значение определим из уравнения

 После прохождения этой точки брусок начнет скользить относительно ленты, поэтому сила трения скачком уменьшится до силы трения скольжения

где μ1 − коэффициент трения скольжения бруска о ленту, причем μ1 < μo. Еще некоторое время брусок будет продолжать двигаться в прежнем направлении по инерции (т.к. он имел скорость, равную скорости ленты). Сместившись на максимальное расстояние xmax, когда его скорость станет равной нулю, он начнет двигаться в обратном направлении с ускорением, определяемым силами трения и упругости, до некоторого положения xmin. В точке начала скольжения сила упругости достигает максимальной силы трения покоя. На участке

брусок движется под действием силы упругости и постоянной силы трения скольжения1, поэтому описывается гармонической функцией с частотой, равной собственной частоте колебаний бруска на пружине. В точке остановки относительно ленты x2 скорость бруска становится равной скорости ленты. На этом этапе уравнение движение бруска будет иметь вид

здесь обозначено ωo = √{k/m} − собственная частота колебаний бруска на пружине. Это уравнение следует решать при следующих начальных условиях: в начальный момент времени координата бруска равна x1, а его скорость − vo. Это решение имеет достаточно громоздкий вид2:

 Затем направление его движения опять изменится, его скорость начнет возрастать до тех пор, пока не станет равной скорости ленты (точку, в которой это произойдет, обозначим x2), после чего процесс повторится − брусок станет двигаться до точки x1 со скоростью ленты и т.д.
 Эти рассуждения позволяют качественно построить график закона движения бруска (рис. 643)

рис. 643

 Таким образом, и в данной системе существует внутренний механизм3, обеспечивающий переключение режимов движения бруска: резкое скачкообразное изменение силы трения при начале скольжения и в момент равенства скорости скольжения бруска и скорости ленты. В заключение подчеркнем, что положительная работа силы трения покоя компенсирует потери энергии из-за трения скольжения.
 Колебания скрипичной струны описываются аналогичным образом − равномерно движущийся смычок играет роль «движущейся ленты транспортера», а сама струна совмещает в себе функции бруска (ее масса) и пружины (ее упругость). Как следует из проведенного рассмотрения частота автоколебаний зависит не только от свойств самой системы (массы, упругости), но и характеристик внешнего постоянного воздействия, например, скорости движения стручка. Таким образом, у скрипача имеются богатые возможности управлять звуком струн: подбирать толщину, регулировать натяжение, изменять скорость движения смычка и силу его давления на струну, выбирать точку приложения …


1Строго горя коэффициент трения скольжения может зависеть от скорости движения, но сейчас мы этой зависимостью пренебрежем.
2Для экономии места подробные выкладки мы опускаем, как всегда, нам важнее физическое содержание, а не алгебраические преобразования.
3Иногда системы, подобные рассмотренной, не совсем удачно называют системами с «отрицательным трением» − подразумевая, что в некотором диапазоне трение уменьшается при возрастании скорости, или в общем случае − потери уменьшаются при возрастании амплитуды колебаний − при этом возможен эффективный механизм генерации колебаний.