on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 33 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

66.3 Превращения энергии при вынужденных колебаниях.

 Внешняя сила, действующая на колебательную систему, совершает работу, следовательно, в систему поступает энергия. Полезно рассмотреть превращения энергии в ходе вынужденных колебаний. Для этого поступим уже традиционным образом: динамическое уравнение1 колебаний


умножим на скорость

и перепишем в виде

 В этом уравнении каждое слагаемое имеет наглядный физический смысл. Так функция

описывает мгновенную мощность, развиваемой внешней вынуждающей силой. Величина

является мощностью силы сопротивления и описывает потери механической энергии в единицу времени.
 Слагаемое a(t)•v(t) преобразовывается следующим образом

и равно скорости изменения кинетической энергии колеблющегося тела ΔEкин. Наконец,

есть мощность силы упругости, равная скорости изменения потенциальной энергии системы U. С учетом проведенных преобразований, уравнение (2) приобретает смысл закона сохранения и превращения энергии:

энергия, переданная посредством работы внешней силы, расходуется на увеличение механической энергии системы и работу против сил сопротивления (равную в свою очередь, потерям механической энергии).
Полученное уравнение (3) справедливо для любого промежутка времени, в том числе и на стадии переходного режима. Применим его к режиму установившихся колебаний. В этом режиме колебания являются гармоническими, поэтому за время равное периоду колебаний все характеристики движения (координата, скорость, кинетическая и потенциальная энергия) возвращаются к исходным значениям. Если в уравнении (3) интервал времени Δt положить равным периоду колебаний, то изменение полной энергии будет равно нулю, что приводит к очевидному результату: работа внешней силы за период колебаний равна работе против силы сопротивления. Иными словами, вся энергия, поступающая в систему, превращается в теплоту, выделяющуюся из-за наличия сил сопротивления.
 Не составляет труда получить точные значения механической энергии и мощностей всех сил в процессе вынужденных колебаний. Зависимости координаты и скорости от времени нам известны и описываются формулами

 В этом режиме полная механическая энергия системы равна

 Ее значение колеблется вокруг среднего значения

 Мощности внешней силы и силы сопротивления описываются формулами

 Причем первая принимает как положительные, так и отрицательные значения, а вторая все время положительна.
 На рисунке 634 показаны графики зависимостей от времени внешней силы, координаты и скорости частицы, ниже построены графики зависимости от времени мощностей внешней силы и силы сопротивления, а также механической энергии.

рис. 634

 Графики построены для случая, когда частота вынуждающей силы меньше собственной частоты системы ω < ωo, а затухание незначительно. На графиках выделены интервалы времени, когда работа внешней силы положительна, то есть когда энергия поступает в систему.
 Эти графики показывают, что мгновенные значения энергетических характеристик даже в установившемся режиме достаточно сложно взаимосвязаны между собой − энергия, сообщаемая внешней силой, расходуется на изменение энергии системы (как кинетической, так и потенциальной), кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, часть энергии теряется из-за наличия сопротивления.
Более проста ситуация в случае точного резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебаний системы. В этом случае механическая энергия системы остается постоянной, поэтому в любой момент времени мощность внешней силы в точности равна мощности потерь. Сдвиг фаз между вынуждающей силой и координатой точки равен ±π/2, что приводит к тому, что изменение скорости точки синфазно с изменением внешней силы. В этом случае мгновенная мощность внешней силы в точности равна мощности потерь, поэтому полная энергия осциллятора остается постоянной.
 Рассмотрение мгновенных энергетических характеристик представляет скорее академический интерес, с точки зрения практических применений более важно рассмотрение этих характеристик, усредненных по промежутку времени, значительно превышающему период колебаний. Тем более, это справедливо в тех случаях, когда частота колебаний настолько велика, что различить отдельное колебание не представляется возможным2.
 Проведем расчет усредненных энергетических характеристик в установившемся режиме вынужденных колебаний.
 Для начала получим одну важную математическую формулу, которую неоднократно будем использовать в дальнейшем. Пусть две функции изменяются по гармоническому закону с одной и той же частотой

 Найдем среднее значение произведения этих функций, используя тригонометрическую формулу для произведения косинусов

 Первое слагаемое (косинус разности фаз) не зависит от времени, второе − является переменной функцией времени, очевидно, что ее среднее значение равно нулю. Таким образом, мы получаем, что среднее произведение двух функций половине произведения амплитуд, умноженной на косинус сдвига фаз между ними

 Частные случаи этой формулы, очевидны, и ранее уже применялись нами. Так при сдвиге фаз равном нулю среднее произведение равно половине произведения амплитуд − ранее мы показали, что среднее значение квадрата косинуса (и синуса) равно 0,5; при сдвиге фаз равном ±π/2 среднее произведение равно нулю.
 Полученная формула имеет красивую геометрическую интерпретацию на языке векторного представления колебаний. Если гармонические функции представить в векторной форме (в виде вращающихся векторов), то их среднее произведение в соответствии с полученной формулой (8) равно половине скалярного произведения векторов, изображающих функции-сомножители (рис. 635).

рис. 635

 Обратимся еще раз к рис. 633, на котором построена векторная диаграмма, иллюстрирующая процесс вынужденных колебаний. С ее помощью легко получить те же энергетические характеристики, которые мы нашли аналитически. Убедитесь в этом самостоятельно.
 В заключение данного раздела получим явное выражение для средней мощности внешней силы (и равной ей мощности потерь) при вынужденных колебаниях. Эту величину разумно назвать средней мощностью поглощаемой системой. Проще всего это сделать, усредняя мгновенную мощность потерь (6)

при выводе этой функции использовано явное выражение для амплитуды вынужденных колебаний. Эта зависимость похожа на зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы, но следует помнить, что это, все-таки, разные функции.


1Напомним, что уравнение следует из второго закона Ньютона, которое мы разделили на массу движущегося тела. Слагаемые, стоящие в правой части этого уравнения имеет смысл «удельных» сил, то есть отношений сил к массе тела. Для упрощения изложения в дальнейшем эти слагаемые мы также будем называть «силами»: −ωo2x − сила упругости, −2γv − сила сопротивления, +focosωt − вынуждающая сила. Аналогично, энергетические характеристики так же относятся единице массы, поэтому величину v2/2 будем называть кинетической энергией, а величину ωo2x2/2 − потенциальной энергией системы. Кому такие переименования не нравятся, может все выражения этого раздела умножить на массу тела и любоваться знакомыми формулами.
2Наиболее ярким примером такого положения является изучение взаимодействие света с веществом, где ни один прибор не в состоянии выделить отдельное колебание электромагнитной волны.