on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 38 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

66.2 Векторное описание колебаний. Векторное сложение колебаний.

 Решение уравнения вынужденных колебаний потребовало от нас достаточно громоздких тригонометрических преобразований. Аналогичные проблемы возникают и при решении других задач, связанных со сложением нескольких тригонометрических функций. Поэтому для упрощения подобных математических выкладок разработан специальный математический метод − метод векторных диаграмм, с которым мы сейчас познакомимся.
 Этот метод применяется для нахождения суммы гармонических функций одинаковой частоты вида


 Каждая такая функция определяется двумя параметрами1 A и φ. Сумма произвольного числа слагаемых вида (1) также является гармонической функцией того же вида.
 Суммирование функций вида (1) может быть проведено аналитически в самом общем случае:

где амплитуда результирующей функции равна

а ее фаза удовлетворяет условию

 Поведенным преобразованиям можно дать наглядное геометрическое, векторное истолкование. Изучение колебаний мы начали с рассмотрения связи между равномерным вращением вектора и закона движения его проекции. На рис. 630 восстановлена эта связь.

рис. 630

 Теперь мы скажем, что вектор длиной A, направленный под углом φ к одной из осей может представлять функцию (1). Теперь вместо аналитического сложения функций этого вида можно геометрически сложить векторы, изображающие отдельные слагаемые. При этом важно помнить, что все функции имеют одинаковые частоты, следовательно, изображающие их векторы вращаются с одной и той же угловой скоростью, поэтому углы между ними не изменяются. Можно сделать следующий шаг − «забыть» об их вращении2, а складывать неподвижные векторы. Окончательным результатом суммирования будет являться проекция суммарного вектора на исходную ось.
Так рис. 631 иллюстрирует сложение двух гармонических функций с разными амплитудами и разными начальными фазами.

рис. 631

 Амплитуду Ao и фазу φo результирующего колебания можно найти геометрически.
 Например, амплитуда результирующего колебания может быть легко найдена с помощью теоремы косинусов:

 Полезно также запомнить геометрическое представление других тригонометрических функций (рис. 632).

рис. 632

 Для этого следует воспользоваться тригонометрическими формулами приведения и «привести» эти функции к виду (1):

 Продемонстрируем применение метода векторных диаграмм для решения уравнения вынужденных колебаний.

 Зависимости координаты, скорости и ускорения частицы запишем в виде

 Подставим эти выражения в уравнение (4), которое запишем в виде

 Теперь формально это уравнение имеет следующий смысл: сумма трех гармонических функций с разными амплитудами и фазами равна известной гармонической функции (вынуждающей силе).
 Изобразим векторную диаграмму суммы трех слагаемых. Пока неизвестное направление оси, от которой отсчитываются углы, можно выбрать произвольно (на рис. 633 она выбрана горизонтально).

рис. 633

 Геометрическая сумма этих трех векторов (найти которую в данном случае можно элементарно) должна быть равна вектору, изображающему вынуждающую силу. Так как в исходном уравнении именно эта функция имеет нулевую фазу, то отсчет угла сдвига фаз должен проводится именно от этого вектора. Так на приведенном рисунке этот угол отрицателен, так поворот от вектора, изображающего вынуждающую силу, к вектору, изображающему зависимость x(t), осуществляется в отрицательном направлении («по часовой стрелке»).
 Используя построенную диаграмму легко записать уравнение, связывающее амплитуду колебаний и амплитуду вынуждающей силы (на основании теоремы Пифагора):

из которого следует выражение для амплитуды вынужденных колебаний

естественно, совпадающее с полученным ранее аналитическим методом. Векторная диаграмма дает такое же выражение и для сдвига фаз

 Таким образом, метод векторных диаграмм позволяет получать точные формулы гораздо быстрее, чем традиционный аналитический метод, основанный на громоздких преобразованиях тригонометрических формул.


1Частоту колебаний ω считаем заданной.
2Для физиков можно сказать о переходе во вращающуюся систему отсчета.