on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 39 гостей.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

65.2 Затухание колебаний под действием сил вязкого трения.

 Еще одной часто встречающейся причиной затухания колебаний являются силы вязкого трения. Для анализа такого типа движения рассмотрим колебательную систему, показанную на рис. 622.


рис. 622

 Будем считать, что шарик может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности, но в процессе движения на него действует сила сопротивления окружающей среды (например, воздуха). Будем считать, что эта сила пропорциональна скорости движения шарика

 Векторная форма записи этого закона, а также отсутствие трения покоя, позволяет рассматривать движение тела во всех его фазах, не зависимо от его направления. Коэффициент пропорциональности в формуле (1) зависит от свойств среды, размеров и формы движущегося тела, в данном разделе мы будем полагать его, как и другие параметры системы известным. Используя традиционные обозначения, запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось

 Для большей общности незначительно преобразуем этой уравнение, разделив его на массу груза

и введем обозначения появившихся параметров. Величина k/m = ωo2 есть квадрат круговой частоты свободных колебаний шарика (иногда ее называют собственная частота). Отношение коэффициента сопротивления к массе тела обозначим1 β/m = 2γ. В этом случае параметр γ называется коэффициентом затухания. Можно заметить, что этот параметр имеет размерность обратную времени. Следовательно, обратная величина β−1 = τ имеет размерность времени. Далее мы покажем, что она является характерным временем затухания колебаний. С учетом этих обозначений уравнение приобретает вид

 Это уравнение называется уравнением затухающих колебаний. Можно сказать, что изученное нами уравнение свободных колебаний a = −ωo2x является частным случаем уравнения (3), в котором коэффициент затухания равен нулю. Поэтому, при малом значении этого коэффициента решение уравнения (3) должно быть похоже на гармонические колебания.
 По прежнему, неизвестной величиной уравнения (3) является функция x(t) − зависимость координаты тела от времени. Помимо самой неизвестной функции в уравнение входят ее первая (скорость) и вторая (ускорение) производные. Для однозначного определения закона движение к этому равнению необходимо добавить начальные условия. Будем считать, что в момент времени t = 0 шарик отклонили от положения равновесия на величину x(0) = Ao и отпустили без толчка v(0) = 0.
 При задании начальных условий уравнение (3) может быть решено однозначно, правда сама процедура поиска решения требует определенной математической подготовки, поэтому в нашем изложении мы ее опустим. В явном виде решение уравнения (3) при заданных начальных условиях и не слишком большой силе вязкости имеет вид2

где обозначено

 Схематический график этой функции и его огибающие показаны на рис. 623.

рис. 623

 Отметим, наиболее существенные особенности решения уравнения затухающих колебаний (3). Наличие силы вязкого трения приводит к уменьшению амплитуды колебаний. Причем в отличие от рассмотренного затухания под действием силы сухого трения амплитуда убывает нелинейно. Далее мы покажем, что это убывание происходит в геометрической прогрессии. При наличии вязкого трения частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой свободных колебаний. Это уменьшение качественно понятно: сила трения замедляет движение, что и приводит к увеличению периода и уменьшению частоты. Если затухание не велико, этим изменением частоты можно пренебречь. Точный вид зависимости частоты от коэффициента затухания дает формула (5).
 На рис. 624 показаны несколько графиков решения рассматриваемого уравнения при различных значениях коэффициента затухания.

рис. 624

 Числа на графиках указывают значение параметра γ/ωo.
Отметим, что при γ ≥ ωo движение тела перестает быть колебательным. В этом случае (сильного затухания) тело монотонно стремится к положению равновесия.
 Проанализируем теперь процесс затухания колебаний с энергетической точки зрения. Разобьем область движения тела на малые интервалы Δx. В пределах каждого интервала справедливо уравнение (3), которое мы умножим на величину интервала Δx

 Выясним теперь смысл каждого слагаемого этого уравнения. Используя определения ускорения и скорости, преобразуем выражение в левой части

 Проведенные преобразования показывают, что эта величина есть изменение кинетической энергии шарика. Первое слагаемое в правой части есть работа сила упругости на малом интервале смещения шарика, и она может быть представлена в виде

 Полученные результат очевиден: так как сила упругости потенциальна, то работа этой силы равна уменьшению потенциальной энергии пружины.
 Наконец последнее слагаемое является работой силы вязкого трения. Эта сила не является потенциальной, поэтому ее работа не может быть выражена через изменение потенциальной энергии. Работа силы трения, взятая с противоположным знаком, равна количеству теплоты, выделившейся на данном интервале

 Таким образом, уравнение (6) в виде

допускает очевидное энергетическое истолкование: уменьшение механической энергии системы равно количеству выделившейся теплоты.
 При слабом затухании можно приближенно вычислить потери механической энергии. Для этого применим широко распространенный метод, к помощи которого будем прибегать и далее. Еще раз преобразуем выражение для количества выделяющейся теплоты: с помощью соотношения Δx = vΔt перейдем от изменения координаты к временному интервалу Δt

 Видно, что мощность выделяющейся теплоты пропорциональна квадрату скорости P = βv2. Для того чтобы точно вычислить потери механической энергии (равные выделившейся теплоте) необходимо знать зависимость скорости тела от времени, или закон движения, то есть точно решить уравнение движения. Но в том случае, когда затухание мало, то на небольшом интервале времени можно пренебречь влиянием силы вязкого трения3.
 Продемонстрируем этот подход. Пусть после n колебаний амплитуда отклонения равна An. Пренебрегая вязким трением, запишем закон движения тела (изменением частоты также пренебрегаем):

которому соответствует следующая зависимость скорости тела от времени

 Следовательно, мощность выделяющейся теплоты изменяется с течением времени по закону

 Теперь легко найти среднюю за период колебания мощность тепловых потерь

 При выводе последнего соотношения учтено, что среднее значение косинуса за период, очевидно равно нулю.
 Учитывая, что подобные усреднения нам предстоит неоднократно проделывать в дальнейшем, приведем еще одно наглядное геометрическое доказательство полученного результата. Построим график зависимости мощности от времени

 Площадь под графиком зависимости тепловой мощности от времени (на рисунке заштрихована) равна количеству выделившейся теплоты.

рис. 625

 Проведя горизонтальную прямую на уровне половины максимальной мощности, получим прямоугольник, площадь которого равна площади заштрихованной фигуры. Поэтому величина (1/2)Pmax равна средней мощности.
 Таким образом, потери механической энергии за один период колебаний равны

 Учитывая, что в моменты максимального отклонения скорость шарика обращается в нуль, из уравнения энергетического баланса (10) получим соотношение, описывающее уменьшение амплитуды за одно колебание

 Обозначим kAn2/2 = En − механическая энергия пружинного маятника после совершения n колебаний. Изменение этой энергии описывается выражением, следующим из (15)

 Коэффициент в правой части с помощью введенных обозначений преобразуем к виду

с учетом которого перепишем соотношение (16)

 Из этого соотношения следует формула

указывающая, что механическая энергия убывает в геометрической прогрессии

Используя связь между энергией и амплитудой колебаний, получим явное выражение для изменения амплитуды

при выводе которого использована приближенная формула

для квадратного корня. Формула (18) показывает, что амплитуда колебания также убывает в геометрической прогрессии. Безразмерная величина γT равна относительному уменьшению амплитуды за один период колебания.
 Напомним, что полученные выводы справедливы для малого затухания. Теперь можно дать количественный критерий малости затухания, описываемого уравнением (3): приведенный вывод остается справедливым при выполнении условия


1Мы уже привыкли к необычным, на первый взгляд, обозначением. Появление в обозначении множителя «2» упрощает проведение дальнейших преобразований
2Учитывая, что многие «боятся» показательной функции, в дальнейшем мы эту функцию мы использовать не будем.
3Звучит парадоксально: чтобы рассчитать затухание следует им пренебречь!