on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 47 гостей.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

65. Затухающие колебания.

 Рассмотренные свободные незатухающие колебания являются идеализацией, моделью применимой на небольших временных интервалах. В реальных механических колебательных системах обязательно присутствуют диссипативные силы (силы трения, силы вязкости), приводящие к уменьшению механической энергии системы из-за ее перехода в другие формы, например, в тепловую. В данном разделе мы рассмотрим описание колебательного движения при наличии таких сил.

65.1 Затухание под действием силы сухого трения.

 Рассмотрим характер движения пружинного маятника (рис. 617) с учетом силы сухого трения.


рис. 617

 Будем считать, что сила, действующая на брусок со стороны горизонтальной поверхности, подчиняется закону Кулона-Амонтона. Коэффициент трения обозначим μ, будем считать, что он не зависит от скорости движения бруска, также пренебрежем различием между трением скольжения и максимальным трением покоя.
 Совмести ось Ox с направлением движения бруска, а ее начало с положением недеформированной пружины. При отклонении бруска на расстояние x, на него в горизонтальном направлении будут действовать силы упругости и сила трения (рис. 618).

рис. 618

 Если в этом положении сила упругости Fупр = kx меньше максимальной силы трения покоя Fтр = μmg, брусок будет находиться в покое. Таким образом, в интервале, в котором k|x| < μmg, или

брусок может находиться в покое, если его скорость равна нулю, поэтому этот интервал является зоной застоя. Пусть начальное отклонение бруска равно Ao лежит вне зоны застоя, начальную скорость будем полагать равной нулю. В этом случае уравнение движения бруска имеет вид (см. рис. 618)

 Особо подчеркнем, что это уравнение справедливо только при движении бруска влево, то есть до тех пор, пока скорость бруска отрицательна v < 0 − при изменении направления движения изменится знак при силе трения1.
 В этом принципиальное отличие этого уравнения от уравнения движения груза, подвешенного на пружине (уравнение (7) из раздела 64-1), в котором постоянная сила mg действительно постоянна − не зависит от направления движения. Тем не менее, мы можем воспользоваться рассмотренным ранее методом решения уравнения (2), не забывая об его ограниченной области применимости. Преобразуем уравнение (2) к виду

 Это уравнение является уравнением гармонических колебаний для величины

 Эта функция изменяется по гармоническому закону с частотой, равной частоте свободных колебаний пружинного маятника ω = √{k/m}. Учитывая начальные условия x(0) = Ao, v(0) = 0, решение уравнения (3) имеет вид

откуда следует закон движения бруска

 Скорость бруска будет изменяться по закону

 Остановка бруска произойдет в момент времени t1 = T/ω = T/2, где T − период свободных колебаний маятника. В момент остановки координата бруска будет равна

 Обратите внимание, что координата точки остановки может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от величины начального отклонения.
 График закона на временном интервале t ≤ T/2 показан на рис. 619 и представляет собой участок косинусоиды, сдвинутый относительно начала отсчета на величину μmg/k.

рис. 619

 Если точка перовой остановки не попадает в зону застоя, то брусок начнет движение в противоположном направлении. Описание следующей фазы движения аналогично, можно даже полностью воспользоваться полученным решением, для чего достаточно изменить направление оси на противоположное.
На рис. 620 показан график закона движения бруска при относительно малом коэффициенте трения, «сшитый» из участков синусоид, аналогичных рассмотренному выше.

рис. 620

 Между последовательными остановками отклонение бруска уменьшается на постоянную величину

до тех пор пока очередная точка остановки не попадет в область застоя.
 Таким образом, постоянная по модулю сила трения не изменяет частоту колебаний, но приводит к уменьшению амплитуды колебаний, причем это уменьшение происходит по линейному закону.

Здесь необходимо сделать одно филологическое замечание. Процесс затухающих колебаний не является периодическим, поэтому использование таких понятий, как период, частота, амплитуда колебаний, строго говоря, не оправдано.
 Однако при малом затухании эти термины используются: в этом случае под переменной амплитудой колебаний можно понимать отклонение от положения равновесия в моменты остановки, периодом колебаний можно считать промежуток времени между двумя максимальными отклонениями (пусть и различными) в одну сторону. Конечно, при сильном трении (или малом начальном отклонении) движение может содержать только одну фазу: в одну сторону до остановки. Сколько должно быть возвращений два, три..., чтобы движение можно было считать колебательным, решайте самостоятельно.

 Рассмотрим теперь превращения различных форм энергии в процессе затухающих колебаний. Начальная энергия пружины Uo = kAo2/2, полученная благодаря работе внешней силы при отклонении бруска от положения равновесия, в процессе движения преобразуется в кинетическую энергию движения бруска и частично преобразуется в тепловую энергию из-за наличия трения.
Так при движении бруска от положения начального отклонения x = Ao до границы зоны застоя x = μmg/k сила упругости превышает силу трения. На этом участке проходят следующие энергетические процессы:
− направление смещения совпадает с направлением силы упругости, поэтому сила упругости совершает положительную2 работу δAупр = −kxΔx;
− потенциальная энергия пружины уменьшается, изменение энергии пружины равно работе силы трения, взятой с противоположным знаком (напомним очевидное: пружина совершает положительную работу, поэтому ее энергия уменьшается) ΔU= −δAупр = kxΔx;
− сила трения направлена в сторону противоположную направлению перемещения бруска, поэтому ее работа отрицательна δAтр = μmgΔx;
− количество выделяющейся теплоты равно работе силы трения, взятой с противоположным знаком ΔQ = −δAтр;
− кинетическая энергия бруска возрастает, причем по теореме о кинетической энергии ее увеличение равно суммарной работе внешних сил, то есть сумме работ сил упругости и силы трения


− в любой момент времени сумма кинетической энергии бруска, потенциальной энергии пружины и количества выделившейся теплоты равна начальной энергии бруска (что непосредственно следует из уравнения (8)):

 Аналогично можно описать процессы превращения энергии и на других участках движения. Важно не забывать, что всегда работа является мерой перехода энергии из одной формы в другую.
 Так с помощью закона сохранения энергии легко получить координату первой точки остановки. Учитывая, что в этой точке скорость и кинетическая энергия бруска равны нулю, запишем уравнение

смысл которого можно выразить словами3: сумма потенциальной энергии системы в момент остановки и количества выделившейся теплоты равна начальной энергии системы.
 Из уравнения (10) следует формула (6) для координаты первой остановки.
 Уравнение закона сохранения энергии (9) позволяет построить фазовую траекторию движения бруска. Путем алгебраических преобразований это уравнение приводится к виду

которое является уравнением эллипса смещенного относительно начала координат. Это уравнение справедливо для первой половины периода колебаний, дальнейшие участки строятся аналогично – результат построения показан на рис. 621.

рис. 621


1Можно записать это уравнение в форме применимой на всех этапах движения, представив силу трения в виде

где v − скорость бруска. В этой записи явно показано, что сила трения направлена в сторону противоположную скорости. Но, во-первых, необходимо анализировать условия начала движения после каждой остановки, во-вторых, все равно его необходимо решать поэтапно, что мы и сделаем.
2Не удивляйтесь появлению знака минуса в формуле: на этом участке Δx < 0. Кроме того, обращайте внимание на обозначения (букв не хватает!) Ao, A1, A2, … − амплитуды; δA − работа.
3Это истолкование не единственно, возможна, например, и такая формулировка: уменьшение механической энергии системы равно количеству выделившейся теплоты