on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 44 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

64.9 Математический маятник: не гармонические колебания.

 Наиболее типичным и наглядным примером использования приближения малых колебаний является описание колебаний математического маятника.
 При больших углах отклонения использование приближения малых углов неприменимо, в этом случае необходимо искать решение точного уравнения движения


где ε − угловое ускорение маятника. К сожалению, это уравнение с математической точки зрения, очень сложно. Функции, являющиеся решениями этого уравнения при различных начальных условиях, не выражается через элементарные функции. Можно, конечно, решить это уравнение численно1 с помощью компьютера. Мы не будем рассматривать эти методы, ограничимся указанием принципиальных отличий решений уравнений (1) от приближения малых углов. Важнейшим из них является не гармоничность колебаний. Конечно, решениями этого уравнения являются периодические функции, которые по теории Фурье можно представить в виде суммы (бесконечной) гармонических функций кратных частот. Иными словами, в колебаниях математического маятника появляются кратные частоты − обертона.
 На рис. 611 показаны графики зависимости угла отклонения маятника от времени при различных амплитудах колебаний, полученных с помощью численных расчетов.

рис. 611

 Конечно, определить на глаз являются ли полученными синусоидами, или нет, невозможно.
 Вторым важным отличием точного решения (1) от приближенного является зависимость периода колебаний от их амплитуды, что хорошо видно на рис. 611. Покажем, как может быть рассчитана (опять же численно) эта зависимость. Пусть нить маятника отклонена на угол φo. Разобьем диапазон изменения координаты [−φo, φo] точки на малые интервалы Δφ = φo/N, тем самым получим набор точек разбиения

 Используя закон сохранения энергии для маятника

мы можем вычислить скорости маятника ωk в момент прохождения точек φk

 На каждом интервале Δφk = φk − φk-1 оценим среднюю скорость как среднее арифметическое значение скоростей на концах интервала

Тогда время Δtk, за которое маятник пройдет интервал Δφk = φk − φk-1 можно найти по формуле

после чего останется только просуммировать эти значения по всем интервалам разбиения − полученная сумма будет равна половине периода колебания. Такой метод также является приближенным, но уменьшение шага разбиения всегда будет приводить к увеличению точности расчетов. Замена средней скорости среднеарифметическим является точной при равноускоренном движении, поэтому это приближение соответствует приближению равноускоренного движения на малом интервале.
 Не вдаваясь в технические детали расчета (при наличии времени и терпения его можно провести и на бумаге) приведем результаты расчета, полученные при разбиении диапазона изменения угла на двести равных интервалов. Результаты расчетов представлены на рис. 612.

рис. 612

Здесь, To = 2π√{l/g} − период малых колебаний,

− относительное изменение периода колебаний при увеличении их амплитуды.
 Имея эту кривую, можно ответить на вопрос, какие же колебания можно считать «малыми»? Ответ зависит от той точности, которая для вас является достаточной. Так, при амплитуде колебаний φo = π/4 их период превышает период малых колебаний менее чем на 5 %, а при амплитуде φo = π/2 период возрастает всего на 18 %. Отметим, что полученная зависимость приближенно может быть описана формулой

 В заключение укажем, что полученные результаты полностью подтверждаются экспериментальными данными.


1Принципиальную возможность такого построения решения мы показали при изучении кинематики.