on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 5 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

64.8 Малые колебания в произвольных колебательных системах.

 Проведенный анализ общих свойств колебательных систем показывает, что необходимым условием возможности колебательного движения в произвольной системе является наличие положения устойчивого равновесия. В этом случае при отклонении тела от положения равновесия возникнет возвращающая сила, направленная к положению равновесия. Под действием этой силы тело приобретет некоторую скорость, которая будет максимальна при достижении положения равновесия. Далее тело по инерции проскочит положение равновесия и отклонится от него в противоположную сторону. После чего процесс повторится. Таким образом, вторым условием возможности колебаний является наличие у системы инерционных свойств − тело нулевой массы свободно колебаться не может. При отсутствии сил трения процесс колебаний будет продолжаться бесконечно, если же силы трения значительны, то даже при наличии положения устойчивого равновесия колебания не возможны.
 Рассмотрим теперь описание движения материальной точки вблизи положения устойчивого равновесия. Как и прежде будем основываться на уравнении второго закона Ньютона


где Fx(x) − проекция результирующей силы на ось, вдоль которой движется тело. Совместим начало отсчета x = 0 с положением равновесия тела. В этой точке результирующая сила равна нулю Fx(x) = 0. Графически это выражается тем, что график зависимости Fx(x) пересекает ось Ox (рис. 610) под некоторым отрицательным углом1.

рис. 610

 При малом отклонении от положения равновесия функцию Fx(x) можно приближенно заменить линейной2

 График этой приближенной функции является прямой линией. Очевидно, что наименьшая погрешность приближения будет достигнута в том случае, если построенная прямая будет являться касательной к графику функции Fx(x). Следовательно, коэффициент наклона построенной прямой должен совпадать с производной функции Fx(x) в точке равновесия x = 0

 Таким образом, если произвольную силу вблизи положения равновесия заменить3 линейным приближением (2) с коэффициентом пропорциональности (3), то уравнение движения преобразуется в уравнение гармонических колебаний

с частотой

 Аналогичный результат модно получить и с помощью энергетического подхода к описанию движения рассматриваемого тела. Так закон сохранения механической энергии выражается уравнением

где E − сохраняющаяся полная механическая энергия тела, U(x) − его потенциальная энергия. Положению устойчивого равновесия соответствует точка минимума функции U(x). При малом отклонении от положения равновесия график этой функции можно приближенно описать параболой4, потому, что это простейшая функция имеющая точку минимума,

 Пример такого приближения был приведен при рассмотрении свойств тригонометрических функция, когда косинус заменили приближенной квадратичной функцией.
 В формуле (7) коэффициент пропорциональности k совпадает с коэффициентом в формуле (2). Для доказательства этого утверждения достаточно вспомнить формулу, связывающую потенциальную энергию с действующей силой: сила равно производной от потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком Fx = −U/(x). Именно при записи приближенного выражения для потенциальной энергии в виде (7) из него непосредственно следует выражение (2):

 Приближенная формула (7) для потенциальной энергии приводит к уравнению гармонических колебаний в форме

 Фактически это приближение мы использовали при выводе формулы для периода колебаний математического маятник.
 Подведем итог общего рассмотрения: вблизи положения устойчивого равновесия тело может совершать колебания, если возвращающая сила может быть представлена в виде Fx(x) ≈ −kx, а потенциальная энергия в форме U(x) ≈ kx2/2, то малые колебания являются гармоническими.


1Если угол наклона положителен (то есть функция возрастающая), то это положение равновесия будет неустойчивым.
2Часто силу, пропорциональную смещению называют квазиупругой.
3Такая замена возможна, если производная от функции Fx(x) в точке равновесия отлична от нуля. Возможны такие редкие ситуации когда это условие не выполняется − один из них мы рассмотрим позднее.
4«Подтверждаем» известный закон физика-экспериментатора: «Всякая неизвестная функция линейна, если она не парабола»