on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 39 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

64.6 Автономные системы.

 Многие из уже изученных нами сил зависят от положения тела (его координаты). Такими силами являются силы всемирного тяготения, силы электростатического взаимодействия, силы упругости. Если на тело действую только такие силы, то уравнение движения (1) приобретает вид


 Такая физическая система, уравнения движения корой не содержат в явном виде ни времени, ни скорости частиц, называется автономной. Поведение таких систем можно качественно проанализировать на основании закона сохранения механической энергии. Преобразуем уравнение (1) следующим образом. Запишем выражение для ускорения1 как «скорость изменения скорости» a = Δv/Δt и умножим уравнение на Δx − малое изменение координаты тела

 В этом уравнении величина

есть изменение кинетической энергии тела на малом интервале изменения его координаты.
 Если тело движется вдоль прямой под действием силы F, то величина F(x)Δx = δA является работой, совершенной над телом на этом же интервале изменения координаты. Так как силы, действующие на рассматриваемое тело, зависят только от координаты, то работа этих сил может быть представлена как уменьшение потенциальной энергии тела2 δA = −ΔU. Понятно, что потенциальная энергия является некоторой функцией от координаты тела U(x).
 Таким образом, проведенные математические преобразования приводят нас к уравнению закона сохранения механической энергии: увеличение кинетической энергии тела равно убыли его потенциальной энергии; или сумма кинетической и потенциальных энергий тела остается постоянной

 Константа в этом уравнении имеет смысл полной механической энергии движущегося тела E и может быть определена из начальных условий.
 Подобный вывод мы уже проводили, при рассмотрении закона сохранения энергии. Здесь же подчеркнем, что сделанные нами преобразования носят математический характер, поэтому, если удалось получить уравнение движения вида (2), то всегда можно перейти к эквивалентному уравнению (4), в котором функция U(x) удовлетворяет соотношению (5) − не зависимо от того, является ли функция F(x) силой, а U(x) − потенциальной энергией. Для того, чтобы ввести понятие потенциальной энергии для того или иного вида взаимодействия, необходимо доказать, что это взаимодействие является потенциальным, то есть что работа не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положением. Такие силы называются консервативными, и системы, в которых действую только такие силы, также называются консервативными. В некоторых случаях удается провести преобразование от уравнения (2) к уравнению (4) даже если нельзя говорить строго о потенциальной энергии, в такой ситуации функцию U(x) называют эффективной потенциальной энергией. С примером такой задачи мы познакомимся позднее.
 Напомним, что сила, действующая на тело, однозначно связана с его потенциальной энергией. Пусть тело движется вдоль оси Ox и на него действует некоторая (не обязательно постоянная) сила F. При малом смещении тела на величину Δx (рис. 601) эта сила совершит работу

рис. 601


 Эта работа равна убыли потенциальной энергии тела δA = −ΔU. Приравнивая выражения для получим универсальное соотношение между силой и соответствующей потенциальной энергией

 Можно выписать аналогичные выражения и для других проекций вектора силы.
 Формулу (5) можно записать в более «продвинутой» форме

где U/(x) − производная от потенциальной энергии по координате. Иными словами проекция силы некоторую ось равна производной от потенциальной энергии по соответствующей координате, взятой с противоположным знаком.
 Отметим также, что выражение (5) определяет потенциальную энергию с точностью до постоянного слагаемого − с этим, парадоксальным на первый взгляд, обстоятельством мы уже неоднократно встречались.
 Связь между этими двумя функциями может быть проиллюстрирована и графически (рис. 602):

рис. 602

если потенциальная энергия возрастает U(x) возрастает, то проекция силы Fx(x) отрицательна (на участках x < x1, x > x2); если U(x) убывает, то F(x) положительна (на участке x1 < x < x2). В точках экстремумов функции U(x) функция Fx(x) обращается в нуль (на графике x = x1 и x = x2). Если U(x) есть суммарная потенциальная энергия тела, то ее производная, то соответствующая ей функция Fx(x) есть результирующая сила, действующая на тело. В этом случае экстремумам потенциальной энергии соответствуют положения равновесия − в этих точках результирующая сила равна нулю. Эти положения равновесия могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Тело находится в положении устойчивого равновесия, если при малом отклонении от него возникают силы, направленные в сторону точки равновесия (стремящиеся вернуть в положение равновесия). Так для примера, показанного на рис. 602 точка x = x2 есть точка устойчивого равновесия, а точка x = x1 − неустойчивого равновесия3.
 Следует также запомнить, что действующая сила всегда направлена в сторону убывания потенциальной энергии. Из этого правила иногда делают почти мистический вывод − «всякая система стремиться к минимуму потенциальной энергии». Но откуда неодушевленная и неразумная «система» знает где находится этот самый минимум? Не знает! Просто в каждой точке сила, направляющая движение, направлена в сторону убывания энергии!
 Проведенные рассуждения становятся очевидными, если воспользоваться следующей аналогией (рис. 603).

рис. 603

 В поле тяжести потенциальная энергия тела пропорциональна высоте U = mgh, поэтому профиль потенциальной кривой совпадает с профилем поверхности, на которой находится рассматриваемое тело. Поэтому поведение тела в некотором потенциальном поле, описываем функцией U(x) аналогично поведению шарика (чтобы трение было пренебрежимо малым), катающемуся по горке с профилем, совпадающим с потенциальной кривой.
 Так, очевидно, что в яме (точка A) шарик будет находится в положении устойчивого равновесия, на горке ( точка B) положение равновесия неустойчиво. А в общем случае шарик всегда будет катиться вниз!
 Рассмотренная аналогия не является строгой в математическом смысле. Так для шарика, катящегося по горке, при его смещении вдоль оси Ox на величину Δx. его перемещение будет равно

а не Δx. Соответственно будут иными выражения для скорости и кинетической энергии. Тем не менее, можно подобрать такой профили горки, чтобы качение шарика точно моделировало движение, описываемое уравнением (4). Первый исторически пример такого движения был дан в начале 19 века голландским физиком Х. Гюйгенсом. Известно, что период колебаний тела не зависит от амплитуды, если его потенциальная энергия квадратично зависит от координаты, то есть, если потенциальная кривая парабола. Гюйгенс показал, что профиль горки для катящегося шарика должен иметь форму циклоиды. Он даже реализовал эту идею в конструкции своего циклоидального маятника.
 Дадим теперь наглядную геометрическую иллюстрацию уравнения (4). Для этого построим график зависимости потенциальной энергии тела от его координаты U(x) (На рис. 604 приведен пример возможной зависимости).

рис. 604

 График зависимости потенциальной энергии от координаты называют потенциальной кривой. На этом же графике проведем горизонтальную прямую, соответствующую уровню полной механической энергии точки. Пусть, например, эта энергия равна Eo. В точке с произвольной координатой A длина вертикального отрезка AB равна потенциальной энергии тела, длина отрезка AC − есть полная энергия тела, следовательно, длина отрезка BC выражает кинетическую энергию рассматриваемого тела Eк. Так как кинетическая энергия не может быть отрицательной, то тело не может находиться в тех точках оси, где потенциальная энергия больше его полной энергии. Ничто не мешает потенциальной энергии быть отрицательной. В любом случае кинетическая энергия на графике потенциальной энергии равна длине вертикального отрезка от уровня полной энергии до потенциальной кривой (например, в точке x = x2).
 Горизонтальная прямая, проведенная на уровне полной энергии отсекает на потенциальной кривой допустимые области движения тела: те, где потенциальная кривая лежит ниже прямой полной энергии.
Приведем наглядный пример, на заданную тему. Пусть потенциальная кривая имеет вид, изображенный на рис. 605.

рис. 605

 Если полная энергия тела равна E1, то его движение возможно в двух областях. Первая, в интервале x1 < x < x2, здесь тело совершает колебательное движение. Вторая, при x > x3, в этой области тело «убегает» на бесконечность4.
 В точках пересечения уровня полной энергии с потенциальной кривой полная энергия равна потенциальной, следовательно, кинетическая энергия и скорость тела в этой точке обращается в нуль. Такие точки называются точками возврата.
 Если полная энергия тела, в рассматриваемом примере увеличится до значения E2, то для него область разрешенного движения расширяется, исчезает область запрещенного движения вблизи точки В.
 Интересным случаем является совпадение уровня полной энергии E с минимумом потенциальной энергии (рис. 606).

рис. 606

 При уменьшении полной энергии E до минимального значения Emin область разрешенного движения x1 < x < x2 сжимается в точку x = xo, соответствующей точке минимума потенциальной кривой, что еще раз подтверждает, что точка минимума есть точка устойчивого равновесия.
 Область, в которой потенциальная кривая содержит точку минимума, часто называют потенциальной ямой. Минимальная энергия, которую необходимо сообщить телу, находящемуся на дне потенциальной ямы, чтобы извлечь тело, называется глубиной ямы ΔUo. Она показана на рис. 605 в точке В. Заметим, что потенциальные ямы могут быть и бесконечно глубокими.
 Анализ устойчивости является необходимой составной частью изучения движения тела. Наиболее удобно и наглядно он проводится на основе простого разглядывания потенциальной кривой. Но, в принципе, этот анализ можно провести рассматривая зависимость силы от расстояния. В положениях равновесия результирующая сила равна нулю. Устойчивость определяется зависимостью (даже просто знаком) проекции силы при малом отклонении от положения равновесия. Рассмотрите внимательно еще раз рис. 605 и проанализируйте, как ведет себя сила и ее график вблизи устойчивого x = x2 и неустойчивого x = x1 положений равновесия.
 Наконец, еще одно общее рассуждение, касательно возможностей качественного анализа. Оказывается, потенциальные кривые прекрасно сочетаются с фазовыми траекториями − по заданной потенциальной кривой можно построить набор фазовых траекторий, соответствующих различным значениям полной энергии. Такой набор фазовых траекторий также называется фазовым портретом системы. Под графиком потенциальной кривой изобразим участок фазовой плоскости, так чтобы оси X были параллельны и начала их отсчета совпадали (рис. 607).

рис. 607

 Для примера рассмотрим потенциальную кривую, соответствующую гармоническим колебаниям. На графике потенциальной энергии зададим уровень полной энергии системы Eo горизонтальной прямой, точки пересечения которой с потенциальной кривой определяют крайние точки − проводя вертикальные прямые их можно отметить на фазовой плоскости. Величину скорости при произвольном значении координаты можно оценить из разности полной и потенциальной энергии. Если же пользоваться компьютером, то можно построить точно. Из уравнения (10) выразим зависимость скорости от координаты

 Как следует из этого выражения, фазовая траектория симметрична относительно оси x. Это понятно с точки зрения здравого смысла: в процессе колебательного движения за один период тело проходит каждую точку дважды − один раз в одном направлении, другой в противоположном, причем модули скорости при прохождении одной точки одинаковы. Как и следовало ожидать, движение точки является колебательным (можно даже уточнить − колебания гармонические), так как фазовые траектории являются эллипсами.


1Для тех, кто уже познакомился с производными, можно было бы уже записывать эти математические преобразования на языке бесконечно малых величин. Но чтобы не пугать остальных мы сохраним пока прежние обозначения.
2Опять возникает необходимость в уточнении терминологии. Более строго следует говорить о потенциальной энергии взаимодействия данного тела с другими телами (или полями). Но в данном разделе предполагается, что изменяется положение только рассматриваемого тела, положения же всех остальных остается неизменным. Поэтому здесь мы будем использовать «физически жаргонное выражение», приписывая потенциальную энергию взаимодействия рассматриваемому телу.
3Возможны и другие положения равновесия: безразличное, когда в некоторой области вблизи рассматриваемой точки потенциальная энергия постоянна, а сила равна нулю; «полуустойчивое» положение равновесия, когда смещение в одну сторону приводит к появлению силы, направленной к положению равновесия, а при отклонении в другую сторону возникает сила, удаляющее тело от положения равновесия. Последняя на графике U(x) есть точка перегиба.
4Понятно, что выбор характера движения определяется не только энергией тела, но и его начальным положением. Не забывайте о начальных условиях!