on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 21 гость.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

64.11 Вращение или колебание?

 Колебательное движение мы начали изучать, с помощью описания равномерного движения точки по окружности. Теперь мы применим методы анализа движения, разработанные для колебательного движения, к описанию свободного движения спутника вокруг Земли.
 Итак, пусть спутник свободно, с выключенными двигателями, движется вокруг центра Земли С (рис. 614), который будем считать неподвижным. Влиянием звезд и планет на движение спутника пренебрежем.


рис. 614

 Спутник и Земля взаимодействуют с силой, подчиняющейся закону всемирного тяготения Ньютона. Эта сила взаимодействия является консервативной и направлена вдоль линии, соединяющей центры Земли и спутника. Поэтому в процессе движения будут сохраняться механическая энергия и момент импульса. Так как момент импульса является вектором, то орбита планеты будет плоской. В общем случае орбита спутника не будет круговой, поэтому его положение однозначно определяется двумя координатами.
 Положение спутника (определяемое радиус-вектором r) удобно задавать в полярных координатах: r − расстояние от начала координат до планеты, φ − полярный угол между некоторой произвольной осью и направлением на планету. Вектор скорости планеты v разложим на две составляющих − радиальную vr, направленную вдоль линии, соединяющей планету со звездой, и перпендикулярную ей азимутальную компоненту vφ. Первая из этих компонент соответствует изменению расстояния до центра планеты, вторая описывает изменение полярного угла.
 Будем считать, что в начальный момент времени планета находилась в точке Ao на расстоянии ro от звезды, и ее скорость была равна vo и направлена перпендикулярно радиус-вектору ro этой точки. Заметим, что в этой точке радиальная компонента скорости vr = 0, поэтому в этой точке расстояние до звезды минимально или максимально (то есть эта точка либо апогей, либо перигей). Азимутальный угол удобно отсчитывать от этого направления.
 Закон сохранения механической энергии записывается в виде уравнения

где m, M − массы спутника и Земли, соответственно; G − гравитационная постоянная; −GmM/r − потенциальная энергия гравитационного взаимодействия.
Сохранение момента импульса выражается уравнением

 Уравнения (1)-(2) при указанных начальных условиях полностью описывают движения спутника1 и могут быть решены строго, правда, на уровне высшей математики. Наша цель иная − качественно проанализировать возможные типы движения спутника в зависимости от начальных условий.
 Прежде всего, обратим внимание на то, что в уравнения явно не входит угол φ, поэтому появляется возможность избавится от этого угла и скорости его изменения, то есть свести задачу к одномерной. Такое упрощение возможно всегда при движении в поле центральных сил.
Выразим из уравнения (2) азимутальную составляющую скорости

и подставим в уравнение (1)

 Теперь очень внимательно посмотрите на полученное уравнение − это уравнение не содержит угловой координаты φ, только расстояние r и радиальную составляющую скорости vr. Более того, по форме оно совпадает с уравнением закона сохранения энергии для тела, движущегося вдоль одной оси

поэтому для его анализа можно пользоваться стандартными методами, основанными на исследовании потенциальной кривой. В данном случае потенциальная кривая описывается функцией

 С точки зрения физического смысла эта функция не является потенциальной энергией, так как первое слагаемое является частью кинетической энергии. Однако по своей математической форме в уравнении (4) эта функция играет смысл потенциальной энергии, поэтому эту функцию называют «эффективной потенциальной энергией».
 Теперь для анализа движения достаточно построить график зависимости эффективной потенциальной энергии от расстояния r. Схематически это построение можно выполнить в три шага (рис. 615):

рис. 615

 1) при малых расстояниях (r → 0) первое слагаемое в функции (6) возрастает значительно быстрее, поэтому Uэф → +∞: рисуем кривую, стремящуюся ввысь и прижимающуюся к вертикальной оси;
 2) при больших r → ∞ второе слагаемое по модулю становится больше первого, хотя оба стремятся к нулю, поэтому Uэф → 0, причем Uэф < 0: рисуем кривую, приближающуюся к горизонтальной оси снизу;
 3) остается соединить эти кривые, нет иного выхода, как нарисовать некоторую дугу снизу.
Если же у вас есть терпение, или нечаянно под рукой оказался компьютер, то можно эту кривую построить и поточнее (если вы знаете численные значения параметров функции) − результат одного из таких усилий на рис.
 При любом методе убеждаемся, что данная функция имеет точку минимума, то есть очередной раз мы «попадаем» в потенциальную яму. Дальнейшие рассуждения традиционны. Задаем и рисуем уровень полной энергии спутника и определяем области допустимого движения.

рис. 616

 Только следует иметь в виду, что, эффективная потенциальная энергия зависит от начальных условий, поэтому у нас нет возможности независимо изменять и потенциальную кривую, и начальные условия.
Из вида потенциальной кривой следует, что движение спутника ограничено (т.е. он не удаляется на бесконечное расстояние), если его полная энергия отрицательна. В этом нет ничего удивительного − потенциальная энергия притяжения отрицательна, в соответствии с выбором нулевого уровня на бесконечности.
 Теперь можно определить условия, определяющие характер движения спутника.
 Чтобы спутник двигался по круговой орбите, его полная энергия должна быть равна минимуму эффективной потенциальной энергии Emin. Значение этой величины можно найти, используя стандартные методы исследования функций. Но в данном случае это значение можно найти элементарно, если заметить, что функция (6) квадратичная, если в качестве ее аргумента рассматривать величину ξ = 1/r:

 Нули этой параболы хорошо видны:

и хорошо известно, что абсцисса точки экстремума параболы лежит посредине между корнями. Поэтому точка экстремума r* исследуемой функции находится из условия:

 Следовательно, минимальная потенциальная энергия равна

 Приравняем ее к полной (она же начальная) энергии спутника:

и получим уравнения для начальной скорости, решение которого не слишком сложно:

 Окончательно получаем

Узнаете? Это формула для первой космической скорости, которая элементарно следует из условия равномерного движения по круговой орбите:

 Если энергия спутника отрицательна, но больше Emin (на рис. эта энергия обозначена E1), то расстояние до центра Земли в процессе движения будет изменяться в ограниченных пределах r1 < r < r2. Предельные значения можно рассчитать, как точки возврата для рассматриваемой потенциальной кривой, полагая в этих точках vr = 0. Иными словами, решая уравнение

 Решение этого уравнения можно упростить, если сообразить, что один корень его заранее известен − это начальное расстояние ro.
 Согласитесь, найти пределы изменения расстояния на основании законов Ньютона затруднительно!
 Следующий интересный случай, когда полная энергия спутника обращается в нуль. Ему соответствует минимальная скорость, при которой спутник удаляется на бесконечность2. Она определяется из уравнения

 Найденное значение есть вторая космическая скорость!
 Наконец, при положительной полной энергии спутника он всегда удаляется на бесконечное расстояние.
 Таким образом, мы показали, что построение потенциальной кривой (даже эффективной) дает возможность, не решая уравнения движения, качественно описать его характер. Поэтому осмелимся дать общую рекомендацию − если есть возможность построить потенциальную кривую, то обязательно это сделайте!


1Доказательство этого утверждения почти очевидно: две координаты − два уравнения!
2Для «не избранных» это утверждение может звучать странно и парадоксально: чтобы космический корабль покинул Землю и удалился в бесконечные просторы Вселенной, его энергия должна быть равной нулю! Может и двигатели не нужны?