on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 51 гость.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

64.10 Малые негармонические колебания.

 Рассмотрим еще один пример колебательной системы: небольшой шарик массы m расположен на гладкой горизонтальной поверхности и прикреплен с помощью двух пружин жесткости k длиной l к двум неподвижным упорам (рис. 613).


рис. 613

 В положении равновесия все элементы системы находятся на одной прямой, при этом пружины не деформированы. Брусок совершает колебания в направлении перпендикулярном пружинам.
 Положение шарика будем задавать его смещением x от положения равновесия. В процессе движения на шарик действуют силы упругости со стороны пружин.
Уравнение движения шарика имеет вид

 Выразим силы упругости и синус угла отклонения через величину отклонения x, считая его малым. Для вычисления силы упругости воспользуемся законом Гука и приближенной формулой

 Если считать отклонение малым, то и угол α также будет малым, поэтому

 В этом приближении уравнение движения шарика будет иметь вид

 Таким образом, даже малые колебания шарика в рассматриваемой системе не являются гармоническими. Аналитического решения полученного уравнения (2) также не существует. Анализ этого уравнения показывает, что период колебаний шарика в этой системе сильно зависит от амплитуды (даже при малых амплитудах): он убывает обратно пропорционально амплитуде.
 То, что период гармонических колебаний не зависит от амплитуды, является в некотором смысле «счастливым совпадением»: при возрастании амплитуды, с одной стороны», колебаний возрастает путь, проходимый телом, с другой − возрастает средняя скорость движения. Для гармонических колебаний эти два фактора полностью компенсируют друг друга! Для математического маятника − путь возрастает быстрее, чем средняя скорость, поэтому период его колебаний незначительно возрастает при возрастании амплитуды. В рассмотренном примере средняя скорость возрастает значительно быстрее, чем путь, проходимый шариком − в этом случае период колебаний быстро убывает при возрастании амплитуды.