on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 36 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

63.4 Негармонические колебания. Разложение Фурье.

 Сейчас мы покажем, что использование модели гармонических колебаний позволяет описывать и более сложные периодические движения. Еще в 1822 году французский физик и математик Жан Батист Жозеф Фурье в своей работе «Аналитическая теория теплоты» показал, что любая периодическая функция может быть представлена в виде суммы гармонических функций (то есть синусов и косинусов), при чем частоты этих функций являются кратными основной частоте. Так, если период некоторой функции x(t) равен T, то эта функция может быть представлена в виде суммы (разложения Фурье):


 В общем случае эта сумма должна содержать бесконечно много слагаемых, однако в большинстве практически значимых случаев коэффициенты этого разложения достаточно быстро убывают с ростом номера k (и соответствующе ей частоты ωk = k2π/T), поэтому практически всегда с достаточной степенью точности можно ограничиться относительно небольшим числом слагаемых.
С разложением периодической функции хорошо знакомы музыканты, которые знают, что каждой ноте (основному тону), взятой на любом музыкальном инструменте соответствует целый набор кратных частот (обертонов). Набор этих колебаний с кратными частотами составляет тембр звука.
 Существуют достаточно простые формулы, позволяющие находить коэффициенты разложения Фурье. Мы не собираемся в дальнейшем использовать разложение Фурье, поэтому ограничимся простым примером разложения периодических функций.
 На рис. 594. показаны графики функций

рис. 594


при различных значения числа слагаемых N. Не трудно догадаться, что при больших N эти функции стремятся к рассмотренной выше зависимости скорости от времени, изображенной на рис. 592. Даже при относительно небольшом N = 5 сходство этих функций уже вполне узнаваемо. Можно найти и разложение Фурье для зависимости координаты от времени в этом же примере, являющейся набором парабол. Эта зависимость выражается суммой

 Графики этих функций для разного числа слагаемых также изображены на рис. 594.
Таким образом, с математической точки зрения прыгающий шарик вполне можно описать суммой десяти гармонических колебаний с кратными частотами.
 На этом мы заканчиваем рассмотрение кинематического описания колебательного движения, которое, во многом, построено на основании описания равномерного движения материальной точки по окружности. Подчеркнем, что многократное упоминание о равномерности движения не является излишним. Так как при неравномерном движении по окружности, движущаяся материальная точка, конечно, будет возвращаться в исходные положения, но не через равные промежутки времени − поэтому ее движение не будет периодическим, кроме того, скорость и ускорение также не будут изменяться периодически.
Для примера, на рис. 595 показан график зависимости координаты точки, движущейся по окружности равноускоренно.

рис. 595

 Эта функция описывается выражением

 Видно, что эта функция не периодическая.