on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 14 гостей.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

63.3 Фазовые траектории колебательного движения.

 Рассмотрим еще один наглядный способ графического представления произвольных (не только гармонических) колебаний. Пусть закон колебательного движения описывается функцией x(t), которая обязательно является периодической. По известному закону движения можно определить зависимость скорости от времени, как производную от координаты v(t) = (x(t))/. Введем на плоскости систему декартовую систему координат, вдоль одной из осей которой будем откладывать координату точки, а вдоль другой − ее скорость. Введенная таким образом система называется фазовой плоскостью. Две функции x(t) и v(t) в любой момент времени определяют на этой плоскости некоторую точку, а геометрическое место этих точек образует некоторую непрерывную линию, которая называется фазовой траекторией.


рис. 591

 Приведем пример построения фазовой траектории. Пусть небольшой упругий шарик брошен вертикально вверх (рис. 591) с начальной скоростью vo. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то скорость шарика будет изменяться со временем по закону

где g − ускорение свободного падения. Изменение координаты шарика с течением времени описывается функцией

 Поднявшись на максимальную высоту

шарик упадет на горизонтальную поверхность и отразится от него. Если удар считать абсолютно упругим, то скорость шарика после удара примет первоначальное значение, после чего движение шарика будет повторяться. Графики зависимостей координаты и скорости шарика1 от времени показаны на рис. 592.

рис. 592

 Эти же функции (1), (2) определяют в параметрической форме линию на фазовой плоскости – фазовую траекторию движения шарика. Эта линия показана на рис. 592 в. Понятно, что при периодическом движении фазовая траектория является замкнутой. На фазовой траектории принято указывать направление движения: при положительной скорости координата возрастает, а при отрицательной скорости координат убывает.
 Иногда говорят, что фазовая траектория указывает зависимость скорости от координаты, но такое высказывание не всегда корректно: так одной координате может соответствовать несколько значений скорости (как в рассмотренном примере). А функциональная зависимость требует однозначного соответствия − каждому значению координаты соответствует единственное значение скорости.
 Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями

 Из этих уравнений следует, что уравнение фазовой траектории можно записать в виде

которое является уравнением эллипса2 с полуосями A и ωA (рис. 593 а).

рис. 593

 Еще более предпочтительным является построение фазовой траектории в относительных единицах: когда по одной оси откладывается отношение координаты к амплитуде колебаний (x/A), а на другой отношение скорости к максимальной скорости движения (v/(ωA)). В этих координатах фазовая траектория гармонического колебания является окружностью единичного радиуса (рис. 593 б).
 С помощью фазовой диаграммы легко анализировать характер колебания − так отличить окружность от другой замкнутой кривой легко даже «на глаз».


1Строго говоря, процесс движения шарика не будет строго периодическим, так как скорость шарика будет изменяться вследствие сопротивления воздуха и неупругости его ударов. Кроме того, удар шарика и изменение его скорости происходит не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, которой пренебрежимо мало по сравнению со временем его свободного движения.
2Можно дать следующее «определение» этой хорошо знакомой линии: эллипс − «это круг, который можно вписать в квадрат со сторонами 3 × 4».