on-line
Сейчас на сайте 0 пользователей и 32 гостя.
Вход в систему
Яндекс.Метрика

63.2 Кинематика колебательного движения.

 В данном разделе мы рассмотрим простейшую кинематическую модель колебательного движения материальной точки, движущейся вдоль прямой. Условия, при которых эта модель адекватно описывает реальные колебания, могут быть получены только на основании физических законов, в частности, законов динамики.


рис. 586

 Для построения этой модели обратим внимание, что равномерное движение точки по окружности является периодическим процессом. Действительно, пусть материальная точка C движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса A. При этом угловая координата точки будет изменяться по линейному закону

где φo − начальная координата точки. Не смотря на то, что угол поворота монотонно возрастает, через равные промежутки времени, равные периоду вращения T = 2π/ω точка возвращается в исходное положение, в котором ее кинематические характеристики (скорость, ускорение) принимают исходные значения. Если радиус-вектор точки, векторы ее скорости и ускорения изменяются по периодическому закону, то и их проекции также изменяются по периодическим законам. Иными словами, движение проекции точки на любую из осей координат является колебательным движением вдоль прямой.
 Такое колебательное движение проекции можно наблюдать в реальном эксперименте. Для этого необходимо поместить вращающийся по окружности шарик перед плоским экраном и осветить его световым потоком, параллельным плоскости вращения (рис. 587).

рис. 587

 В этом случае тень от шарика будет совершать колебания вдоль одной прямой.
 Даже будучи не знакомы с тригонометрическими функциями, достаточно легко построить график закона движения тени шарика. Для этого необходимо изобразить окружность, отметить на ней равноотстоящие точки, а затем нанести на график временной зависимости их координаты через равноотстоящие интервалы времени. (рис. 588).

рис. 588

 Не будем делать вид, что нам совсем незнакома ни тригонометрия, ни кинематические законы равномерного движения по окружности, и на их основании получим строгие выражения для кинематических характеристик рассматриваемой модели колебательного движения.
 Еще раз изобразим часть окружности радиуса A, по которой движется материальная точка C (рис. 589).

рис. 589

 Положение точки задается радиус-вектором r, направленным под переменным углом φ к оси Ox. Проекция этого вектора на ось Ox равна

 Учитывая, что угол поворота изменяется в соответствии с формулой (1), получим закон изменения координаты точки от времени

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим1 колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция совершает гармонические колебания.
 Как следует из вида функции (3), гармоническое колебание точки определяется тремя параметрами, каждый из которых имеет наглядный смысл2. Параметр A называется амплитудой колебаний, он равен максимальному отклонению точки от центрального положения. Эта величина имеет ту же размерность, что и координата x, то есть размерность длины. Изменяющаяся величина φ = ωt + φo называется фазой колебания, а величина φoначальной фазой.
 Параметр ω называется круговой частотой колебаний. Так как период косинуса равен , то при изменении аргумента косинуса на эту величину значения функции принимает прежнее значение. Это обстоятельство позволяет выразить круговую частоту через время одного колебания T (которое также называется периодом колебаний). Для этого следует учесть, что при изменении времени на период Δt = T фаза колебания изменяется на Δφ = ωΔt = 2π, то есть ωT = 2π. Таким образом, круговая частота связана с периодом колебания соотношением

 Более наглядной характеристикой колебаний является обычная частота ν − число колебаний в единицу времени. Если период − это время одного колебания, то величина обратная периоду равна числу колебаний в единицу времени, то есть частоте колебаний

 С помощью соотношений (4)-(5) легко связать круговую и обычную частоты колебаний

 Очевидно, что круговая и обычные частоты являются размерными физическими величинами, их размерность обратная размерности времени

 Для обычной частоты колебаний единица ее измерения называется Герц (сокращенно Гц): частота колебаний 1 Герц означает одно колебание в секунду.
 На основании полученного соотношения (6) иногда говорят, что круговая частота колебаний равна числу колебаний за секунд. Однако, по нашему мнению, такое определение является излишним, потому, что, во-первых, попробуйте точно отмерить указанное количество секунд, а, во-вторых, время не обязательно измерять в секундах. Поэтому к этой величине следует относиться как к удобной вспомогательной математической величине − если везде использовать только физически наглядную частоту колебаний v, то во всех формулах придется дописывать множитель , что приводит к необоснованному перерасходу чернил и бумаги. Также не следует искать особого наглядного смысла в фазе колебаний.
 Отметим, что подобные замечания касательно угловой скорости вращения ω (аналогом которой является круговая частота) не обоснованы, так угловая скорость имеет явный физический смысл − угол поворота (измеренный в радианах) в единицу времени.
 При движении по окружности вектор скорости точки направлен по касательной к окружности (см. рис. 589), его модуль равен v = ωA (напомним, здесь A − радиус окружности). Если проекция радиус-вектора r есть координата точки x, то проекция вектора скорости v на ту же ось будет равна скорости движения проекции. Из рисунка не сложно определить, что проекция вектора скорости на ось Ox равна vx = −vsinφ. Используя выражения для модуля скорости и выражение для угла поворота, определяем, что скорость точки при гармоническом колебании (3) зависит от времени по закону

 Величина ωA = vo равна максимальной скорости движения точки при гармонических колебаниях. Отметим также, что при гармонических колебаниях скорость точки также изменяется по гармоническому закону.
 Аналогичным образом найдем ускорение точки, совершающей гармонические колебания. Так при равномерном движении по окружности ускорение точки является центростремительным, то есть вектор ускорения a направлен к центру окружности, а его модуль равен a = ω2A. Из рис. 589 следует, проекция вектора ускорения на выбранную ось Ox равна ax = −acosφ. Следовательно, зависимость ускорения от времени при гармонических колебаниях имеет вид

 Полученные функции зависимости скорости и ускорения точки от времени можно получить непосредственно из закона движения (3). Действительно, мгновенная скорость является первой производной координаты по времени, поэтому функция (7) является первой производной от функции (3).

 Аналогично зависимость ускорения от времени (8) является первой производной от скорости (7) или второй производной координаты (3).

 На рис. 590 показаны графики зависимостей координаты x(t), скорости v(t) и ускорения a(t) точки, совершающей гармонические колебания.

рис. 590

 Все эти зависимости описываются гармоническими функциями одного периода (одинаковой частоты), сдвинутыми друг относительно друга на четверть периода, (которой соответствует сдвиг фазы на π/2). Между нулями и экстремумами этих функций существуют очевидные соответствия: координата движущейся точки достигает максимального и минимального значения, когда ее скорость обращается в нуль; модуль скорости максимален, когда точка проходит через нулевую координату; модуль ускорения максимален, когда скорость равна нулю, а отклонение точки максимально.
 Теперь обратим внимание, на чрезвычайно интересное и важное соотношение между ускорением точки и ее координатой, которое следует из сравнения функций (8) и (3):

При гармонических колебаниях ускорение точки пропорционально его координате, с отрицательным коэффициентом пропорциональности.
 При изучении механического движение мы неоднократно подчеркивали, что известная зависимость ускорения тела a(t, r, v) от времени, координат, скорости при известных начальных условиях позволяет однозначно найти закон движения − зависимость координат от времени r(t), то есть решить основную задачу механики. Уравнение (9) является частным случаем этой задачи: ускорение зависит от координаты, причем элементарным образом, оно просто пропорционально ей. Следовательно, если на основании динамических законов нам удастся показать, что в некоторой реальной физической системе выполняется уравнение (9), то мы можем однозначно утверждать, что эта система может совершать гармонические колебания.
 Мы получили это важнейшее уравнение исходя из рассмотрения закона движения (3). Теперь мы можем решить обратную задачу: если при движении материальной точки ее ускорение связано с координатой соотношением (9), то зависимость координаты от времени описывается функцией:

 В этом выражении параметры Ao (амплитуда колебаний) и φo (начальная фаза) могут быть любыми − при любых значениях этих параметров, функция (10) удовлетворяет уравнению (9).
 Не смотря на указанный произвол в решении уравнения (9), само уравнение уже немало говорит о возможных движениях системы: во-первых, оно указывает, что движение есть гармоническое колебание, во-вторых, однозначно указывает частоту колебаний. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении есть квадрат круговой частоты, взятый с противоположным знаком.
Вспомним. Пусть все силы, действующие на тело постоянны, и по величине, и по направлению. В этом случае из законов динамики следует, что движение тела является равноускоренным, причем величина ускорения также определяется на основании этих же законов. Однако, для однозначного нахождения закона движение требуется задание начальных условий.
 Чтобы однозначно определить закон движения при гармонических колебаниях необходимо произвольные параметры Ao и φo выразить через начальные условия. Итак, пусть заданы начальные условия:

 Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, перепишем выражение (10) в виде

в котором вместо двух произвольных параметров Ao и φo введены два новых параметра:

 Аналогичным образом можно преобразовать выражение3 для скорости частицы (7)

 Подставим в функции (12) и (14) начальные условия (11) получим выражения

из которых следуют искомые формулы для параметров функции (12):

 Таким образом, решение уравнения (9) с начальными условиями (11) имеет вид

 Не составляет труда представить эту же функцию в виде (10). Так амплитуда колебаний при заданных начальных условиях определяется выражением

а начальная фаза удовлетворят условию

 Подчеркнем еще одно важнейшее свойство гармонических колебаний, описываемых уравнением (9) − период и частота этих колебаний не зависят от их амплитуды. Если амплитуда колебаний определяется начальными условиями, то их частота полностью определяется коэффициентом пропорциональности между ускорением и координатой точки.
 Формально с математической точки уравнение (9) можно рассматривать в общем виде. Пусть некоторая функция удовлетворяет условию, что ее вторая производная пропорциональна самой функции (с отрицательным коэффициентом пропорциональности)

тогда эта функция изменяется по гармоническому закону

в котором параметры A и φo находят из начальных условий, а круговая частота определяется самим уравнением.


1Подчеркнем, что не все колебания являются гармоническими, однако рассматриваемый здесь вид колебаний является простейшей моделью колебательного движения, тем не менее, достаточно часто встречающегося в действительности. Название этого вида движения связано с тем, что функции синус и косинус называются гармоническими функциями, как наиболее совершенные и изящные (по мнению некоторых математиков).
2Все эти параметры имеют явные аналоги в характеристиках движения по окружности, однако в теории колебательного движения они получили «персональные имена».
3Конечно, можно просто взять производную от функции (12).