on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 51 гость.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

63.1 Периодические функции.

 Функция F(x) называется периодической (рис. 581),


рис. 581

если существует такое число T, что для любого значения x справедливо выражение

 Очевидно, что подобное соотношение будет справедливо и для сдвига аргумента на 2T, 3T, . Минимальное значение T, для которого выполняется соотношение (1) называется периодом функции.
 Простейшими, и наиболее известными периодическими функциями являются тригонометрические функции синус и косинус.
 Возьмем окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 182).

рис. 582

 Положение произвольной точки A этой окружности задается единичным радиус-вектором OA, образующим угол φ с осью Ox. Как обычно, положительным направлением отсчета угла является направление «против часовой стрелки. Косинусом угла φ называется абсцисса x радиус-вектора точки A, синусом угла φ называется ордината этого же вектора. Аргумент1 этих функций может принимать произвольные значения.
 Понятно, что при изменении аргумента на полный угол радиус-вектор занимает прежнее положение, поэтому периодом функций y = sinφ и y = cosφ является величина T = 2π.
 На рис. 583 приведены графики этих функций.

рис. 583

 Графики этих функций изображаются одной и той же кривой, которая называется синусоидой, только сдвинуты друг относительно друга на величину π/2.
 Из определения тригонометрических функций и рис. 582 следуют формулы приведения

 Обратим также внимание, что косинус является четной функцией cos(−φ) = cosφ, а синус − нечетной sin(−φ) = −sinφ.
 Приведем ряд тригонометрических формул, которые нам понадобятся в дальнейшем.
 Из теоремы Пифагора следует основное тригонометрическое тождество

из которого легко выразить одну из тригонометрических функций через другую.
Получим формулы для синуса и косинуса суммы двух аргументов. Пусть единичный отрезок OA образует угол α с осью Ox (рис. 584).

рис. 584

 Проведем еще один единичный отрезок OB, образующий угол β с отрезком OA и, соответственно угол (α + β) с осью Ox. Согласно определению косинус суммарного угла равен длине отрезка OD, которая равна разности длин отрезков OE и DE:

 Рассматривая прямоугольный треугольник OBC, видим, что его катеты равны

 Далее, рассматривая подобные треугольники OCE и BFC, в которых один из углов равен α, находим, что

 Таким образом, формула для косинуса суммы имеет вид

 Аналогично с помощью рис. 584 можно получить формулу для синуса суммы

 Полагая в этих формулах α = β, получим формулы для косинуса и синуса двойного аргумента:

 Из первой из этих формул и основного тригонометрического тождества следуют формулы «понижения степени»:

 Используя формулу для косинуса суммы, получим формулы для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Из формулы для косинуса суммы

запишем формулу для косинуса разности (используя свойства четности тригонометрических функций)

 Складывая и вычитая эти две формулы, получим, что

 Покажем, как можно преобразовать линейную комбинацию синуса и косинуса

 Вынесем за скобки выражение √{A2 + B2}:

 Теперь коэффициенты при синусе и косинусе удовлетворяют условию

поэтому их можно обозначить как косинус и синус некоторого угла Δφ:

 Следовательно, формулу (8) можно записать в виде

 Таким образом, линейная комбинация синуса и косинуса одного аргумента может быть представлена как синус (или косинус) аргумента с некоторым сдвигом, величина которого определяется формулами (9).
Отметим также приближенные формулы, справедливые при малых значениях аргумента (x << 1): синус малого аргумента приблизительно равен самому аргументу

 Погрешность этой формулы составляет величину порядка x3.
 Геометрически эта формула означает, что длина малой форды примерно равна длине дуги, стягивающей эту хорду.
 Для косинуса малого аргумента справедлива приближенная формула

погрешность которой является величиной порядка x4.
 Рис. 585 иллюстрирует эти приближенные формулы.

рис. 585

 Наконец, приведем выражения для производных от этих функций:
производная синуса угла равна косинусу этого же угла

а производная косинуса равна синусу, взятому с противоположным знаком:


1Обратим внимание, что аргумент тригонометрических функций должен быть безразмерным. Так, например, синус 1 метра − выражение бессмысленное!