on-line
Сейчас на сайте 1 пользователь и 46 гостей.

Пользователи на сайте

  • fizportal.ru
Вход в систему
Яндекс.Метрика

62.1 Возрастание энергии магнитного поля.

 Рассмотрим механизм передачи энергии изменяющемуся магнитному полю. Для этого в очередной раз возьмем длинный соленоид радиуса r и длиной l, подключенный к источнику ЭДС (рис. 574).


рис. 574

 Внутри соленоида магнитное поле является однородным и его индукция равна

где, I − сила тока в обмотке соленоида, n − плотность ее намотки. При изменении силы тока будет изменяться индукция магнитного поля и, следовательно, его энергия. Энергию поля W представим как произведение плотности энергии w = B2/(2μo) на объем соленоида

 Теперь изменение энергии поля можно выразить через изменение индукции поля

где использована формула Δ(B2) = 2BΔB.
 Теперь попытаемся выразить это изменение энергии через характеристики полей, существующих внутри соленоида. Вспомним, что при изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле (явление электромагнитной индукции). Для определенности направления векторов напряженности электрического поля на рисунках соответствуют возрастанию индукции магнитного поля. Согласно закону Фарадея циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому контуру равна скорости изменения магнитного потока через этот контур:

 Так как магнитное поле является однородным и осесимметричным, то силовые линии электрического поля являются окружностями с центрами на оси соленоида.

рис. 575

 Поэтому в качестве контура, к которому применим уравнение (4), возьмем окружность радиуса r, непосредственно примыкающую к внутренней поверхности соленоида. На этой окружности вектор напряженности электрического поля E постоянен по модулю и направлен по касательной, поэтому его циркуляция равна произведению модуля вектора на длину этой окружности

 Вектор индукции магнитного поля B постоянен и направлен перпендикулярно плоскости выбранного контура, поэтому магнитный поток равен произведению модуля вектора на площадь круга, ограниченного выбранной окружностью,

 Таким образом, уравнение (4) позволяет связать напряженность электрического поля и скорость изменения магнитной индукции

 Знак минус в этом уравнении говорит, что обход контуру по направлению вектора E осуществляется по часовой стрелке1, так нас интересуют модули векторов (их направления мы изобразили на рисунках), то этот знак минус опустим.
 Напряженность электрического поля пропорциональна скорости изменения магнитной индукции. Если считать, что сила тока и индукция магнитного поля изменяются не слишком быстро, то изменением напряженности электрического поля можно пренебречь, то есть считать его постоянным. Это замечание является строгим, если сила тока в соленоиде возрастает по линейному закону.
 Из уравнения (5) выразим

и подставим в формулу (3) для изменения энергии поля

 Теперь изменение энергии магнитного поля внутри объема соленоида оказалось выраженным через характеристики полей в точках, находящихся непосредственно на границе рассматриваемой области. Обратим внимание, что на этой границе (внутренней поверхности соленоида) векторы E и B (рис. 575) взаимно перпендикулярны и направлены касательно к этой поверхности.
Введем вектор (пока как математическое обозначение2)

пропорциональный векторному произведению векторов E и B. Во всех точках внутренней поверхности соленоида этот вектор направлен по нормали и внутрь рассматриваемого объема (рис. 575). В формуле (6) явным образом присутствует модуль этого вектора; далее, величина sбок = 2πrl равна площади внутренней поверхности, поэтому изменение энергии магнитного поля в (6) представлено через поток введенного вектора S через поверхность, рассматриваемый объем поля ограничивающую

 На основаниях цилиндра, ограничивающего выделенный объем, вектор S не имеет нормальной составляющей, поэтому здесь его поток равен нулю.
 Теперь вектор S приобретает наглядный физический смысл: его модуль равен количеству энергии, перетекающей через площадку единичной площади, перпендикулярную этому вектору, в единицу времени, а его направление указывает направление переноса энергии электромагнитного поля

 Этот вектор получил название вектор Пойтинга, в честь английского ученого А. Пойтинга, который и ввел его в науку. Также этот вектор называют вектором плотности потока энергии.
Теперь наша идея о переносе энергии поля сами полем получила математическое воплощение: скорость изменения энергии магнитного поля в некотором объеме равно потоку3 вектора Пойтинга через поверхность, ограничивающую этот объем. В данном случае положительным считается поток направленный внутрь поверхности.
 При уменьшении тока в соленоиде направление вектора B не изменяется, а направление вектора E изменяется на противоположное. Поэтому направление вектора плотности потока энергии S также изменяется на противоположное − теперь он будет направлен наружу от рассматриваемого объема. Такое изменение логично − энергия поля уменьшается, поэтому она «вытекает» из выделенного объема.


1Вспомните, что положительным направлением обхода условились считать движение «против часовой стрелки».
2К сожалению, такое обозначение этого вектора является традиционным и общепринятым, поэтому в дальнейшем для обозначения площади мы будем использовать s − «эс малое».
3Лучше было бы сказать: равно потоку (в смысле математической операции) вектора плотности потока (а это имя вектора), но эта фраза звучит не очень хорошо...